第六章信號檢測與估計(jì)理論2

維納〔1894－1964〕，美國數(shù)學(xué)家，控制論的創(chuàng)始人。N.

維納對20世紀(jì)的數(shù)學(xué)開展作出了重大奉獻(xiàn)。維納14(15)歲大學(xué)畢業(yè)，18歲獲哈佛大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。此后到英國、德國，先后師從羅素、哈代、李特爾伍德和希爾伯特學(xué)習(xí)。1919年到麻省理工學(xué)院任教直至退休。20年代，他在布朗運(yùn)動理論和位勢理論研究方面作出了獨(dú)創(chuàng)性的具有根本意義的奉獻(xiàn)。30年代，他同E.

霍普夫共同研究了一類給定在半無窮區(qū)間上的帶差核的奇異積分方程，提出了維納-霍普夫方法，現(xiàn)在這類方程稱為維納-霍普夫方程，其理論在多種領(lǐng)域中得到應(yīng)用。1第二次世界大戰(zhàn)期間，開始了創(chuàng)立控制論的工作。1948年出版了他的名著?控制論：或關(guān)于在動物或機(jī)器中通訊的科學(xué)?，對科學(xué)界產(chǎn)生了巨大的影響。幾十年來，控制論得到了迅速開展，廣泛應(yīng)用于自動理論、計(jì)算機(jī)程序、決策過程等各個方面。21948年，美國科學(xué)家維納發(fā)表?控制論?，遭到科學(xué)界的冷遇，37歲的錢學(xué)森卻敏銳把握到這一理論的普遍意義，將這一新理論運(yùn)用到自己的噴氣技術(shù)研究。1954年，錢學(xué)森發(fā)表?工程控制論?一書，開創(chuàng)了一門新的技術(shù)科學(xué)。多年來，這本著作為世界各國科學(xué)家廣為引證、參考，成為自動控制領(lǐng)域引用率最高的經(jīng)典著作。3斷章

卞之琳

你站在橋上看風(fēng)景

看風(fēng)景的人在樓上看你

明月裝飾了你的窗子

你裝飾了別人的夢

因此引用楊振寧博士的話：

“應(yīng)該多對新的，活的東西，與現(xiàn)象有直接有關(guān)的東西感興趣。〞

46.2連續(xù)過程的維納濾波

維納濾波也稱為最小平方濾波或者最正確濾波，其根本思想是要設(shè)計(jì)一個濾波器。一般是根據(jù)信號s(t)與噪聲n(t)的時域或頻域特性，選擇適當(dāng)?shù)拿}沖響應(yīng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)，使得其濾波輸出與期望輸出之間的誤差平方和最小〔均方誤差最小〕。5被噪聲污染的信號波形恢復(fù)稱為濾波。大家熟悉的濾波器是采用電感、電容等分立元件構(gòu)成，它對于濾去某些干擾譜線有較好的效果。對于混在隨機(jī)信號中的噪聲濾波，這種簡單的濾波器就不是最正確的濾波電路，這是因?yàn)樾盘柵c噪聲均可能具有連續(xù)的功率譜。6如以下圖所示。不管濾波器具有什么樣的頻率響應(yīng)K(j)，均不可能做到噪聲完全濾掉，使信號波形的不失真恢復(fù)。因此，需要尋找一種使誤差最小的最正確濾波方法，又稱為最正確濾波準(zhǔn)那么。7維納線性濾波理論是一種在最小均方誤差準(zhǔn)那么下的最正確線性濾波方法?！簿S納濾波開展的兩個方向〕由于維納濾波器電路實(shí)現(xiàn)上的困難，在維納濾波根底上開展了一種基于狀態(tài)空間方法的最正確線性遞推濾波方法，稱為卡爾曼濾波。這種濾波器特別適用于對離散時間序列的實(shí)時濾波，可以很方便用計(jì)算機(jī)處理，因而是近代濾波理論的重要開展，在自動控制領(lǐng)域起到了重要作用。8維納濾波理論的另一開展方向是自適應(yīng)濾波，它可以自動地調(diào)節(jié)其自身參數(shù)，在設(shè)計(jì)時，只需要很少的，或根本不需要任何關(guān)于信號和噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識。因此，目前在模型識別、通信信道的自適應(yīng)均衡、生物醫(yī)學(xué)信號中周期干擾消除等方面均有重要應(yīng)用。9真實(shí)信號觀測信號加性噪聲線性估計(jì)問題最小均方誤差(MMSE)估計(jì)(minimummean-squareerror)估計(jì)誤差維納濾波問題描述維納濾波—對真實(shí)信號的最小均方誤差估計(jì).106.2連續(xù)過程的維納濾波維納濾波最根本的概念：從信號加性噪聲中盡可能完整地提取信號而最大限度地抑制噪聲。實(shí)質(zhì)上是研究維納濾波器的設(shè)計(jì)問題。最正確線性濾波觀測信號其中，是有用信號；是觀測噪聲。我們可以對，，，等信號波形進(jìn)行估計(jì)。為統(tǒng)一分析，將被估計(jì)信號波形統(tǒng)一記為，估計(jì)結(jié)果統(tǒng)一記為。11設(shè)和都是零均值的隨機(jī)過程，那么的線性估計(jì)可以表示為其中，是時刻的采樣；是加權(quán)系數(shù)。是采樣的線性加權(quán)和。為使估計(jì)波形具有最小均方誤差，由估計(jì)誤差與觀測信號的正交性，有由該式可以求出最正確加權(quán)系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)的最12佳線性估計(jì)。式估計(jì)波形的積分形式表示為這說明，將輸入具有時變脈沖響應(yīng)為的線性濾波器，其輸出為的估計(jì)為，見圖6.1。

13為使均方誤差最小，利用正交性原理，即求解線性時變?yōu)V波器的脈沖響應(yīng)。利用相關(guān)函數(shù)表示上式，得

該式是實(shí)現(xiàn)信號波形線性估計(jì)，且均方誤差最小14的線性時變?yōu)V波器的脈沖響應(yīng)應(yīng)滿足的積分方程。它能實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)隨機(jī)信號波形的線性最正確估計(jì)〔但時變脈沖響應(yīng)的解比較困難〕。估計(jì)的均方誤差就是估計(jì)誤差的方差，表示為15166.2.2維納—霍夫方程適用于非平穩(wěn)隨機(jī)信號波形最正確估計(jì)的線性時變?yōu)V波器的求解困難。為獲得實(shí)用的結(jié)果，進(jìn)行必要的約束：設(shè)和都是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且二者聯(lián)合平穩(wěn)；這意味著觀測時間從開始，而且濾波器是線性時不變?？紤]因果系統(tǒng)，濾波器在構(gòu)造估計(jì)信號波形時，只用時刻及以前時刻的觀測信號。這樣，線性時不變?yōu)V波器的估計(jì)為見圖6.2。17而(6.2.6)式變?yōu)?/p>

令,,那么有18

該式稱為維納—霍夫方程。它是信號波形線性最小均方誤差估計(jì)的線性時不變?yōu)V波器的脈沖響應(yīng)應(yīng)滿足的積分方程。這樣的濾波器稱為維納濾波器，而由維納濾波器獲得信號波形估計(jì)，稱為維納濾波。19估計(jì)誤差的方差為

所以，要實(shí)現(xiàn)維納濾波，需要設(shè)計(jì)維納濾波器，這就是維納—霍夫方程的解。206.2.3維納—霍夫方程的非因果解(6.2.10)式中,限定〔正半軸〕,即維納濾波器的脈沖響應(yīng)滿足所以,它是因果系統(tǒng)。如果我們?nèi)?，包括整個時間軸那么系統(tǒng)是非因果的.21此時，維納—霍夫方程變?yōu)?2故最正確濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為23

討論：假設(shè)；與相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，即，那么24當(dāng)噪聲為0時，信號全部通過；當(dāng)信號為0時，噪聲全部被抑制；因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。252627〔1〕對1<<2的頻率范圍內(nèi)，由于Pn()=0，一定有|H〔)|=1，表示由于沒有噪聲，故濾波器增益為1，從而保證信號不失真。其次，在這段頻率內(nèi)，均方誤差的積分值為零。28〔2〕對>3的頻率范圍內(nèi)，由于Ps()=0，一定有H()=0，表示由于沒有信號，故濾波器增益為零，從而完全阻止噪聲通過。同樣在這段頻率內(nèi)，均方誤差的積分值也為零。29〔3〕對2<<3的頻率范圍內(nèi)，由于Ps()及Pn()均不為零，那么|H()|<1，這一方面要防止噪聲通過，又要保證信號通過。因此隨著增加，Pn()逐漸加大，|H()|逐漸減小，直至為零。30估計(jì)誤差的方差為31323334重疊局部的影響35可見，維納濾波能夠?qū)崿F(xiàn)信號波形的線性最正確估計(jì)。非因果的維納濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的。討論目的：加深對維納濾波概念理解；提供了維納濾波均方誤差的下界，作為比較的參考標(biāo)準(zhǔn)。36[例]s(t)為馬爾科夫過程，其功率譜密度為觀測噪聲n(t)為白噪聲，其Pn()=1，求維納濾波器的H()及h(t)。

37[解]因此有其最小均方誤差為式38下面，計(jì)算沖激響應(yīng)h(t)，對H〔)作傅里葉變換得396.2.4維納濾波器的因果解1.重寫維納—霍夫方程

406.2.4維納濾波器的因果解2.分析:求解的困難在于約束假設(shè),那么。這意味著，假設(shè)是自相關(guān)函數(shù)為的白過程，那么。積分方程就可以直接求解。41通常，是非白過程，但上述結(jié)果提醒我們：假設(shè)將非白過程首先通過白化濾波器變?yōu)榘走^程，然后針對白過程，設(shè)計(jì)維納濾波器，那么維納濾波器的因果解為

42

如圖6.4所示。下面討論白化濾波器和濾波器的設(shè)計(jì)問題。433.白化濾波器的設(shè)計(jì)假設(shè)觀測信號是具有有理功率譜的平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么用復(fù)頻域表示為式中，的所有零極點(diǎn)在s平面的左半平面；的所有零極點(diǎn)在s平面的右半平面。44如要求白化濾波器能夠?qū)⒎前谆^程白化，那么那么其輸出是白過程。因?yàn)槎?5所以，有從而得白化濾波器的系統(tǒng)函數(shù)4.濾波器的設(shè)計(jì)求解的積分方程為其中，。所以46于是，為式中，表示取中零極點(diǎn)在平面左半平面的局部，這是由決定的。因?yàn)?7兩邊取拉普拉斯變換，得這樣，維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為估計(jì)的均方誤差為下面我們通過例子來說明維納濾波器的問題。48例

設(shè)線性時不變?yōu)V波器輸入的觀測信號x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜為設(shè)計(jì)物理可實(shí)現(xiàn)的白化濾波器，它的輸出功率譜密度為1。49解所以該白化濾波器由微分器和常增益器并聯(lián)組成。50例設(shè)隨機(jī)信號加白噪聲通過一線性濾波器。和的自相關(guān)函數(shù)分別為現(xiàn)考慮的波形估計(jì)問題，要求估計(jì)的均方誤差最小。設(shè)計(jì)該濾波器，并計(jì)算波形估計(jì)的均方誤差。51解

據(jù)題意，待估計(jì)的波形，是維納濾波問題。首先對和進(jìn)行雙邊拉普拉斯變換，得令52那么故有又有然后求維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和均方誤差。非因果的維納濾波器

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因果的維納濾波器54例維納預(yù)測和平滑問題。設(shè)隨機(jī)信號加白噪聲都是均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)過程，二者互不相關(guān)。自相關(guān)函數(shù)分別為試求估計(jì)波形及均方誤差。556.3離散過程的維納濾波566.3.1離散過程的維納—霍夫方程575859離散形式連續(xù)形式6061離散過程的維納-霍夫方程〔因果關(guān)系〕626.3.2離散維納濾波器的解離散維納濾波器的z域解(頻域)A因果解B非因果解離散維納濾波器的時域解631離散維納濾波器的z域解(非因果解)646566可以看出，維納濾波的最小均方誤差不僅與觀測〔輸入〕信號的功率譜有關(guān)，而且和噪聲和信號功率譜的乘積有關(guān)，也就是說，最小均方誤差與信號