2021年2022年各地高考數(shù)學(xué)真題匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題

2021、2022年高考數(shù)學(xué)真題匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題

解答題

1.(2022,全國甲(文)T20)已知函數(shù)/(x)=d一工遙(%)=》2+。，曲線y=/(x)在點(diǎn)

(Xj(xj)處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若X]=-1,求4；

(2)求a的取值范圍.

2.(2022?全國甲(理)T21)已知函數(shù)=—\nx+x-a.

X

(1)若/(x"0,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)對電，則環(huán)玉々＜L

3.(2022?全國乙(文)T20)己知函數(shù)/(x)=公一工一(。+l)lnx.

x

(1)當(dāng)a=O時(shí)，求/(%)的最大值；

(2)若/(*)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

4.(2022.全國乙(理)T21)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+axe7

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(%)在區(qū)間(-1,0),(0,內(nèi))各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

5.(2022?新高考I卷T22)已知函數(shù)/(x)=e*-ox和g(x)=or-lnx有相同最小值.

(1)求“；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并

且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

6.(2022?新高考口卷T22)已知函數(shù)/(x)=xe"—e'.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(%)<-1,求a的取值范圍；

111

(3)設(shè)〃eN*，證明:>ln(n+l).

Vl2+1V22+2yjn2+n

7.(2022?北京卷T20)已知函數(shù)八幻=，'ln(l+x).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,7(0))處切線方程；

(2)設(shè)g(x)=7'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對任意的s/w(0,+8),有/(.￥+，)>/(s)+/Q).

8.(2022?浙江卷T22)設(shè)函數(shù)/(x)=±+lnx(x〉0).

lx

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知,曲線y=/(x)上不同的三點(diǎn)(%,/(』)),(％2，/(%2))，(工3，/(*3))處的

切線都經(jīng)過點(diǎn)(46).證明：

(i)若a>e,則0<b—/(a)<；IE

2e-a1126-。

(ii)若0<。<e,不v%，則—,■,2<—1--------<—

e6e-x}x3a

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)底數(shù))

9.(2021.全國)已知函數(shù)=—Inx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，匕為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且/21na-aln0=a-b,證明：2<—+<e.

a

10.(2021?全國(文))設(shè)函數(shù)/(x)=a、2+tzx-31nx+l,其中a〉().

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，求〃的取值范圍.

11.(2021?浙江)設(shè)a,。為實(shí)數(shù)，且a>l,函數(shù)/(x)=a*-bx+e2(xeR)

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意人>2e?,函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍；

(3)當(dāng)a=e時(shí)，證明：對任意0>e4,函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)占,吃,滿足

b\nb/

(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

12.(2021?全國(理))已知。＞0且a/1,函數(shù)/(x)=—(x〉0).

ax

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

13.(2021.全國(理))設(shè)函數(shù)“X)=ln(a—x),已知x=0是函數(shù)y=獷(力的極值點(diǎn).

(1)求a；

x+/(x)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=—771—.證明:g(x)<L

xf(x)

參考答案

1.【答案】(1)3(2)[-1,4W)

【小問1詳解】

由題意知，/(-1)=-1-(-1)=0,/(元)=3/-1,/,(-1)=3-1=2,則y=/(x)在點(diǎn)

(-1,0)處的切線方程為y=2(x+1),

即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(w，g(w))，g'(x)=2x,則g'(X2)=2x2=2,解

得X2=l,則g(l)=l+a=2+2,解得a=3：

【小問2詳解】

/'(X)=-1,貝ijy=/(%)在點(diǎn)(占J(xJ)處的切線方程為

y-(xf-)=(3x,2-1)(x-x,),整理得y=(3龍;,

設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(W，g(w)),g'(x)=2x,貝1蜂，(電)=2々，則切線方程為

x

y~(2+^)=2X2(X-X2),整理得y=2%2%-6+?，

3x：—1=2x,

—2x；=—^2+Cl

93i

令〃(x)=—x4—2x3—x2+—,ROh'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-l),令hr(x)>0,

424

解得一，<x<0或x〉l,

3

令〃'(x)<0,解得或O<X<1,則X變化時(shí)，”(x),〃(x)的變化情況如下表:

X000(0,1)1(L+00)

1Tl~3(4-°)

"(X)—0+0—0+

5

h(x)/-1/

274

則〃(x)的值域?yàn)閇—1,大動(dòng)，故。的取值范圍為

2.【答案】(1)(-oo,e+l]

(2)證明見的解析

【解析】

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；

eviInx—((龍->0,再利用導(dǎo)數(shù)即

(2)利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為一一xe'-2

X

可得證.

【小問1詳解】

Ax)的定義域?yàn)?0,+8),

令/(x)=0,得x=l

當(dāng)xe(0,1),/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(I,+oo),/V)>0,/(x)單調(diào)遞增/(x)>/(I)=e+1-a,

若/(x)20,則e+1-aNO,即aWe+1

所以〃的取值范圍為(-8,e+l]

【小問2詳解】

由題知,/(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1

不妨設(shè)不<1<々

1

要證斗々<1,即證為〈一

了2

1(1>

因?yàn)閄|,—6。1),即證/(百)>/—

X2kX27

1

因?yàn)椋?X|)=/(W)，即證—

\X2J

0—]

即證----lnx+x-xev-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

即證史一J―2lnx—垢—4>。

x[_2(x/

e%—??\

下面證明x>l時(shí)，----xex>0,lnx--x一一<0

x2lx

設(shè)g(x)=-----xeA,x>1,

x

(\1A(11【口小單-小-4」］

則g\x)=p-Je'-ev+xex

1x-))x\x)Ix)

riVeADx-\(e

、x

Ix\xJ冗［x7

設(shè)°(x)=^(x〉l)，9'(x)=(g_:卜=」、〉。

所以9(x)>9(l)=e,而10

所以史—￡>0,所以g'(x)>0

X

所以g(x)在(1,+C。)單調(diào)遞增

e'1

即g(x)>g(l)=0,所以——xev>0

X

令h(x)-1nx1

、1112x-x2-L”<o

〃(幻=J1+2=02

x2kx)2x2x2

所以〃(x)在(1,y)單調(diào)遞減

4)<o：

即/z(x)<力(1)=0,所以

je*'3If111>0,所以玉工2<1■

綜上，----xcA-2Inx—x—

x

3..【答案】（1）-1

（2）（0,-KQ）

【解析】

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解;

（2）求導(dǎo)得廣（同=3-1）2（1）,按照。40、

0<6Z<l及。>1結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單

調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=---lnx,x>0,則/=J=,

XXXX

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，#(x)>0,“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/?x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

所以“x)11Hx="1)=-1；

【小問2詳解】

/(x)=ax---(tz+l)lnx,x>0,則r(x)=a+［-^^~=3四%。,

xxxx

當(dāng)時(shí)，ax-l<0,所以當(dāng)x?0,l)時(shí)，/<x)>0,/(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/彳x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以,(％)3=/(1)=?！?<0,此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)0<a<l時(shí)，->1,在(0,1),(：,+8)上，f^x)>0,單調(diào)遞增；

在(1，5)上，,%x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

又/⑴="-1<0,當(dāng)x趨近正無窮大時(shí)，/(x)趨近于正無窮大，

所以/(力僅在］1,+8)有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)a=l時(shí)，r(x)=(二1)_NO,所以/(X)單調(diào)遞增，又，(1)="-1=0,

所以/(力有唯一零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)”>1時(shí)，-<1,在(0,口,(1,小)上，盟x)>0,〃x)單調(diào)遞增；

在((』)上，戶")<0,“X)單調(diào)遞減；此時(shí)/⑴=a—1>0,

又/U〕=」T-a"+〃(a+l)lna,當(dāng)"趨近正無窮大時(shí),/(士］趨近負(fù)無窮,

所以/(x)在(0)有一個(gè)零點(diǎn)，在(：,+(?)無零點(diǎn),

所以/(力有唯一零點(diǎn)，符合題意;

綜上，a的取值范圍為(0,+8).

4.【答案】(1)y=2x

(2)

【解析】

【分析】(1)先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可

(2)求導(dǎo)，對。分類討論，對x分(-l,0),(0,-Ko)兩部分研究

【小問1詳解】

/(x)的定義域?yàn)?-1,+8)

X

當(dāng)a=l時(shí),/(x)=ln(l+x)+-,/(0)=0,所以切點(diǎn)為(0,0)

er

11_

f'(x)=--+Yr,/(0)=2,所以切線斜率為2

1+xe

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=2x

【小問2詳解】

/(x)=ln(l+x)+—

e

/(1)」+硬33小瑪

1+xev(l+x)ex

設(shè)g(x)=e*+a(l—x2)

1°若a>0,當(dāng)xe(—1,0),g(x)=e*+a(1—f)>o,即八%)>0

所以fM在(-1,0)上單調(diào)遞增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上沒有零點(diǎn)，不合題意

x

2°若一掇女0,當(dāng)xe(0,+w)，則g'(x)=e-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a.0,即f'(x)>0

所以f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,f(x)>/(O)=0

故fM在(0,+oo)上沒有零點(diǎn)，不合題意

3°若。<-1

⑴當(dāng)xe(0,+00)，則g'(x)=e"-2ax>0,所以g(x)在(0,+a))上單調(diào)遞增

g(0)=l+a<O,g(l)=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(m)=0,即f(m)=0

當(dāng)xe(0,m),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xwO,+8),/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增

所以

當(dāng)xe。附J(x)</(0)=0

當(dāng)X—>+co,f(x)T+00

所以/'(x)在(m,yo)上有唯一零點(diǎn)

又(0,m)沒有零點(diǎn)，即f(x)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)

(2)當(dāng)xe(-1,0),g(x)=e*+a(1-爐)

設(shè)〃(x)=g'(x)=e*-lax

h(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)單調(diào)遞增

g'(-l)」+2a<0,g'(0)=l>0

e

所以存在〃e(—1,0)，使得g'(〃)=0

當(dāng)xe(-l,〃),g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減

當(dāng)xe(〃,O),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增g(x)<g(0)=l+a<0

又g(T)」>0

e

所以存在fe(-l,n)，使得g(t)=0,即f'(t)=0

當(dāng)xe(-1,/),/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(f,0),/(x)單調(diào)遞減

有了—>—1,/(X)—>—00

而/(0)=0,所以當(dāng)xe億0),/(x)>()

所以f(x)在(―1/)上有唯一零點(diǎn),",0)上無零點(diǎn)

即f(x)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn)

所以。<-1,符合題意

所以若f(x)在區(qū)間(一1,0),((),”)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍為(—8,-1)

5.【答案】(1)a=l

(2)見解析

【小問1詳解】

/0)=6"-收的定義域?yàn)?,而f'(x)=e'-a,

若a40,則/'(x)>0,此時(shí)/(x)無最小值，故。>0.

8(%)=0￥-111%的定義域?yàn)?0,+8),而g(x)=a-4=竺」

xx

當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0,故/(x)在(YO,Ina)上為減函數(shù),

當(dāng)x>lna時(shí)，f'M>0,故在(Ina,欣)上為增函數(shù),

故/(0向=/(lna)=a-alna.

當(dāng)0cx<，時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在1。,工］上為減函數(shù)，

aka)

當(dāng)X〉，時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在］，,+cc］上為增函數(shù)，

a\a)

故g(X)min=g(L］=l_ln'.

\a)a

因?yàn)閒M=e'-ax和g(x)=以Tnx有相同的最小值，

1a-1

故l-ln—=a-alnQ,整理得到----=lna其中Q>0,

a1+af

i21-a2-1

設(shè)g(。)=:-----lna,a>0,則g'S)=----一一二-------?0，

1+a(1+Q)aa(l+〃)

故g(。)為(°，+°。)上的減函數(shù)，而g(l)=。，

故g(〃)=0的唯一解為a=l，故:"@=lna的解為a=l.

綜上，a=l.

【小問2詳解】

由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值為l-lnl=l-ln；=l.

當(dāng)b>l時(shí)，考慮e*-x=b的解的個(gè)數(shù)、x—lnx=b的解的個(gè)數(shù).

^S(x)=e'—x—h,Sf(x)—el—1,

當(dāng)尤<0時(shí),S'(x)<0,當(dāng)%>0時(shí)，S,(x)>0,

故S(x)在(-8,0)上為減函數(shù)，在(0,+8)上為增函數(shù)，

所以S(xL=S(0)=l—方<0，

而S(4)=e-'>0,S(t))=^-2b,

設(shè)〃e)=e〃-2",其中/?>1,則/())=e"-2〉0,

故M?在(1,+8)上為增函數(shù)，故〃?>〃(l)=e-2>0,

故S(b)>0,故S(x)=eX-x—A有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即e=x=。的解的個(gè)數(shù)為2.

設(shè)T(x)=x-lnx-Z?,T,(x)=-^—,

當(dāng)0<x<l時(shí)，T")<0,當(dāng)%>1時(shí)，r(x)>o,

故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,轉(zhuǎn))上為增函數(shù)，

所以T(xL=T(l)=l"<。，

而T(e")=e-">0,T(e")=e"-2/?>0,

T(x)=x-lnx-匕有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即x-lnx=Z?的解的個(gè)數(shù)為2.

當(dāng)6=1,由(1)討論可得x-lnx=Z?、e"-x=Z?僅有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)方<1時(shí)，由(1)討論可得x—lnx=〃、e'—x=人均無零點(diǎn)，

故若存在直線y=力與曲線y=/(X)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則8>1.

設(shè)〃(x)=e*+Inx-2x,其中x>0,故"(x)=e"+!-2,

X

設(shè)s(x)=e*-x-1,%>0,則s'(x)=e*-l>0,

故s(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，故s(x)>s(0)=0即e*>x+l，

所以〃'(x)>x+--lN2-l>0,所以〃(x)在(0,+o5)上為增函數(shù)，

1_7?

而/?⑴=e_2〉0,/(—)=e，-3--<e-3--<0>

2eeerer

故/z(x)在(O,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)與，<1且：

當(dāng)。<x<x()時(shí),/i(x)<OBPex-x<x-lnxEP/(x)<^(x),

當(dāng)X〉小時(shí)，〃(x)>(H|Je*-x>x—lnA^I"(x)>g(x)，

因此若存在直線y=b與曲線y=〃x)、y=g(x)有三個(gè)不同交點(diǎn)，

故0=/(%)=g(Xo)>l，

此時(shí)e*-x=b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)再,/(王〈OCX。),

此時(shí)x-lnx=Z?有兩個(gè)不同的零點(diǎn)工(),工4(0<入0<1<x4),

故e*'_X]=b,-x0=h,x4-lnx4-Z?=0,x0-lnx0-b-0

Xib

所以*4-b=In￡即e~=x4即-(x4-b)-b-Q,

故Z為方程e*—x=b的解，同理％-b也為方程e、—x=b的解

又e*1-尤]=6可化為e*1=&+8即玉+，)=0即(玉+O)_ln(X]+b^-b-O,

故當(dāng)+人為方程x-lnx=Z?的解，同理與+b也為方程x-lnx=Z?的解，

所以｛七,為｝=｛/一仇王-4,而力>1,

x=x,—b

故〈n，即X]+%=2%.

X]=x0-b

6.【答案】⑴/(X)的減區(qū)間為(—8,0),增區(qū)間為(0,+8).

(2)a<-

2

(3)見解析

【小問1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x-l)ex,則r(x)=xe',

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，f\x)>0,

故/(x)的減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(0,+8).

【小問2詳解】

設(shè)〃(x)=xeav-e*+1,則/z(0)=0,

又/2Z(x)=(1+ax)e?-ev,設(shè)g(x)=(l+tzx)e"‘—e*,

貝Ig，(x)=(2。+?2x)e<a-e',

若a>:，則g'(0)=2a-l>0,

因?yàn)間'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在x()e(°，+8)，使得Wxe(O,%())，總有g(shù)?x)>0,

故g(x)在(0,朝)為增函數(shù)，故g(x)>g(0)=0，

故〃(x)在(0,不)為增函數(shù)，故〃(x)>〃(O)=-l,與題設(shè)矛盾.

若0<〃弓，則”(力=(1+6)e""—e*=e3i礙+的—e',

下證：對任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立，

證明：設(shè)S(x)=ln(l+x)-x,故S，(x)=d—l=F<0,

故S(x)在(0,+oo)上為減函數(shù)，故S(x)<S(O)=O即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有十川迎+狗_e*<e"-—e'=e2ar-er<0>

故/(x)WO總成立，即〃(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，

所以〃(%)<〃(0)=-1.

當(dāng)a40時(shí)，有〃'(x)=e"'—e'+axe"'<1—1+0=0,

所以〃(x)在(0,+8)上為減函數(shù),所以〃(x)</z⑼=-1.

綜上，aW—.

2

【小問3詳解】

取。=g,則Vx>0,總有起夕_/+]<0成立，

令—2X，則1>1,r=e',x=2In，，

/一c

故2〃nr〈產(chǎn)-1即2lnr<f-l對任意的”1恒成立.

t

所以對任意的〃GN*，有21n

整理得到：ln(〃+l)-ln〃<二—,

>In2-In1+In3-In2+???+In(H+1)-InH

=ln(〃+l),

故不等式成立.

7.【答案】(1)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明見解析

【小問1詳解】

解：因?yàn)?(x)=e*ln(l+x),所以"0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又尸(x)=e'(ln(l+x)+J),

切線斜率/=/'(0)=1

...切線方程為：丫=%

【小問2詳解】

解:因?yàn)?。)=/'(幻=6"(111(1+幻+/一)，

1+X

2I

所以g'(X)=ev(ln(l+x)+-----——萬)，

1+x(1+x)

21

令h(x)=ln(l+x)+--------3，

1+X(1+X)

,,122%2+1

則〃(%)=-------------+-------=------->0,

1+x(1+x)2(1+4(l+x)3

在［0,+?)上單調(diào)遞增，

/?(%)>力(0)=1>0

...g'(x)>o在［0,+8)上恒成立，

.?.g(x)［0,+o。)上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

解：原不等式等價(jià)于f(s+t)-/(s)>f(t)~/(0),

令機(jī)(x)=/(x+f)-/(x),(無,f>0),

即證機(jī)(x)>m(0),

m(x)=f(x+，)一/(x)=ev+/ln(l+x+Z)—e"ln(l+x),

e"

m(x)=e""ln(l+x+，)d---------evln(l+x)------=g(x+，)一g(x),

1+x+r1+x

由(2)知且(幻=/'0)=爐(111(1+%)+」一)在[0,+00)上單調(diào)遞增，

1+x

，g(x+，)>g(x),

/.m(x)>0

...，**)在(0,+幻)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤,t>0,

：.m(x)>m(O),所以命題得證.

8.【答案】⑴/(x)的減區(qū)間為(0,'lj,增區(qū)間為(J,+℃

(2)(i)見解析；(ii)見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.

(2)(i)由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，

,X,a2(加一13)(〃/一加+12)

(ii)%=,,〃=一<1,則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為4+4—2——<-----與-----------)-,

%em36根(G+A)

-m+\2\

結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為In根+^——-一-^―--------^<0,利用導(dǎo)數(shù)可

72(m+l)

證該不等式成立.

【小問1詳解】

2x-e

小)T+B2x2

當(dāng)0<x<],f^x)<0；當(dāng)x>"|，/彳》)>0,

故/(x)的減區(qū)間為0,］卜/(X)的增區(qū)間為|9,+8

127

【小問2詳解】

(i)因?yàn)檫^(區(qū)。)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為(4/(七))"=1,2,3,

故了(%)—〃=/'(%)(七一a)，

故方程/(x)->=/'(x)(x-a)有3個(gè)不同的根,

e(1e、/x1e

=T(x-e)(x-。)，

當(dāng)0<x<e或x>&時(shí)，g,x)<0；當(dāng)e<x<a時(shí)，g?x)>0,

故g(x)在(O,e),(a,+8)上為減函數(shù)，在(e,a)上為增函數(shù)，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),故g(e)<0且g(a)>0,

Z7A

整理得到：人<三+1且/?>鼠+1110=/(〃)，

止匕時(shí)b—f(a)—?—1|<-----F1-|---FIn6/|-------1—=----------Inci

'72(eJ2e12aJ2e222a

設(shè)〃(a)=±—三—Ina,則〃'(a)=W<0,

'"22av'2a2

3e

故”(a)為(e,+a>)上的減函數(shù)，故--lne=O,

故0<Z?一/(a)<]]■|■一1)

(ii)當(dāng)0<a<e時(shí)，同(i)中討論可得:

故g(x)在(O,a),(e,+)。)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

不妨設(shè)Xj<x2<x3,則。<玉<a<々<e<.，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故g(a)<0且g(e)>0,

故(———--lne+Z7>OK|------a-a]---1na+h<0,

le2e272e{a2a2T)2a

整理得到：---F1</?<----bln。，

2e2e

因?yàn)橛瘛垂?〈工3，故。<玉<。<工2<?<%3,

a+eeai,

又g(x)=l-H---z—Inx+。，

X2x2

a+e

設(shè)"上,-=WG(O,1),則方程1一+—^-ln%+b=O即為:

xex2x

a+eZ7

r+—r+lnz+/?=O即為一(〃?+1)，+5/+lnf+b=0,

e

eee

記:=—力2~—3~~，

X,x2x3

則4,4,4為—(〃z+l)，+萬廣+ln，+b=。有三個(gè)不同的根,

設(shè)Z=乙=幺>￡>1,m=—<\,

G西ae

e-a2ee-Q

即證2+——

6e

13-zw2\-m

即證:〈,I+23<--------

6m~~6~

口、\13-wV21-m]八

即證：U)+qJ，i+'3-^+-J<0,

(m-13)(m2—m+12)

即證:

36m+q)

而一(+1)a++In：+Z7—0且一(+1)&+q+InG+Z7=0,

11

故14.111/3+曰(彳_")_(加+1)?]_/3)=0,

-22Inf-Int,

故4+12——=——x———

mmt1-13

2ln]-g(；?-13)(/n2-m+12)

故即證:—X---------------------<------------------------------------------------

m：一.336"(4+q)

(，i+4)lnq(加一13乂m2-〃z+12)

即證:

>0

4一j72

即證：化+1）1町（〃-3乂療-/〃+12）〉0

k-\72

記夕的=（八1刖%>1,則“④=/^卜一921nl〉0,

'）k-\（%T）Vk）

i]222

設(shè)〃（&）=&——21",則〃'（左）=1+二__>-----=0即d伏）>0,

kkkkk

故夕⑻在（1,+00）上為增函數(shù),故夕（左）>0（根），

所以(Z+l)ln攵(w-13)(m2-W+12)(/n+l)ln/?(m-13乂療一加+12)

k-\72m-172

記co(m)=InmH-----------------------------------,0<m<1,

、)72(/n+l)

,(根—1)-(3加一20〃，49/〃+72)(〃2-1)一(3加+3)

72w(/?+l)'72/M(m+l)-

所以6y(加)在(0,1)為增函數(shù)，故0(加)<a>(1)=0,

4..(w——13)(/n-zn+12)(m+lllnzn(m-13)(/W—m+12)

故Inm+--------------；-----------<0即A------L-----+2--------13--------------L>n,

72(加+1)m-172

故原不等式得證：

9.

【解析】⑴函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),xr(x)=l-lnx-l=-lnx,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/r(x)>0,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/'(x)<0,

故/(x)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+8).

(2)因?yàn)閎lna—alnb=a—人，故Z?(lna+1)=a(lnZ?+l),即""、1=",

ab

故=設(shè)由(1)可知不妨設(shè)0<玉<1,工2>L

\aJyb)ab

因?yàn)閤e(0,l)時(shí)，/(x)=x(l-lnx)>0,xe(e,+oo)時(shí)，/(x)=x(l-lnx)<0,

故1cZ<e.先證：％+龍2>2,若々22,玉+々>2必成立.

若當(dāng)<2,要證：x,+x2>2,即證玉>2-々，而0<2-々<1,

故即證/(%)>/(2-赴)，即證：〃%)>/(2-々)，其中

設(shè)g(x)=/'(x)--(2-x),l<x<2,

則g'(x)=/"(X)+/"(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

因?yàn)?cx<2,故0<x(2-x)<l,故-lnx(2-x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)為增函數(shù)，所以g(x)>g⑴=0,

故/(x)>/(2-x),即/(々)>/(2-w)成立，所以玉+々>2成立,

綜上，玉+々>2成立.

、「e”人lna+1Inb+\11一.

設(shè)尢2=比|，則，>1，結(jié)合------=—；—,一二%,7=為可得：

aban

Xy(l-lnxl)=x2(l-lnx2),

即：l—ln玉-InxJ,故In%―,

要證：%+42<e，即證(r+l)%<e，即證ln(r+l)+ln%<1,

即證：ln?+l)+^~~^-^<1,即證：(r-l)ln(/+l)—fln/cO,

則S()=lna+l)+g_l_lnf=ln(l+；J_『p

先證明一個(gè)不等式：ln(x+l)4x.

1_y

設(shè)"(x)=ln(x+l)—x,貝='-----1=―

當(dāng)一1cx<0時(shí)，/(x)>0；當(dāng)x>0時(shí)，M(x)<0,

故"(x)在(一1,0)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù),故="(0)=0,

故ln(x+l)4x成立

由上述不等式可得當(dāng)，>1時(shí)，+故S'(f)<0恒成立，

故S(f)在。,+8)上為減函數(shù)，故S(/)<S(1)=O,

故(f-+1)—/Inf<0成立，即X]+々<e成立.綜上所述，2<—卜％<e.

10?【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8)，又八x)=(2—+3)⑷一D,

X

因?yàn)椤?gt;0,x>0,故2奴+3>0,

當(dāng)o<x<L時(shí)，ru)<o；當(dāng)X〉，時(shí)，r(x)>o；

aa

所以/(X)的減區(qū)間為(o,J,增區(qū)間為+8)

(2)因?yàn)?(1)="+。+1>0且y=/(x)的圖與x軸沒有公共點(diǎn)，

所以y=/(x)的圖象在x軸的上方,

由(1)中函數(shù)的單調(diào)性可得/(x)min=/(：)=3-31n}=3+31na,

故3+31na>0即。>一.

e

11【解析】(l)/(x)=a*-6x+e2,/(x)=a[na-b,

①若Z?W0，則/'(x)="lna-b20,所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

②若/?>0,當(dāng)xe18,10g。V時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(log,---,+8卜寸，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，8W0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；

匕>0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為(log“3，+8

ImaJIIna

⑵fM有2個(gè)不同零點(diǎn)O陵一灰+e2=0有2個(gè)不同解O-加+e2=0有2個(gè)不同

的解，

令f=xlna,則d---+e2=0=>-^―=e+c,/>o,

In。Inat

汨/\d+e?e+e)《(-I)-/

TUg?)=--------,g⑺=----------A--------=---------------，

ttr

記〃(。=/(，一1)一/,/?)=dQ—l)+d.l=d.z>0,

又〃(2)=0,所以，￡(0,2)時(shí)，h(t)<0,fe(2,+oo)時(shí),h(t)>0,

bb

則g⑺在(0⑵單調(diào)遞減,(2,y)單調(diào)遞增，.?.L>g(2)=go<二，

\nae

,/b>2e2,>2,/.In<2<2=>1<<e2.

e

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(I"?].

(3)a=e"(x)=e*-bx+/有2個(gè)不同零點(diǎn)，則e*+e?=法，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).

由（2）可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為々，較小者為西，

人"±￡i=￡l±￡i>e4,

%

x2

注意到函數(shù)y=幺土/在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增,

X

八,2

故菁<2<%，又由一--</知z>5,

eXl+e12e2

b丁,

由、〒h\nbe25一..e2

要i止X?>-----XjH----,八帝々>InbH—，

2ebh

+e21ex-J

—〈丁且關(guān)于人的函數(shù)g（b）=ln/?+1?在人>/上單調(diào)遞增,

2/2?

所以只需證%>ln-----+一，（工2>5），

42*'-）

2c應(yīng)e2K

只需證Ine*-In二一一齒?>(),

x

x22e~

e^x

只需證Inx------ln2>0，

2ex

A-