第06章樣本及其抽樣分布

前面五章我們講述了概率論的基本內(nèi)容，隨后的三章將講述數(shù)理統(tǒng)計．?dāng)?shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的一個數(shù)學(xué)分支，它以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗或觀察得到的帶有隨機性的數(shù)據(jù)，來研究隨機現(xiàn)象，對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計和判斷．?dāng)?shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容包括：如何收集、整理數(shù)據(jù)資料；如何對所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研究，從而對所研究的對象的性質(zhì)、特點作出推斷．后者就是我們所說的統(tǒng)計推斷問題。本書只講述統(tǒng)計推斷的基本內(nèi)容。第六章我們介紹總體、隨機樣本及統(tǒng)計量等基本概念，并著重介紹幾個常用統(tǒng)計量及抽樣分布．第六章樣本及抽樣分布第一節(jié)總體與樣本第二節(jié)直方圖第三節(jié)抽樣分布第一節(jié)總體與樣本一、總體和表征總體的隨機變量

例如研究某企業(yè)生產(chǎn)的一批電視機顯象管的平均使用壽命，那么這一批顯象管的全體就組成一個總體，其中每一只顯象管就是一個個體?？傮w——研究對象的全體個體——每一個對象例如研究某大學(xué)一年級學(xué)生的身高情況，這時一年級大學(xué)生的全體就是總體；每個大學(xué)生就是一個個體。某工廠10月份生產(chǎn)的燈泡壽命所組成的總體中,個體的總數(shù)就是10月份生產(chǎn)的燈泡數(shù),這是一個有限總體;而該工廠生產(chǎn)的所有燈泡壽命所組成的總體是一個無限總體,它包括以往生產(chǎn)和今后生產(chǎn)的燈泡壽命.有限總體和無限總體例如當(dāng)有限總體包含的個體的總數(shù)很大時,可近似地將它看成是無限總體.在實際中我們真正所關(guān)心的是總體的某種數(shù)量指標(biāo)，例如顯象管的壽命指標(biāo)X，學(xué)生的身高指標(biāo)Y，它們都是r.v.（意思是：從中任取一只顯象管，其壽命是不能預(yù)先確定的，可看作是X的可能取值）。稱這樣的r.v.為表征總體的隨機變量。為了方便起見，我們就將表征總體的隨機變量的所有可能取值的全體看作總體。若X的分布函數(shù)為F(x)，則稱總體的分布函數(shù)為F(x)?？傮wr.v.X（Y）二、樣本

對總體進(jìn)行研究時，對總體中每個個體逐一進(jìn)行考察，這在實際中往往是行不通的，一是試驗具有破壞性，二是需花費大量的人力物力；常用的方法是：從總體中隨機地抽取若干個個體，根據(jù)對這部分個體的研究結(jié)果推斷總體某方面的特征。

定義從總體X中隨機地抽取n個個體，稱之為總體X的一個樣本容量為n的樣本。

假設(shè)抽樣滿足下述兩個條件：（1）隨機性為了使樣本具有充分的代表性，抽樣必須是隨機的，應(yīng)使總體中的每一個個體都有同等的機會被抽取到。（2）獨立性各次抽樣必須是相互獨立的，即每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。這種隨機的、獨立的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣，由此得到的樣本稱為簡單隨機樣本．今后，凡是提到抽樣與樣本，都是指簡單隨機抽樣與簡單隨機樣本。從總體中抽取若干個個體的過程稱為抽樣例如總體X是一批顯象管的使用壽命，現(xiàn)從總體X中抽取n個顯象管，Xi表示抽到的第i個顯象管的使用壽命，i=1,2,…,n；由于抽取的隨機性，顯然，每一個Xi都是隨機變量，并且有著和總體X相同的分布。另外，由于抽取的獨立性，

相互獨立。記為總體X的一個樣本容量為n的樣本。其中Xi表示第i個個體的某個數(shù)量指標(biāo)，是一個r.v.。且獨立同分布（與總體X同分布）。從總體X中抽取一個個體，就是對X進(jìn)行一次試驗（或觀測），得到一個試驗數(shù)據(jù)（或觀測值）。因此對于一次具體的抽樣觀測結(jié)果，我們將得到一組數(shù)據(jù)，記作，稱之為樣本的一次觀測值（樣本值）。例如從某廠生產(chǎn)的顯象管中隨機抽取10個顯象管，測得壽命如下（單位千小時）：4.8，3.4，5.2，4.7，5.5，4.2，4.5，3.9，5.0，4.9這十個數(shù)據(jù)就是樣本容量為10的樣本的一組觀測值。若將樣本,,…,看作是一n維隨機變量,則(1)當(dāng)總體是離散型隨機變量,若記其分布律為,則樣本的聯(lián)合分布律為：

(1)(2)當(dāng)總體是連續(xù)型隨機變量,且具有概率密度函數(shù)時,則樣本的聯(lián)合概率密度為(2)解例1解例2一、頻數(shù)與頻率分布表

數(shù)據(jù)的采集：從總體中隨機地抽取一個樣本，對樣本進(jìn)行一次觀測，得到一組數(shù)據(jù)。例

從某地一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測的成績中，隨機抽取30個學(xué)生的成績?nèi)缦拢?/p>

90777196686183748087887673836381948278887682777991727166第二節(jié)直方圖排序（從小到大）；

63666871717273747677777879808182828383858788889091949596（1）找出最大值，最小值，并計算極差R；

R=最大值-最小值=96-61=35。極差R反映了數(shù)據(jù)波動的幅度。（2）對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組（等區(qū)間分組），確定分組的個數(shù)k；選取適當(dāng)?shù)膮^(qū)間長度（組距）d；n=30，取k=6，則。（3）確定各組的上、下限（每組不含上限）；（4）列表得各組的組頻數(shù)；數(shù)出數(shù)據(jù)落入各個組區(qū)間中的個數(shù)。（5）計算各組的組頻率。組頻率=組頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)得到頻率分布表組號組區(qū)間組頻數(shù)組頻率１60.5--66.5３0.1２66.5—72.5４0.133３72.5—78.5

７0.233４78.5—84.5７0.233５94.5—90.5５0.166６90.5—96.5

４0.133總計301表1二、頻數(shù)與頻率直方圖

在平面坐標(biāo)上，x軸表示所考察的變量，y軸表示頻數(shù)，以表1為例，在橫軸上標(biāo)出6個等長的區(qū)間，在縱軸上標(biāo)出頻數(shù)，以區(qū)間組距為底邊，各組的組頻數(shù)為高作矩形，就得到了頻數(shù)直方圖。若y軸取為組頻率，按上述方法就得到了頻率直方圖頻數(shù)直方圖與頻率直方圖形狀相似；對于連續(xù)型r.v.，頻率直方圖可作為其概率密度函數(shù)曲線的一種近似。說明60.566.572.578.584.584.596.53475圖1第三節(jié)抽樣分布一、基本概念二、常見分布一、基本概念1.統(tǒng)計量的定義是不是例12.幾個常用統(tǒng)計量的定義(1)樣本平均值(2)樣本方差其觀察值其觀察值(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差其觀察值例2從某高校一年級男生中任意抽取12名，測得他們的身高如下（單位：cm）：171，165，174，175，168，164，173，178，168，170，172，173試估計該年級男生的平均身高，并估計其方差和標(biāo)準(zhǔn)差解：3.經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù)的做法如下:也稱樣本分布函數(shù)例3例4一般地，樣本分布函數(shù)的圖形如圖所示可作為總體分布函數(shù)的一個近似，n越大，近似得越好。例二、三個重要分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.1.性質(zhì)1(此性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量的情形.)性質(zhì)2證明例1例2設(shè)，試確定的值，使之滿足：解t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.2.當(dāng)n充分大時,其圖