安徽省十大名校2023年數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．22．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)黑球與都是白球3．已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列{an},若a2=10,a5=1,則{an}的前7項(xiàng)和為A．112 B．51 C．28 D．186．已知向量，若，則的最小值為（）.A．12 B． C．16 D．7．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為()A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若該函數(shù)在區(qū)間（）上有最大值而無(wú)最小值，且滿足f（）+f（）＝0，則實(shí)數(shù)φ的取值范圍是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）9．某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生3000人,其中高二年級(jí)有學(xué)生800人,高三年級(jí)有學(xué)生1200人,為了調(diào)查學(xué)生的課外閱讀時(shí)長(zhǎng),現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有學(xué)生中抽取75人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為（）A．20 B．25 C．30 D．3510．已知是常數(shù)，那么“”是“等式對(duì)任意恒成立”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足，且對(duì)于任意的，都有，則___；數(shù)列前10項(xiàng)的和____．12．如圖，在B處觀測(cè)到一貨船在北偏西方向上距離B點(diǎn)1千米的A處，碼頭C位于B的正東千米處，該貨船先由A朝著C碼頭C勻速行駛了5分鐘到達(dá)C，又沿著與AC垂直的方向以同樣的速度勻速行駛5分鐘后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)該貨船到點(diǎn)B的距離是________千米.13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，都有，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_______14．設(shè)，則等于________．15．已知是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則數(shù)列的最小項(xiàng)為第___項(xiàng)16．已知數(shù)列，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則正整數(shù)______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為，求為整數(shù)的概率？（2）兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一個(gè)人20分鐘方可離去．試求這兩人能會(huì)面的概率？18．如圖1，已知菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，將三角形沿線段折起到的位置，，如圖2所示．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．19．已知向量a=(5sin（1）求cos(α+β)（2）若0<α<β<π2，且sinα=20．已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．從高三學(xué)生中抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)與中位數(shù)；（2）這50名學(xué)生的平均成績(jī).（答案精確到0.1）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.2、C【解析】

列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可【詳解】對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，∴這兩個(gè)事件不是互斥事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)白球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)白球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球，∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，∴C正確對(duì)于D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴D不正確故選C．【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題3、C【解析】

根據(jù)題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧?，根?jù)正四棱柱的特點(diǎn)利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的體積公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧虻酌嬲叫螌?duì)角線長(zhǎng)為：外接球半徑外接球體積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正棱柱外接球體積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正棱柱的特點(diǎn)確定球心位置，從而利用勾股定理求得外接球半徑.4、B【解析】

根據(jù)最小正周期為求解與解析式,再求解的對(duì)稱軸判斷即可.【詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒?故.故,對(duì)稱軸方程為,解得.當(dāng)時(shí),.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)最小正周期的應(yīng)用以及對(duì)稱軸的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件列出關(guān)于數(shù)列的首項(xiàng)和公差的方程組，解出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得解.【詳解】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題意有:，解得：，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為:，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)向量的平行關(guān)系，得到間的等量關(guān)系，再根據(jù)“”的妙用結(jié)合基本不等式即可求解出的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，取等?hào)時(shí)即，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解最小值，難度一般.本題是基本不等式中的常見(jiàn)類型問(wèn)題：已知，則，取等號(hào)時(shí).7、A【解析】

若△AF1B的周長(zhǎng)為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)8、D【解析】

根據(jù)題意可畫圖分析確定的周期,再列出在區(qū)間端點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】由題該函數(shù)在區(qū)間（）上有最大值而無(wú)最小值可畫出簡(jiǎn)圖,又,故周期滿足.故.故.又,故.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)圖像的綜合運(yùn)用,需要根據(jù)題意列出端點(diǎn)處的函數(shù)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式求解.屬于中等題型.9、B【解析】

通過(guò)計(jì)算三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例，于是可得答案.【詳解】抽取比例為753000=140，高一年級(jí)有【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的相關(guān)計(jì)算，難度很小.10、B【解析】

由輔助角公式結(jié)合條件得出、的值，由結(jié)合同角三角函數(shù)得出、的值，于此可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，由輔助角公式，其中，.因此，“”是“等式對(duì)任意恒成立”的必要非充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及輔助角公式的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、,【解析】試題分析：由得由得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，因此考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)與和項(xiàng)12、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【詳解】由題意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因?yàn)樗运运栽谥杏校杭垂蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．13、【解析】

根據(jù)數(shù)列的遞推公式，求得，再結(jié)合等差等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，…①，…②由①-②，可得，即當(dāng)時(shí)，，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用熟練的遞推公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14、【解析】

首先根據(jù)題中求出的周期，然后利用周期性即可求出答案.【詳解】由題知，有，故的周期為，故，又因?yàn)?，?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可【詳解】由題當(dāng)時(shí)最小故答案為8【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查二次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題16、9【解析】

分析數(shù)列的單調(diào)性，以及數(shù)列各項(xiàng)的取值正負(fù)，得到數(shù)列中的最大項(xiàng)，由此即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，又因?yàn)樵谏线f增，在也是遞增的，所以，又因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都有，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)判斷，難度一般.處理數(shù)列單調(diào)性或者最值的問(wèn)題時(shí)，可以采取函數(shù)的思想來(lái)解決問(wèn)題，但是要注意到數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的定義域?yàn)?三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）分別求出基本事件總數(shù)及為整數(shù)的事件數(shù)，再由古典概型概率公式求解；（2）建立坐標(biāo)系，找出會(huì)面的區(qū)域，用會(huì)面的區(qū)域面積比總區(qū)域面積得答案．【詳解】（1）所有的基本事件共有4×3=12個(gè)，記事件A={為整數(shù)}，因?yàn)?，則事件A包含的基本事件共有2個(gè)，∴p（A）=；（2）以x、y分別表示兩人到達(dá)時(shí)刻，則．兩人能會(huì)面的充要條件是．建立直角坐標(biāo)系如下圖：∴P=．∴這兩人能會(huì)面的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與幾何概型概率的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．18、（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）折疊前，AC⊥DE；，從而折疊后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能證明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．說(shuō)明四邊形DEBC為平行四邊形．可得CB∥DE．由此能證明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由題意根據(jù)勾股定理運(yùn)算得到，又由（Ⅰ）的結(jié)論得到，可得平面，再利用等體積轉(zhuǎn)化有，計(jì)算結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）折疊前，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以；所以折疊后，，,又，平面，所以平面因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以．又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．（Ⅱ）圖1中，由已知得，，所以圖2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了三棱錐體積的求法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19、（1）cos(α+β)=2【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)列積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)整理得到5cos（2）根據(jù)題中條件求出cosα=310再由cos(2α+β)=【詳解】解：（1）因?yàn)閍=(所以a?=5因?yàn)閍?b=2，所以5（2）因?yàn)?<α<π2,因?yàn)?<α<β<π2，所以因?yàn)閏os(α+β)=2所以cos因?yàn)?<α<β<π2，所以0<2α+β<【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，熟記兩角和的余弦公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）（2）【解析】

（1）利用當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即可求解（2）由裂項(xiàng)相消求解即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以可得.（2）由題意知，可設(shè)則.【點(diǎn)睛】本題考