線段的垂直平分線與角平分線專題復習

線段的垂直平分線與角平分線專題復習

本文介紹了線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及其應用。線段的垂直平分線有兩個重要的性質(zhì)。首先，垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等。這個性質(zhì)可以用來證明兩條線段相等。其次，線段關于它的垂直平分線對稱。線段垂直平分線的判定定理則是指到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。這個定理可以用來證明一個點在某線段的垂直平分線上。線段垂直平分線的性質(zhì)定理還有一個推論，即關于三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)。這個推論指出，三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。這個性質(zhì)可以用來證明三角形內(nèi)的線段相等。另外，三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀有關。如果三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)部；如果三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；如果三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部。角平分線也有一個重要的性質(zhì)定理，即角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。這個性質(zhì)可以用來證明兩條線段相等，也可以用于幾何作圖問題。另外，角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線。角平分線的判定定理是指在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。這個定理可以用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線。最后，本文介紹了關于三角形三條角平分線的定理。這個定理指出，三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等。1.根據(jù)題意，可以將文章改寫為：“在三角形ABC中，點D、E、F分別垂直于BC、CA、AB，且它們的交點為I。則有DI=EI=FI，可以用于證明三角形內(nèi)的線段相等，也可以用于實際中的幾何作圖問題。”2.三角形的三個角平分線交點一定在三角形的內(nèi)部，這個交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心。這個定理可以用于證明三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)。3.關于線段的垂直平分線和角平分線的作圖，我們需要掌握已知線段作垂直平分線、已知角作角平分線、以及與線段垂直平分線和角平分線有關的簡單綜合問題的圖形作圖方法。4.精品習題：1.在直角三角形ABC中，BD是角ABC的平分線，AC=32，且AD:DC=5:3。則點D到AB的距離為多少？2.在三角形ABD中，AD=4，AB=3，AC平分角BAD。求三角形ABC和三角形ACD的面積之比。3.在三角形ABC中，AB=20，BC=30，CA=40。三條角平分線將三角形ABD分為三個三角形。求三角形ABO、三角形BCO和三角形CAO的面積之比。4.在三角形ABC中，∠BAC=105度，MP和NQ分別垂直平分AB和AC。求∠PAQ的度數(shù)。5.在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90度。AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，點P恰好在CD上。求PD與PC的大小關系。6.在三角形ABC中，A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形。現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修一個超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等。超市應建在哪里？7.在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高。將三角形BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處。求∠A的度數(shù)。8.在四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD。則有哪些性質(zhì)成立？9.在三角形AOB中，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B。下列結論中不一定成立的是哪個？10.隨著人們生活水平的提高，汽車成為家喻戶曉的交通工具。小紅的父親想在他們所在的鎮(zhèn)上的三條相交公路建立一個加油站，要求它與三條公路的距離相等。有四個可供選擇的地址，分別是1、2、3和4。11.在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4。平分線PE和PF分別交BC和AB于點E和F。我們要求PE的長度。12.如圖所示，BD和DC分別是等腰直角三角形△BDA和△HDC的底邊。延長線BH和AC相交于點E。我們需要判斷線段AC和BH之間的關系，并給出理由。13.如圖所示，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分線。我們需要證明AC+CD=AB。14.如圖所示，AD是△ABC的角平分線。AD的中垂線交AB于點E，交BC的延長線于點F，AC和EF交于點O。（1）我們需要證明∠3=∠B。（2）連接OD，我們需要證明∠B+∠ODB=180°。15.已知∠DAB=120°，AC平分∠DAB，且∠B+∠D=180°。（1）在圖1中，當∠B=∠D時，我們需要證明AB+AD=AC。（2）在圖2中，當∠B≠∠D時，我們需要猜測結論（1）是否仍然成立，并給出理由。16.如圖所示，AB=AD，CB=CD。（1）小芳認為AC⊥BD，垂足為點E，并且BE=ED。我們需要判斷小芳的判斷是否正確，并給出理由。（2）設AC=a，BD=b，我們需要用含a，b的式子表示四邊形ABCD的面積。17.如圖所示，AB∥CD，AE和DE分別平分∠BAD和∠ADE。我們需要證明AD=AB+CD。18.