奧賽例題及答案

練習(xí)題七：遞推法、類比法和估算法(一)遞推法A1、如圖6—6所示，一固定的斜面，傾角0=45°，斜面長L=2.00米。在斜面下端有一與斜面垂直的擋板。一質(zhì)量為m的質(zhì)點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零。下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點與斜面間的動摩擦因數(shù)g=0.20，試求此質(zhì)點從開始到發(fā)生第11次碰撞的過程中運動的總路程。設(shè)每次開始下滑時，小球距檔板為s，則由功能關(guān)系:解析：因為質(zhì)點每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質(zhì)點從開始到發(fā)生n設(shè)每次開始下滑時，小球距檔板為s，則由功能關(guān)系:gmgcosO(s+s)=mg(s—s)sin01 2 1 2/gmgcosO(s2+s3)=mg(s2—s3)sin0由此可見每次碰撞后通過的路程是一等比數(shù)列，其公比為23..?在發(fā)生第11次碰撞過程中的路程:s=s+2s+2s+…+2s,,=2(s+s+s+…+sJ—s,TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 11 '123 11， 1；/2、一=2x*l■一(3」—s廣10—12x(2)11=9.86m\o"CurrentDocument"12 1 31一3A2、小球從高h(yuǎn)=180m處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小10 n(n=2)，求小球從下落到停止經(jīng)過的總時間和通過的總路程。(g取10m/s2)解析：小球從h0高處落地時，速率v0^；2gh0=60m/s第一次跳起時和又落地時的速率V]=亍第二次跳起時和又落地時的速率v2=亍第m次跳起時和又落地時的速率v=、m2m每次跳起的高度依次為％=亍=、，h2=予=虬，通過的總路程Ss=h0+2h1+2h2+…+2hm+…n2h1 1 1 、=h0+―(1+—+—+…+ +…)=h+2h()=h-n2+1=5h=300m0n2-1 0n2-130經(jīng)過的總時間為st=t0+t]+t2+…+tm+…=V0+2V1+…+2Vm+…gg g=v()[1+2-—+…+2-(―)m+…]g n n=J.B=W=18sgn-1gA3、使一原來不帶電的導(dǎo)體小球與一帶電量為Q的導(dǎo)體大球接觸，分開之后，小球獲得電量q。今讓小球與大球反復(fù)接觸，在每次分開有后，都給大球補充電荷，使其帶電量恢復(fù)到原來的值Q。求小球可能獲得的最大電量。解析：兩個孤立導(dǎo)體相互接觸，相當(dāng)于兩個對地電容并聯(lián)，設(shè)兩個導(dǎo)體球帶電Q—、Q2，由于兩個導(dǎo)體球?qū)Φ仉妷合嗟?，故有，即烏工，亦即雹?工=kCCQCQ+QC+C所以Q=k(Q—+Q2)，「為常量，此式表明1帶2電(或不帶電)的小球跟帶電大球接觸后，小球所獲得的電量與總電量的比值不變，比值k等于第一次帶電量q與總電量Q的比值，即k=Q。根據(jù)此規(guī)律就可以求出小球可能獲得的最大電量。設(shè)第1、2、…、n次接觸后小球所帶的電量分別為q—、q2、…，有：q—=kQ=qq2=k(Q+q1)=q+kqq3=k(Q+q2)=kQ+kq2=q+kq+k2qqn=k(Q+qn_1)=q+kq+k2q+…+kn-1q由于k<1/上式為無窮遞減等比數(shù)列，根據(jù)求和公式得:-q__L__q2_q— — —n1-k1-qQ-qQ即小球與大球多次接觸后，獲得的最大電量為qQ。Q-qA4、A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？答案：練習(xí)題五：對稱法第“B5”題A5、一個半徑為1米的金屬球，充電后的電勢為U，把10個半徑為1/9米的均不帶電的小金屬球順次分別與這個大金屬球相碰后拿走，然后把這10個充了電了小金屬球彼此分隔擺在半徑為10米的圓周上，并拿走大金屬球.求圓心處的電勢?(設(shè)整個過程中系統(tǒng)的總電量無泄漏)答案：0.065UA6、用20塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為L，橫截面是邊長為h(h—L)的正方形，要求此橋具有最大的跨度(即4橋孔底寬)，計算跨度與橋孔高度的比值。解析：為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側(cè)應(yīng)有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，

又由于每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值。將從上到下的積木塊依次計為1、2、…、n，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為：Ax又由于每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值。將從上到下的積木塊依次計為1、2、…、n，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為：Ax1L2第2塊相對第3塊的最大伸出量為Ax2(如圖6—4所示)，則:G?Ax2=(L—Ax2)-G得：AX2=9左同理可得第3塊的最大伸出量:Ax=L32x3最后歸納得出：Ax=二n2xn所以總跨度：k=229Ax=11.32hn-1圖6-4跨度與橋孔高的比值為：『蚌'.258A7、在如圖6—11所示的電路中，S是一單刀雙擲開關(guān)，A1和A2為兩個平行板電容器，S擲向a時，A1獲電荷電量為Q，當(dāng)S再擲向b時，A2獲電荷電量為q。問經(jīng)過很多次S擲向a，再擲向b后，A2將獲得多少電量？解析：S擲向a時，電源給A1充電，S再擲向b，A1給A2充電，在經(jīng)過很多次重復(fù)的過程中，A2的帶電量越來越多，兩板間電壓越來越大。當(dāng)A2的電壓等于電源電壓時，A2的帶電量將不再增加。由此可知A2最終將獲得電量q2=C2E。 七_(dá)_因為q=C1E，所以：q=q ri=當(dāng)S由a第一次擲向b時，有：『=q 蝦ACC所以:Qq

(Q-q)E解得A2最終獲得的電量：q2=Qq

Q—qA8、如圖6—8所示，質(zhì)量m=2kg的平板小車，后端放有質(zhì)量M=3kg的鐵塊，它和車之間動摩擦因數(shù)g=0.50。開始時，車和鐵塊共同以v0=3m/s的速度向右在光滑水平面上前進(jìn)，并使車與墻發(fā)生正碰，設(shè)碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足夠長，使得鐵塊總不能和墻相碰，求小車走過的總路程。解析；小車與墻撞后，應(yīng)以原速率彈回。鐵塊由于慣性繼續(xù)沿原來方向運動，由于鐵塊和車的相互摩擦力作用，過一段時間后，它們就會相對靜止，一起以相同的速度再向右運動，然后車與墻發(fā)生第二次碰撞，碰后，又重復(fù)第一次碰后的情況。以后車與墻就這樣一次次碰撞下去。車每與墻碰一次，鐵塊就相對于車向前滑動一段距離，系統(tǒng)就有一部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，車每次與墻碰后，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和。設(shè)每次與墻碰后的速度分別為V］、v2、v3、…、vn、…車每次與墻碰后向左運動的最遠(yuǎn)距離分別為s1、s2、s3、…、sn、…。以鐵塊運動方向為正方向，在車與墻第(n—1)次碰后

到發(fā)生第n次碰撞之前，對車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有:(M—m)vn_1=(M+m)vn，所以：vn=^°vn_!=號由這一關(guān)系可得：v2=飛,v3=了，…一般地，有：v=七n5n-1由運動學(xué)公式可求出車與墻發(fā)生第n次碰撞后向左運動的最遠(yuǎn)距離為:_v2_v2 1Sn=C,M所以車運動的總路程:類似地，由這一關(guān)系可遞推到:所以車運動的總路程:s總=2(S]+S2+S3+…+sn+…)v2 1 1=2?r(1+—+一+…+-2a 52 54 52n-2v2 1_v225a1 1a241—52因為v1=v0=3m/s，a=*Mg=?m/s2所以：s總=1.25mA9、一列進(jìn)站后的重載列車，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節(jié)車廂，那么，利用倒退起動，該車頭能起動多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？解析：若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節(jié)車廂動能都增加，若利用倒退起動，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節(jié)車廂起動的動能則不同。原來掛鉤之間是張緊的，倒退后掛鉤間存在As的寬松距離，設(shè)火車的牽引力為F，則有：車頭起動時，有：(F—gmg)As=^mv2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 1拉第一節(jié)車廂時：(m+m)v'=mv1 11 1F.故有：v2=v2=( —gg)As1 4 12m(F—2gmg)As=2x2mv_2x2mv‘2拉第二節(jié)車廂時：(m+2m)v'=2mv2故同樣可得：v'='v2=2(「——gg)As2923m3推理可得：v，2=—^(E—2n+1gg)Asnn+1m3由v‘2>0可得：F>七*gmg另由題意知F=31gmg，得：n<46因此該車頭倒退起動時，能起動45節(jié)相同質(zhì)量的車廂。

(二)類比法B1、圖12-1中AOB是一內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面(圖中紙面)上，夾角a=1°(為了能看清楚，圖中畫的是夸大了的)。現(xiàn)將一質(zhì)點在BOA面內(nèi)從A處以速度v=5m/s射出，其方向與AO間的夾角0=60°，OA=10m。設(shè)質(zhì)點與桌面間的摩擦可忽略不計，質(zhì)點與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：經(jīng)過幾次碰撞質(zhì)點又回到A處與OA相碰？(計算次數(shù)時包括在A處的碰撞)共用多少時間？在這過程中，質(zhì)點離O點的最短距離是多少？解析：由于此質(zhì)點彈性碰撞時的運動軌跡所滿足的規(guī)律和光的反射定律相同，所以可用類比法通過幾何光學(xué)的規(guī)律進(jìn)行求解。即可用光在平面鏡上反射時，物像關(guān)于鏡面對稱的規(guī)律和光路是可逆的規(guī)律求解。圖1S-1-甲(1)第一次，第二次碰撞如圖12—1—甲所示，由三角形的外角等于不相鄰的一兩個內(nèi)角和可知zMBA=60°+1°=61°，故第一次碰撞的入射角為90°—61°圖1S-1-甲第二次碰撞，ZBCA=61°+1°=62。，故第二次碰撞的入射角為90°—62°=28°。因此，每碰一次，入射角要減少1°，即入射角為29°、28°、…、0°，當(dāng)入射角為0°時，質(zhì)點碰后沿原路返回。包括最后在A處的碰撞在內(nèi)，往返總共60次碰撞。如圖12—1—乙所示，從O依次作出與OB邊成1°、2°、3°、……的射線，從對稱規(guī)律可推知，在AB的延長線上，BC、CD，、D，E，、……分別和BC、CD、DE、……相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的入射角與直角之和。碰撞入射角為0°時，即交角為90°時開始返回。故質(zhì)點運動的總路程為一銳角為60°的RtAAMO的較小直角邊AM的二倍。即：s=2AM=2AO-cos60°=10m所用總時間：t=s=史=2sv5碰撞過程中離O的最近距離為另一直角邊長：OM=AO.sin60°=54m(此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。)AB2、有一個很大的湖，岸邊(可視湖岸為直線)停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h。同時岸上一人從停放點起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為2.0km/h，問此人能否追及小船？解析：費馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時間為極小值的路程傳播。本題求最短時間問題，可類比類在平面分界面上的折射情況，這樣就把一個運動問題通過類比可轉(zhuǎn)化為光的折射問題求解。

如圖12—2所示，船沿OP方向被刮跑先沿湖岸跑，在A點入水游到OP的B點，定律，則所用時間最短。根據(jù)折射定律：迎也二40如圖12—2所示，船沿OP方向被刮跑先沿湖岸跑，在A點入水游到OP的B點，定律，則所用時間最短。根據(jù)折射定律：迎也二40，解得：y=30°siny2.0a=180°-15°-（90°+y）=45°在這最短時間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點，若船已經(jīng)通過了B點，則人不能追上小船，B點所對應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速v4*口4-0 71-J—T-mvt vt vt根據(jù)正弦定理：——m—=—=—2^sin120osin45osin15o設(shè)人從O點出發(fā)如果符合光的折射則人能追上小船，所以船剛好能到達(dá)又：t=t1+t2由以上兩式可解得：v=——rmvsin15ovvsin120o+vsin45o此即小船能被人追上的最大速度，而小船實際速度只有2.5km/h能追上小船。小于2松km/h，所以人B3、一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離x成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距洞中心距離x1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/so問當(dāng)老鼠到達(dá)距洞中心x2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達(dá)B點所用的時間t=?答案：練習(xí)題四：圖解法第“8”題（三）估算法（建模法的基礎(chǔ)）C1、已知地球半徑約為6.4x106m，又知月球繞地球的運動可近似看做勻速圓周運動，則可估算出月球到地心的距離約為m（結(jié)果只何留一位有效數(shù)字）。解析：因為月球繞地球的運動可近似看做勻速圓周運動，所以可根據(jù)月球所受的萬有引力提供月球做勻速圓周運動所需要的向心力及月球公轉(zhuǎn)周期求解此問題，也可根據(jù)地球上的光經(jīng)月球反射2秒后返回地球的知識估算。根據(jù)運動定律及萬有引力定律得：GMm/2兀* =m( )2rTr2GMm'R2=m'g由①、②兩式代入數(shù)據(jù)可得r=4.1x108m（其中T是月球繞地球旋轉(zhuǎn)周期，T=30天）C2、估算在室溫下，真空度達(dá)1.33x10-Pa時，容器內(nèi)空氣分子的平均距離。（取一位有效數(shù)字即可）解析：要想求容器內(nèi)空氣分子的平均距離，則可以根據(jù)克拉珀龍方程求出每個空氣分子所占的體積，由此即可求解。取1摩爾空氣作為研究對象，視每個空氣分子所占的空間是以分子間的平均距離a為邊長的立方體，每個分子處在立方體的中心。則每個空氣分子占據(jù)的空間的體積為：V0=a3

根據(jù)克拉珀龍方程，1摩爾空氣占據(jù)的總體積：V=RT=N0=Na3pV00