自動控制原理自控

第五章

頻率分析法一、本章重點開環(huán)幅相特性曲線及奈氏穩(wěn)定判據(jù)；開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）及對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù);穩(wěn)定裕度（h

和γ）；開環(huán)傳遞函數(shù)的實驗確定方法；二、本章難點頻率特性曲線的繪制；穩(wěn)定裕度、頻域指標(biāo)的計算;三、本章考點幅相曲線、Bode圖的繪制；利用Bode圖確定傳遞函數(shù);判定系統(tǒng)穩(wěn)定性、求其穩(wěn)定裕度。頻率分析法的特點明確的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)頻率特性可以用實驗方法測定；可方便有效地分析噪聲的控制問題?！?.1

頻率特性1、頻率特性的基本概念(1)

頻率特性的定義如：設(shè)有RC網(wǎng)絡(luò)，在輸入端加入信號：r（t）=UrSinωt

時，有

c（t）=UcSin（ωt+φ）c（t）為一個與r（t）同頻率的正弦輸出響應(yīng)，只是幅值和相角發(fā)生了變化。c（t）r（t）CR（

T=RC）其中-----c（t）與r（t）的幅值之比1R(s)

Ts

+1由于該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為：G(s)=C(s)=111如果c（t）與r（t）用復(fù)向量表示，則有：1=jw

+1jwRC

+1

TjwCR

+=

jwC

=R(

jw

)

Zr

+

ZcC(

jw

)

=

Zce

jj

(w

)=

A(w

)

e

jj

(w

)

=

G(

jw

)1

+

w

2T

2=j(w

)

=

-arctgwT11

+w

2T

2A(w

)

=-----c（t）與r（t）的相位之差定義:

φ（ω）為系統(tǒng)的相頻特性；A（ω）為系統(tǒng)的幅頻特性；系統(tǒng)頻率特性A（ω）e

j

φ（ω）因為： 則完整地描述了系統(tǒng)在正弦輸入下系統(tǒng)輸出之間隨頻率ω的變化規(guī)律------定義G（jω）為系統(tǒng)的頻率特性。比較網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)和復(fù)向量表達式，可見它們之間可以通過下式進行轉(zhuǎn)換：（證明見教材P189）G（s）︱s=jω

=G（jω）實際上，穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換的比。即：對于一個線性定常系統(tǒng)，若已知其傳遞函數(shù)G（s），只要將G（s）中的s

以jω來代替，便可以得到系統(tǒng)的頻率特性表達式。2、頻率特性的幾何表示法常用的幾何表示法有：Bode圖（對數(shù)坐標(biāo)圖）：即系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線。用以在對數(shù)坐標(biāo)系中描述系統(tǒng)頻率特性；尼柯爾斯圖（對數(shù)幅相圖）：用以描述閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性。（1）幅相曲線繪制幅相曲線時，以ω為參變量（ω：0→+∞），將幅頻特性和相頻特性同時表示在復(fù)平面上。例如：RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性，根據(jù)其A（ω）和φ（ω）的表達式，在參變量

ω∈[0→∞）時，可繪制

RC網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線如右圖

所示。0φ∣G（jω）∣jω=∞，φ=-90°1（ω=0，φ=0）極坐標(biāo)圖： 即系統(tǒng)幅相頻率特性曲線（幅相曲線）。用以在復(fù)平面上描述系統(tǒng)頻率特性（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖)對數(shù)頻率特性的定義：L（ω）=20

lg

∣G（jω）∣--------對數(shù)幅頻特性φ（ω）=∠G（jω）

-------------對數(shù)相頻特性對數(shù)頻率特性曲線：由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線組成。橫坐標(biāo)：表示頻率ω（rad/s），對數(shù)分度lgω（對ω不均勻）；縱坐標(biāo)：表示對數(shù)幅頻特性時，為對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值（dB）；表示對數(shù)相頻特性時，為對數(shù)相頻特性的函數(shù)值（弧度或度）；縱坐標(biāo)為均勻分度。對數(shù)分度方法：ω110100100010000…lgω01234…十倍頻程十倍頻程12030 40

50

60 80

100ω一倍頻程2

3

4

5

6 7

8

910一倍頻程二倍頻程ω12345678910lgω00.301(0.3)0.477(0.5)0.602(0.6)0.699(0.7)0.778(0.8)0.845(0.85)0.903(0.9)0.954(0.95)1結(jié)論:一個十倍頻程=3.32×一倍頻程(lg10÷lg2=3.32)；頻率每變化一倍(一倍頻程),其間隔距離為0.301個單位長度。3、幾種確定頻率特性的方法實驗法：改變ω→頻率特性曲線→頻率特性→G（s）；解析法：G（s）→G（jω）→頻率特性；零極點圖法：§5.2

典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.

比例環(huán)節(jié)jK0(a)比例環(huán)節(jié)的幅相曲線20lg

K0φ（ω）ωωL（ω）0(b)比例環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù):頻率特性:G(s)=

KG(jω)=

K幅相曲線:幅頻特性A（ω）=K

(與ω大小無關(guān))相頻特性φ（ω）

=0°∴比例環(huán)節(jié)的幅相曲線為復(fù)平面實軸上的一個點(K

,0)；見圖(a)所示。對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lg

K

(與ω大小無關(guān))對數(shù)相頻特性φ（ω）

=0°故：比例環(huán)節(jié)的Bode圖如圖(b)所示。2.

積分環(huán)節(jié)G(s)=

1

/sG(jω)=1

/

jω=

A(ω)e

jφ（ω）=1/ω·e-j90°傳遞函數(shù)頻率特性(1)

幅相曲線:(a)積分環(huán)節(jié)的幅相曲線ω→0ω→∞j0－20dB/dec101-90°L（ω）

20φ（ω）

00ωω(b)積分環(huán)節(jié)的Bode圖幅頻特性

A（ω）=1/ω相頻特性

φ（ω）=

-90°積分環(huán)節(jié)的幅相曲線為復(fù)平面負(fù)虛軸部分；見下圖(a)所示。(2)

對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):對數(shù)幅頻特性

L(ω)=20lg∣G（jω）∣=

－20lgω對數(shù)相頻特性

φ（ω）

=

－90°積分環(huán)節(jié)的Bode圖如圖(b)所示。3.

微分環(huán)節(jié)(a)微分環(huán)節(jié)的幅相曲線ω→∞jω→0020dB/dec101L（ω）200φ（ω）90°0ωω(b)微分環(huán)節(jié)的Bode圖傳遞函數(shù)頻率特性G(s)=

sG（jω）=

jω

=ω·e

j

90°(1)

幅相曲線:∵幅頻特性A（ω）=ω相頻特性φ（ω）

=90°∴微分環(huán)節(jié)的幅相曲線為復(fù)平面正虛軸部分；如圖(a)所示。(2)

對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):∵對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lg∣G（jω）∣=20lgω對數(shù)相頻特性φ（ω）

=90°∴微分環(huán)節(jié)的Bode圖如圖(b)所示。(1)

幅相曲線幅頻特性0(ω=∞，φ=90°)1（ω=0，φ=0）0φA（ω）j(a)

慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線4.

慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)1Ts

+1G(s)

=1=

A(w

)

e

jj

(w

)jwT

+1G(

jw

)

=頻率特性1+1w

2T

2A(w

)

=j(w

)

=

-arctgwT相頻特性慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖(a)所示。(RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性)此時,

斜率為

–20dB/dec,與零分貝線的交點為ω=1/T,

該頻率稱為交接頻率。（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):1）對數(shù)幅頻特性：1=

-20

lg

w

2T

2

+1w

2T

2

+1L(w

)

=

20

lg

A(w

)

=

20

lgT時，L(w

)?0當(dāng)

w

T

<<1

，即

w

<<

1T當(dāng)

w

T

>>1

，即

w

>>

1

時，

L(w

)

=

-20

lgw

T即慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為Tw

=

1故慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可以用兩條直線來近似地描繪，如下圖（a）所示。如要精確繪制時需要對其進行修正。L（ω）－20dB/dec1/T0ωωφ（ω）0-45°-90°20（a）慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻曲線→（b）慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻曲線→(c)

慣性環(huán)節(jié)的Bode圖2）對數(shù)相頻特性：φ（ω）

=-arctgωTω=0時，φ（0）=0°…ω=1/T時，φ（1/T）=-45°…ω=∞時，φ（∞）=

-90°慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性如圖(b)所示。所以，慣性環(huán)節(jié)的Bode圖如圖(c)所示。一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G(s)=1+Ts頻率特性G（jω）=1+jωT

=A（ω）e

jφ（ω）幅相曲線:∵幅頻特性A(w

)

=

1

+

w

2T

2j(a)一階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線1

ω

=

00ω

=

∞相頻特性

φ（ω）

=arctgωT∴一階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖(a)所示。（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):1）對數(shù)幅頻特性TL(w

)

=

20

lg

A(w

)

=

20

lg 1

+

w

2T

2時，L(w

)?0w

T

<<1

，即

w

<<

1當(dāng)T時，L(w

)?-20

lgw

T當(dāng)

w

T

>>1

，即

w

>>

1此時,斜率為20dB/dec,與零分貝線的交點為ω=1/T,即,一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率為故:

一階微分環(huán)節(jié)的漸近對數(shù)幅頻特性曲線可以用兩條直線來近似地描繪,

如圖（b）所示。要精確繪制時，需要對其進行修正。Tw

=

120dB/dec1/TL（ω）200ω(b)一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線2）對數(shù)相頻特性

φ（ω）

=

arctgωTω=0時，φ（0）=0°…ω=1/T時，φ（1/T）=45°…ω=∞時，φ（∞）=90°φ（ω）90°20dB/decL（ω）1/T0°200ωω(d)

一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線（Bode）圖90°一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線如圖(c)所示。φ（ω）0°ω(c)一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線綜上所述，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線如下圖(d)所示。6.

振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)(1)

幅相曲線)212n2nww

2ww

2+

4z

2(1-A(w

)

=112s

+1s

+s2n2n2nn

G(s)=

n

=w2zw+

2zw

s

+

ww

2112www

2+

2z

(

jw

)

+1(

jw

)(

jw

)2

+

2zw

(

jw

)

+

wn2n2nn

頻率特性

G(

jw

)=

n

=∵幅頻特性2nww

2wn2z

w1

-j(w

)

=

-arctg相頻特性(0<ζ<1)2nww

2wn2z

w1

--12nww

2wnw2zn當(dāng)：w

>

w

時，

j

(w

)

=

-180

+

arctgn當(dāng)：w

￡

w

時，j

(w

)=-arctg其中，對于相頻特性在0<ζ<1上取定兩個ζ值(大小各一)，然后將ω/ωn在0→∞上取值，分別計算出A（ω）和φ（ω）。其中，幾個特征點為：ω=0時，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn時，A（ωn）=1/2ζ，φ（ωn）=

-90°ω=∞時，A（∞）=0，φ（∞）=-180°∴

振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線見下圖(a)所示。ω=∞1（ω=0）ζ大ζ小-1/2

ζ0jω(a)

振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線（2）對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):1）對數(shù)幅頻特性2n2nww

2ww

2)2

+

4z

2L(w

)

=

20

lg

A(w

)

=

-20

lg

(1

-wnn，即

w

<<

w

時，

L(w

)

?

0當(dāng)

w

<<1nnw，即

w

>>

w

時，

有當(dāng)

w

>>1由此可見，ω<<ωn時,對數(shù)幅頻特性為零分貝線;ω>>ωn時,對數(shù)幅頻特性為斜率-40dB/dec的直線。故：振蕩環(huán)節(jié)的漸近對數(shù)幅頻特性也可以用兩條直線來近似地描繪，如圖（b）。要精確繪制時，亦需要對其進行修正。2n2nww

2w

+

4z

22w

2

L(w

)

?

-20

lg

1

-22

?

-20

lg

2

w

2

w

2

+

4z

2w

w2

w

2

2

n

n

n

nw

ww?

-20

lg

?

-40

lg振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為ω=ωn－40dB/decL（ω）ωn200ω(b)

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性2）對數(shù)相頻特性：2nww

2wn2z

w1

-j

(w

)

=

-arctg-12nww

2wn2z

wj

(w

)

=

-180

+

arctg或(b)振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線0°-180°（可參見前面“幅相曲線”方法分析）幾個特征點為：ω=0時，A（0）=1，φ（0）=0°ω=ωn時，A（ωn）=1/2ζ，φ（ωn）=-90°ω=∞時，A（∞）=0，φ（∞）=-180°振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性如下圖(b)所示。φ（ω）ωωn－40dB/decL（ω）ωn0°-180°0φ（ω）ωω(c)

振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖綜上所述，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線如下圖(c)所示。(3)振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率ωr與諧振峰值Mr一個系統(tǒng)的激勵頻率等于其固有頻率時，系統(tǒng)的電磁振蕩幅值達到最大，即產(chǎn)生諧振。此時的頻率稱作系統(tǒng)的諧振頻率ωr，此時的幅值為系統(tǒng)諧振峰值Mr

。對振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值Mr，諧振頻率ωr，可利用求極值的方法求得:w=

w

1

-

2z

2nr12z

1

-z

2rrM

=

A(w

)

=顯然220

<

z

￡對于不同的系統(tǒng)阻尼,振蕩環(huán)節(jié)的諧振峰值Mr，諧振頻率ωr不同，參見教材P195-196分析。7.

二階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)2n

nwG(s)

=

1

s2

+

2z

s

+1wwwG(

jw

)

=

1

(

jw

)2

+

2z

(

jw

)

+1n2n頻率特性2n2nwww

2

w

2)2

+

4z

2A(w

)

=

(1

-（1）幅頻特性（2）相頻特性仿照“振蕩環(huán)節(jié)”頻率特性的分析方法，可分別得到其幅相曲線及Bode圖如下圖(a)、(b)所示：ωωnω=∞ω=010j（a）ωn0180°0φ（ω）ωω(b)[40]L（ω）20二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性曲線圖2nww

2wn2z

w1

-j(w

)

=

arctg8.

延遲環(huán)節(jié)（教材P204）幅相曲線:（教材P204圖5-25）幅頻特性A（ω）=1相頻特性φ（ω）

=-ωτ（rad）=-57.3ωτ

(°)對數(shù)頻率特性曲線(Bode圖):對數(shù)幅頻特性L(ω)=20lgA(ω)=0對數(shù)相頻特性：φ（ω）

=-ωτ（rad）=-57.3ωτ(°)延遲環(huán)節(jié)的幅相特性曲線00τ小τ大ωω0j1

(ω=0)傳遞函數(shù)G(s)

=

e-t

sG(

jw

)

=

e-t

jw

=

A(w

)

e

jj

(w

)頻率特性延遲環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線(T1

s

+1)(T2

s

+1)K§5.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性1.開環(huán)幅相特性例題1：設(shè)某0型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)=（K、T1

、T2>0），試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。（P198

例題1）1

1T

s

+1

T

s

+11

2、解

G（s）可以認(rèn)為是由

K

、三個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。即G（s）=G1（s）·

G2（s）·

G3（s）由于環(huán)節(jié)G1（s）、G2（s）、G3（s）的頻率特性分別為:11jj

(w

)G

(

jw

)

=

K

=

A

(w

)

e22121211

1ejj(w

)-

j

arctgwT

)(wT

)

+1=

A

(w

)

e

=jwT

+1G

(

jw

)

=2232323111ejj

(w

)-

j

arctgwT

)(wT

)

+1=

A(w

)

e

=jwT

+1G

(

jw

)

=所以，開環(huán)頻率特性為：開環(huán)幅頻特性開環(huán)相頻特性當(dāng)K、T1、T2確定時，計算出ω：0→∞所對應(yīng)的A(ω)和φ(ω)的值，并繪制于[s]平面上即得到系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。曲線的起點曲線的終點1

2

3G(

jw

)

=

A(w

)

e

jj

(w

)

=

G

(

jw

)

G

(

jw

)

G

(

jw

)11

2(wT

)2

+1(wT)2

+1A(w

)

=

Kj(w

)

=

—

G(

jw

)

=

0

+

(-arctgwT1

)

+

(-arctgwT2

)311

21

2

3j

[j

(w

)+j

(w

)+j

(w

)

]=

A

(w

)

A

(w

)

A

(w

)

elim

G(

jw

)

=

K—

0w

fi

0w

fi

0lim

G(

jw

)

=

0—

-180曲線與坐標(biāo)軸的交點可由G（jω）=0分別求得曲線與實軸或虛軸的交點:（也可能不存在交點，而有漸近線的情形，如本例和P201例5的情況）再令

Im[G（jω）]=0，即（T1+

T2）ω=0

有

ω=0此時

Re[G（jω）]=

K

………………與實軸的交點（起點）22

212

2+1)(

+1)K(w

T

w

T=

K

(1

-

jwT1

)(1-

jwT2

)(

jwT1

+1)(

jwT2

+1)G(

jw

)

=2

21

22

2=

1

2

1

2

w

T

+1)(w

T

+1)(K

[1

-TT

w

2

-

jw

(T

+

T

)]1

2令

Re[G（jω）]=0，即

1－T T

ω2=0

→1

21TTw

=K

TTT

+T1

2此時

Im[G(

jw

)]

=

-

1

2

故

0型系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線為：ω=∞K（ω=0）0j………………與虛軸的交點結(jié)論：對0型系統(tǒng)，當(dāng)ω=0時，有︱G（j0）︱=K（開環(huán)增益）且總有

lim G（jω）=

K∠0°ω→0即:0型系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的起點在實軸正向的K

處。若開環(huán)傳遞函數(shù)中除有比例環(huán)節(jié)K以外，還有n個慣性環(huán)節(jié)，則有：lim G（jω）=

0∠（－90°）×nω→∞若還有m個微分環(huán)節(jié)，則有：lim G（jω）=

0∠（－90°）×（n－m）ω→∞但此時的幅相曲線有凹凸情形發(fā)生。若還有l(wèi)個積分環(huán)節(jié)，則有：lim G（jω）=

A(ω)∠（－90°）×（n+l）ω→∞……各種情形，依此類推。（規(guī)律及特點：P201-202、198）Ks(T1

s

+1)(T2

s

+1)補充題1：設(shè)某I

型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)=（K、T1

、T2>0），試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。（P198

例題2）212T

s

+1)T

s

+1s

(

)(K補充題2：設(shè)某II

型系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)=（K、T1

、T2>0），試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。課后練習(xí)題Ks(T1s

+1)(T2

s

+1)(T3s

+1)補充題3：設(shè)某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H

(s)=（K、T1

、T2、T3

>0），試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。另外，參看教材P

200~201：例題5-3、5-4、5-5等。2、開環(huán)幅相特性曲線的繪制方法直接繪制法計算出ω∈[0,∞)所對應(yīng)的A(ω)和φ（ω）的值，并繪制于[s]平面上即得到系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。（如上例）復(fù)數(shù)法計算出ω∈[0,∞)所對應(yīng)的Re[G(jω)]和Im[G(jω)]的值，并繪制于[s]平面上即得到系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。零極點圖法:開環(huán)零極點→[s]→分別計算ω對應(yīng)的零極點矢量長度和角度→幅相曲線。計算機方法3、其它各類型系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線根據(jù)零型系統(tǒng)的分析方法，可以得到其它類型系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線大致如右圖所示：III型II型I型0型0j各類型系統(tǒng)的幅相曲線Ks(T1

s

+1)(T2

s

+1)4、系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性例題2：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H

(s)=（T1

＞T2

＞0，K

＞0），試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。Kjw

(

jwT1

+1)(

jwT2

+1)解：因為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：G(jw

)=Kjw

(

jwT1

+1)(

jwT2

+1)1）對數(shù)幅頻特性L(w

)

=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lg2221wT

)

+1=

20

lg

K

-

20

lgw

-

20

lg

(wT

)

+1

-

20

lg

(=

L1

(w

)

+

L2

(w

)

+

L3

(w

)

+

L4

(w

)L

(w

)

=

-20lgw221wT

)

+1214wT

)

+1L

(w

)

=

-20

lg

(因此

L1

(w

)

=

20

lg

KL3

(w

)

=

-20

lg

(據(jù)此，分別繪制各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線如下：L1(ω)=

20lgKL2(ω)=

-20lgωL3(ω)=

-20lg√ω2T12+1L4(ω)=

-20lg√ω2T22+1L4(ω)L3(ω)L2(ω)L1(ω)1 1/

T11/

T2L(ω)40200-20-40ωL

(ω)然后，對各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線進行疊加，得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線。2）對數(shù)相頻特性j(w

)

=

—

G(

jw

)

=

j1(w

)

+j

2(w

)

+j

3(w

)

+j

4(w

)1

2arctgwT

)

+

(-arctgwT

)90

)

+

(-=

0

+

(-即

φ1（ω）=

0°；φ3（ω）=

－arctgωT1；φ2（ω）=

－90°φ4（ω）=

－arctgωT2同樣地，可分別繪制φ1（ω）、φ2（ω）、φ3（ω）以及φ4（ω），然后對其進行疊加，即可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線如下：在對數(shù)坐標(biāo)系中，分別繪制系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性及相頻特性曲線，則可得到系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）如下。φ（ω）ω900-90-180-2701

1/T11/T2結(jié)論:上述方法可以推廣應(yīng)用至n個典型環(huán)節(jié)的情形.即n個典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性都可以采用疊加法或解析法直接計算繪制。L4(ω)L3(ω)L2(ω)L1(ω)L

(ω)1 1/

T11/

T2L(ω)40200-20-40ωφ（ω）ω900-90-180-2701

1/T11/T25、Bode圖的繪制步驟（G（s）→曲線）確定各環(huán)節(jié)的交接頻率：ω1、ω2、…、ωn，并表示在ω軸上；其中（Ts+1）及1/（Ts+1）的交接頻率為1/T；振蕩環(huán)節(jié)及二階微分環(huán)節(jié)的交接頻率為ωn在ω=1處量出幅值為20lgK（A點）。其中K為開環(huán)放大系數(shù)。繪制低頻段對數(shù)漸近線。過A點，作一條斜率為－20·ν（dB/dec）的直線，直到第一個交接頻率ω1處（B點）。其中ν為G（s）中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。若ω＜1，則低頻段對數(shù)漸近線止于ω1處（B點），但其延長線經(jīng)過A點。從低頻段漸近線開始，沿ω軸的正方向，每遇到一個交接頻率時，漸近線的斜率就要改變一次。并依次由低頻段→高頻段畫出各個頻段

的漸近線，即得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）。s(s

+1)(s

+

20)G(s)=

100(s

+

2)

例題3：教材

P203

例題6例題4：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。解（1）將G(s)化為尾1型形式s(s

+1)(0.05s

+1)G(s)=

10(0.5s

+1)

依次列出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率，分別為ω1=1、ω2=2、ω3=20畫出低頻段直線（最左端）。k

=

L(w

2

)

-

L(w1

)lgw

2

-

lgw1斜率的改變規(guī)律：遇到慣性環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加-20

dB/dec；遇到一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加＋20

dB/dec；遇到振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加-40

dB/dec；遇到二階微分環(huán)節(jié)的交接頻率時，斜率增加＋40

dB/dec；特別提示：對數(shù)幅頻特性每段直線的斜率滿足（P198

（5-47）式）：(dB)1

210

20100

ω40200-20[-20][-20][-40][-40]最左端直線的斜率：-20dB/dec直線位置:ω=1時，20lgK=20dB（4）由底頻及高頻,依次畫出各頻段直線。但要注意：每經(jīng)過一個交接頻率時，斜率作相應(yīng)改變。完成各個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的繪制以后，則可得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近曲線。6、最小相角系統(tǒng)與非最小相角系統(tǒng)特點定義：開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱之為“最小相角系統(tǒng)”；否則為“非最小相角系統(tǒng)”。特點：①、在具有相同的開環(huán)幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最??；②、最小相位系統(tǒng)L（ω）曲線變化趨勢與φ（ω）一致；④、當(dāng)ω→∞時，最小相角系統(tǒng)的φ（∞）=-90°×（n-m），其中：n為開環(huán)極點數(shù)，m為開環(huán)零點數(shù)。③、最小相位系統(tǒng)L（ω）曲線與φ（ω）具有一一對應(yīng)關(guān)系，

因此，有時分析最小相位系統(tǒng)時只分析L（ω）即可，并可以根據(jù)

L（ω）確定相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。因此，只包含七個典型環(huán)節(jié)（不包括延遲環(huán)節(jié)）的系統(tǒng)一定是最小相角系統(tǒng)；含有不穩(wěn)定環(huán)節(jié)或延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，則屬非最小相角系統(tǒng)。7、延遲環(huán)節(jié)與延遲系統(tǒng)（P204）含有延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)稱為延遲系統(tǒng)。由于延遲環(huán)節(jié)輸出具有在恒定延時后能夠不失真地復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化的特點，因此，延遲系統(tǒng)在時域中表現(xiàn)出的是時間滯后性；在復(fù)域中則體現(xiàn)在對系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的影響上（相位滯后性）。例題5：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。s(s2

+

s

+1)(s2

+

4s

+

25)G(s)=

8(s

+

0.1)

（2）依次列出各環(huán)節(jié)的交接頻率，分別為ω1=0.1、ω2=1、ω3=5（3）畫出低頻段直線（最左端）25252+

s

+1)s

4s(s2

+

s

+1)(G(s)=

0.032(10s

+1)

最左端直線的斜率：-20dB/decω=1時，20lgK=-29.9dB（4）由底頻及高頻,依次畫出各頻段直線。但要注意：每經(jīng)過一個交接頻率時，斜率作相應(yīng)改變。(dB)ω-8015

100-20-29.9-40完成各個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的繪制以后，則可得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近曲線。0.01

0.1[-20][0][-40][-80]解（1）將G(s)化為尾1型形式(K=

0.032)例題6．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為250s(s

+

5)(s

+15)G(s)H

(s)

=故，當(dāng)ω=1時，20

log

K

=

20

log

3.33

=

10.5試在對數(shù)坐標(biāo)上繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。解：開環(huán)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)及兩個慣性環(huán)節(jié)組成。對應(yīng)與兩個慣性環(huán)節(jié)時的轉(zhuǎn)角頻率分別為：w1

=

5,

w

2

=

15由于系統(tǒng)為I型，故對數(shù)幅頻特性曲線最左端直線的斜率為－20

dB/dec；在ω1~ω2之間直線的斜率為 －40

dB/dec；在ω2之后直線的斜率為 －60

dB/dec；因為系統(tǒng)的開環(huán)增益

K=3.33當(dāng)ω=15時，25025020

log=

0.4615 152

+

52=

20

logw

w

2

+

52－20dB/dec515－60dB/decω010.5－40dB/dec1繪制對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示L(ω)/dB§5.4傳遞函數(shù)的實驗確定方法正弦信號G(S)變換器變換器記錄儀圖1

頻率特性實驗原理1.

最小相角系統(tǒng)(不含有延遲環(huán)節(jié))傳遞函數(shù)的確定1)

實驗原理通過改變正弦輸入信號sinωt的頻率ω，測出系統(tǒng)的Bode圖。2)

傳遞函數(shù)的確定①、根據(jù)實際測得的Bode圖，確定對數(shù)幅頻特性漸近曲線。進而可以確定最小相位情況下的開環(huán)傳遞函數(shù)。②、根據(jù)實際測得的Bode圖中的對數(shù)相頻特性曲線，判定系統(tǒng)是否含有延遲環(huán)節(jié)，并確定延遲環(huán)節(jié)的參數(shù)τ及其傳遞函數(shù)。3)

實例分析例題1:設(shè)某最小相角系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(dB)402000.2

2

20

200

ω-20解：（1）低頻段斜率為-20dB/dec，應(yīng)有環(huán)節(jié)

1/s

；（2）在ω1=2和ω2=20處，斜率分別由-20變?yōu)?，由0變?yōu)?20，說明系統(tǒng)含有環(huán)節(jié)K，s+2，故系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)具有的形式為20s(

s

+1)sK

(

+1)G(s)H

(s)=

2

1s

+

2（3）在ω=2處的分貝值為20dB，顯然：此處的分貝值是由K與1/s共同決定的，即:20lg（K/ω）=20當(dāng)ω=2時，計算出K=20[-60][-40][-20](dB)40

200-12-20ω1ω2ω5應(yīng)有環(huán)節(jié)

1/s

；(2)

有兩個交接頻率：ω1，ω2，且經(jīng)過ω1，ω2處時斜率分別由-20變?yōu)?40，由-40變?yōu)?60，說明系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中除K以外還應(yīng)有環(huán)節(jié):20例題2:

設(shè)某最小相角系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如下圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：(1)

低頻段斜率為-20dB/dec，20(

+1)s(

s

+1)s因此，有:

G(s)H

(s)=

2

（和1

1+1）（

+1）w

2w1ss(4)

根據(jù)已知條件確定K

，ω1和ω2

：由于ω1處的分貝值為40dB，根據(jù)定義有因ω1處的分貝值是由K

/s

決定的，故有：20lg（K/ω1）=

40………………

(1)當(dāng)ω=5時,分貝值為零,此時由K/s

和1/（s/ω1+1）共同決定的，故有：w1

w

2Ks(

s

+1)(

s

+1)(3)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)形式為：G(s)H

(s)=2

2

1

2

w

w

w

+1

+1w

wKL(w

)

=

20

lg2

1

5

5

+1wKL(5)

=

20

lg

=

0…………………

(2)同樣,ω2處的分貝值為-12

dB，由K/s

和1/（s/ω1+1）共同決定，聯(lián)立求解(1)--(5)得:故系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為2500.5

10K=50ω1=0.5ω2=1050=s(S

+

0.5)(s

+10)s(

s

+1)(

s

+1)G(s)

=lgK

=1.7lgω1=

-0.3lgω2=112212212w

www+1

?

lgw

>>

w時有l(wèi)g121552ww+1

?

lgw1

<<5

時有l(wèi)g212=

-12 2

+1ww

2wKL(w

)

=

20lg故有：…………………

(3)…………………

(4)…………………

(5)而補充習(xí)題：系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性如下，試確定該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。參考答案2.含有延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的確定例題3:已知測得某系統(tǒng)的實驗頻率特性響應(yīng)曲線如下圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（ξ=0.5）解：將實驗幅頻曲線分別用-20×n去逼近，如圖所示，斜率分為-20，-40，-20，-40等四段，故可得各交接頻率分別為1，2

和8。又:因相頻曲線有遲后，所以,系統(tǒng)應(yīng)包含下列各環(huán)節(jié): 1/s，

1/（s+1），s/2+1，及1/[(s/82)+s/8+1],e-τs因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)應(yīng)具有以下形式:0-100-315

-47240200-201

2ωL(ω)φ(ω)ω8

10

20由于ω=1時，20lgK=20dB，故

K=10

;又因為

ω=10時，

φ

（10）=

-e315°,φ（10）=-200°;所以φe（10）-φ（10）=-115°而

φe（ω）－φ（ω）=

-57.3τω(°)故

-57.3τω=

-115°因此

τ≈

0.2驗證：

ω=20時，φe（20）=-472°；φ（20）=-235°φe（20）－φ（20）=-237°=-57.3τω

得τ≈0.2因而τ≈0.2可確定為延遲環(huán)節(jié)的延遲時間參數(shù)。故有：

s

s

2s(s

+1)

8

+

8

+1G(s)=

2

K

(

s

+1)e-ts

s

s

2s(s

+1)

8

+

8

+110(

+1)e2sG(s)

=-0.2

s=s(s

+1)(s2

+

8s

+

64)320(s

+

2)e-0.2

s3.小結(jié)由已知實驗曲線(或?qū)嶒灁?shù)據(jù))確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的步驟:以斜率為0,±20,

±40,

±60等直線段去近似代替實驗曲線;由近似曲線最左端的直線來確定系統(tǒng)的積分環(huán)節(jié)個數(shù);根據(jù)ω=1時的分貝值大小等于20lgK來計算出K值;確定交接頻率,并由交接頻率及其相應(yīng)的斜率改變情況,依次確定各環(huán)節(jié);在1)—4)之基礎(chǔ)上,確定不含延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)傳遞函數(shù);若相頻曲線存在遲后現(xiàn)象,則還應(yīng)繪制出系統(tǒng)不含延遲環(huán)節(jié)時的相頻曲線;比較實驗曲線與不含延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的相頻曲線,根據(jù)相角的變化,計算出延遲環(huán)節(jié)的延遲時間參數(shù)τ

。補充練習(xí):已知測得某控制系統(tǒng)的頻率特性實驗數(shù)據(jù)如下表所列,試根據(jù)測得的實驗數(shù)據(jù)確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。ω(rad/s)0.10.20.4124102030L(ω)(db)342821135-5-20-31-34Φ(ω)(

°)-93-97-105-123-145-180-225-285-345例題4、最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖所示，求傳遞函數(shù)G(s)解：通過對已知對數(shù)幅頻特性的分析可知開環(huán)傳遞函數(shù)形式為在內(nèi)有或者采用斜率法（教材P198式5-（47））因此例題5、已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸近特性曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（習(xí)題P238、5-12(b)）解：經(jīng)過分析可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中由圖列寫斜率方程即故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例題6、某最小相角系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻持性如圖所示，寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。解 (1)由系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線可知而當(dāng)ω=10時的分貝值為0，所以得因此系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的交接頻率有ω1=0.1，

ω2=20根據(jù)第一段直線的斜率及其后各段直線斜率的變化，則有0.01100ω0例題7．已知某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。試根據(jù)圖中已知條件，求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）H（s）。L(ω)/dB－20dB/dec－40dB/dec－60dB/dec解：據(jù)對數(shù)幅頻特性可設(shè)傳遞函數(shù)為*1

1G

(s)H

(s)

=

K

*0.0111s

T1

s

+1

T2

s

+1=

100T

=10012T

= =

0.01*1

1s

100s

+1

0.01s

+1所以G

(s)H

(s)=K

*w

=

10020

log(K

/

w

)

=

0所以得：K=100100s(100s

+1)(0.01s

+1)G

(s)H

(s)

=時故例題8、單位負(fù)反饋最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性如圖所示，求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。8解：

(1)

根據(jù)已知對數(shù)副頻特性，有(2)

求K值因為當(dāng)ω=10時的分貝值為20，即所以(3)

求ω3因為所以即或者由下列公式求ω33

-12

-8

=

-20lgw

-

lg

20（因為ω=20、ω=ω3時的分貝值分別為8和-12）因此系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例題9：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及開環(huán)對數(shù)幅頻特性如下，試確定該系統(tǒng)的各個參數(shù)K1、K2、T1、T2的取值。

2

T

s

+111

+

K2KsG(s)

=

K1解：先確定解題思路——通過比較由結(jié)構(gòu)圖和對數(shù)幅頻特性分別求得的開環(huán)出傳遞函數(shù)，即可確定各參數(shù)。（1）先由結(jié)構(gòu)圖確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)因為外（主）環(huán)是單位反饋，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)就是前向通道的傳遞函數(shù)：K

(T

s

+1)2

2s

(s

+1)(T2

s

+1)

+

K2

(T1

s

+1) s

+1

=

K1s

+1

T2

s

+1T

s

+12s T

s2

+

(T

K

+

T

+1)s

+

K

+12

1

2

2

2=

K1

K2+1

s

+1)K

+12+

T1

K2

+

T2s2K

+12T2T

s

+12K

+1

s

(2=

K1

K2………

(1)（2）再由頻率特性確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)110

200s

+1s

1

s

+1K

(

1

s

+1)20021

20001G(s)=

20

=

20

2s

+

s

+1sK

(

1

s

+1)所以K

值為10K=10020

lg

K

=

20因為

2000

2001

212s

+

s

+1sG(s)=

20

因此，由頻率特性確定的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為100(

1

s

+1)…………………

(2)通過比較(1)

、(2)

兩式

1 2

=100K

+12K

K202T

=

11

2

=K

+1

20002TT

K

+T

+1

211

2

2

=K2

+1

200T1=0.0952T

=0.05K1=101K2=99K2

+1K2

+1T2

s

+1T2

s2

+

T1K2

+T2

+1

s

+1)K2

+1

s

(G(s)

=

K1K2200

20001

212s

+

s

+1s100(

1

s

+1)G(s)=

20

比較兩式，得…………………

(2)…………………

(1)§5.4

頻率穩(wěn)定判據(jù)1.

頻率穩(wěn)定判據(jù)包括奈奎斯特（奈氏）判據(jù)：用于幅相曲線；對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

用于Bode圖。2.

頻率穩(wěn)定判據(jù)的特點：、應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線可以判斷閉環(huán)穩(wěn)定性、便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響、很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、奈氏判據(jù)還可以用于分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3.

輔助函數(shù)F（s）的引入（證明略）根據(jù)奈氏判據(jù)的前提，特引入輔助函數(shù)F（s）=1＋G（s）H（s），該輔助函數(shù)F（s）的特點：F（S）的極點是G（s）H（s）的開環(huán)極點；

F（S）的零點是1＋G（s）H（s）=0的特征根。F（s）的零點與極點個數(shù)相同；（分子分母同階）3）F（s）與G（s）H（s）之間相差一個常數(shù)1。即F（s）曲線可由G（s）H（s）曲線右移一個單位得到。引出奈氏判據(jù)的兩種方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：復(fù)變函數(shù)幅角原理（映射定理）：如果[s]上封閉曲線Гs內(nèi)有Z個F（s）的零點,P個F（s）的極點，那么，復(fù)變量s沿著Гs

順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，在[F（s）]上的ГF曲線則繞其原點逆時針轉(zhuǎn)過P-Z=R圈。其中：P-----F（s）在Гs內(nèi)的極點數(shù)；

Z-----F（s）在Гs內(nèi)的零點數(shù)；R-----ГF曲線繞其原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；R=0時，說明ГF不包含[F（s）]原點；OГsss-p1s-p3s-z1s-p2×0××[s]s-ziOR＜0時，表示ГF曲線繞其原點轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為順時針方向。[證明]：設(shè)F（s）的零點、極點在[s]上的分布如圖示，并有一條封閉曲線

Гs包含F(xiàn)（s）的第i個零點zi，在曲線Гs上選取一點s，當(dāng)s沿著Гs順時針旋轉(zhuǎn)一圈時，總有:jГF∠F（s）[F（s）]△∠（s-pj）

=

0

（j=1，2，…，n）△∠（s-zj）

=0

（j=1，2，…，m，j≠i）當(dāng)zi、pi

---為曲線Гs之內(nèi)的零、極點時△∠（s-zi）

=

-2π△∠（s-pi）

=

-2π若有

Z個零點被曲線Гs包圍，則有

∑△∠（s-zi）

=

Z·（-2π）

同理：若有P個極點被曲線Гs包圍，則有∑△∠（s-pi）

=P·(-2π)又

因為:

∠F（s）=∑∠（s-zj）-

∑∠（s-pj）故有:

△∠F（s）=∑△∠（s-zj）-∑△∠（s-pj）所以，若有Z個零點、P個極點被曲線Гs包圍，則有：△∠F（s）=

∑△∠（s-zj）-

∑△∠（s-pj）=

Z·（-2π）-

P·(-2π)=（P-Z）·2π=R·2π即有:R

=

P

-

Z當(dāng)zj、pj

---為曲線Гs之外的零、極點時5.

奈氏判據(jù)：反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線逆時針包圍臨界點（-1，j

0）的圈數(shù)R等于G（s）H（s）在右半s平面上的開環(huán)極點數(shù)P，即:Z

=

P

–

R

=

0若P≠R，則Z≠0，那么，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且，此時閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)為Z個。其中，R——奈氏曲線繞（-1，j

0）逆時針（R＞0）轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；P——F（s）在右半s平面上的極點數(shù)；

Z——F（s）在右半s平面上的零點數(shù)；奈氏曲線---指ω∈（-∞，+∞）時，G（jω）的整個幅相曲線。例題1：已知下圖各系統(tǒng)中開環(huán)都是穩(wěn)定的（即P=0），試根據(jù)各圖奈氏曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P

=0,根據(jù)奈氏判據(jù)：圖（a）:

奈氏曲線不包圍（-1，j0）點，即R=0，故

Z=P-R=0，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。圖（b）:

奈氏曲線恰好穿過（-1，j0）點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。圖（c）:

奈氏曲線順時針包圍（-1，j

0）點兩圈，即R

=

-2，故Z

=P-R

=2≠0，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。6.

根據(jù)幅相曲線判定系統(tǒng)穩(wěn)定性若已知ω∈[0，+∞）時系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線和G（s）H（s）在右半s平面上的開環(huán)極點數(shù)P，根據(jù)該幅相曲線包圍臨界點（-1，j

0）的圈數(shù)N（逆時針為正）是否滿足：Z

=

P

-

2

N來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（R=2N）當(dāng)Z=0

時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)Z≠0

時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且閉環(huán)特征方程有Z個正實部根；例題2：教材

P210

圖5-32如果G（s）H（s）含有v個積分環(huán)節(jié)，則應(yīng)在原有的開環(huán)幅相曲線基礎(chǔ)上從ω=0+開始，逆時針方向補足v/4個圓，以形成封閉曲線，再進行分析。例題3：下述各圖所示系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，試根據(jù)其開環(huán)幅相曲線分析各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。av=1cv=2dv=3bv=1解：因為系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0根據(jù)各系統(tǒng)的所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，故將其開環(huán)幅相曲線分別補足1/4，1/4，1/2，3/4個半圓，如圖中蘭色虛線部分所示。a，c，d

圖開環(huán)幅相曲線均不包圍（-1，j

0），故N=0，所以，

Z

=P-2N

=0即,它們對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。b

圖開環(huán)幅相曲線順時針方向包圍（-1，j

0）一圈，故N=-1，所以，

Z

=P-2N

=2≠0即對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例題4：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)

=

K

(0.1s

+1)s(s

-1)由奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：因為P

=1K

0.01w

2

+1A(w

)

=w

w

2

+1j

(w

)

=

-90

+

arctg

0.1w

+

(180

+

arctgw

)所以，開環(huán)幅相曲線的起點和終點分別為：且G（j0）=∞∠90°；

G（j∞）=0∠270°；與實軸的交點：當(dāng)

w

=

10

時，有

Re（

w

）=

-0.1K與虛軸沒有交點繪制開環(huán)幅相曲線如下圖所示。因此，當(dāng)K

>10時，曲線不包圍臨界點

(-1，j

0)，閉環(huán)不穩(wěn)定;(因為P=1,N=0,Z=1)當(dāng)K

<10時，曲線順時針包圍臨界點

(-1,

j

0)

一圈，即：N=-1，由Z=P-2N=3可知,閉環(huán)不穩(wěn)定;0j-0.1k7.對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)由于奈氏判據(jù)表明：若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定（P=0），則ω在[0，+∞）變化時，開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，j0）點，即曲線繞（-1，j0）點的轉(zhuǎn)角為零時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。幅相曲線不包圍（-1，j0）點有兩種情況：

1）相曲線不穿越實軸上（-∞，-1）區(qū)間；2）幅相曲線穿越實軸上（-∞，-1）區(qū)間，但正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越N－次數(shù)相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)如：-1P=0-1P=0正負(fù)

∠G（jω）對-π線的正、負(fù)穿越次數(shù)相等。N+=

N－=1

即

N

=

N+－N－=0

，相當(dāng)于沒有穿越。正穿越：φ（ω）↑的方向，即（-∞，-1）區(qū)間由上向下方向；負(fù)穿越：φ（ω）↓的方向，即（-∞，-1）區(qū)間由下向上方向。第一種情況

第二種情況第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環(huán)穩(wěn)定。第二種情況：穿越（-∞，-1）兩次，但正、負(fù)各一次，故閉環(huán)穩(wěn)定。若開環(huán)不穩(wěn)定（P≠0），則ω在（0，+∞）變化時，要滿足：Z

=

P－2N

=

0系統(tǒng)才能穩(wěn)定；否則閉環(huán)不穩(wěn)定。注意：G（jω）曲線的起點或終點如果在實軸（-∞，-1）上的穿越則為半次穿越。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：P=0時：開環(huán)對數(shù)頻率特性中，在20

lg∣G（jω）∣＞0的范圍內(nèi)，∠G（jω）對－π線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)相等，則系統(tǒng)穩(wěn)定；P≠0時：在20

lg∣G（jω）∣＞0的范圍內(nèi)，∠G（jω）對－π線的正、負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2，則系統(tǒng)穩(wěn)定；對應(yīng)于下述兩個幅相曲線的Bode圖為：-πφdB+—-πφdB-1P=0第一種情況-1P=0正負(fù)

第二種情況情形一：P=0，在20

lg∣G（jω）∣＞0內(nèi)不穿越，系統(tǒng)穩(wěn)定；情形二：P=0，在20lg∣G（jω）∣＞0內(nèi)穿越（-∞，-1）兩次，但正、負(fù)各一次，故系統(tǒng)穩(wěn)定注意：在20lg∣G（jω）∣＞0的范圍內(nèi)，G（jω）