2023年四川省綿陽市綿陽中學資陽育才學校高一數學第二學期期末考試試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，且，恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．2．在中，，，為的外接圓的圓心，則（）A． B．C． D．3．在長為12cm的線段AB上任取一點C．現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為A． B． C． D．4．已知數列滿足，，則（）A．1024 B．2048 C．1023 D．20475．已知的定義域為，若對于，，，，，分別為某個三角形的三邊長，則稱為“三角形函數”，下例四個函數為“三角形函數”的是（）A．； B．；C．； D．6．函數的部分圖像如圖所示，則當時，的值域是（）A． B．C． D．7．在前項和為的等差數列中，若，則=()A． B． C． D．8．已知菱形的邊長為，則（）A． B． C． D．9．已知數列滿足，，則數列的前10項和為（）A． B． C． D．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，,則的值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．觀察下列式子：你可歸納出的不等式是___________12．在軸上有一點，點到點與點的距離相等，則點坐標為____________.13．數列滿足，當時，，則是否存在不小于2的正整數，使成立？若存在，則在橫線處直接填寫的值；若不存在，就填寫“不存在”_______.14．已知數列滿足，，則______．15．設是等差數列的前項和，若，則___________.16．把二進制數1111（2）化為十進制數是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是同一平面內的三個向量，其中.（Ⅰ）若，且，求；（Ⅱ）若，且與垂直，求實數的值.18．如圖所示，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現要將此鐵皮剪出一個三角形，使得，.(1)設，求三角形鐵皮的面積；(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.19．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，且小區(qū)里有一條平行于的小路．（1）已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長（精確到米）（2）若該扇形的半徑為，已知某老人散步，從沿走到，再從沿走到，試確定的位置，使老人散步路線最長．20．已知三角形的三個頂點，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.21．在平面直角坐標系中，點，點P在x軸上（1）若，求點P的坐標：（2）若的面積為10，求點P的坐標．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

將代數式與相乘，展開式利用基本不等式求出的最小值，將問題轉化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實數的取值范圍是，故選A.【點睛】本題考查基本不等式的應用，考查不等式恒成立問題以及一元二次不等式的解法，對于不等式恒成立問題，常轉化為最值來處理，考查計算能力，屬于中等題．2、A【解析】

利用正弦定理可求出的外接圓半徑.【詳解】由正弦定理可得，因此，，故選A.【點睛】本題考查利用正弦定理求三角形外接圓的半徑，考查計算能力，屬于基礎題.3、C【解析】試題分析：設AC=x，則BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面積S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由幾何概率的求解公式可得，矩形面積大于20cm2的概率考點：幾何概型4、C【解析】

根據疊加法求結果.【詳解】因為，所以，因此，選C.【點睛】本題考查疊加法求通項以及等比數列求和，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5、B【解析】由三角形的三邊關系，可得“三角形函數”的最大值小于最小值的二倍，因為單調遞增，無最大值和最小值，故排除A，，符合“三角形函數”的條件，即B正確，單調遞增，最大值為4，最小值為1，故排除C，單調遞增，最小值為1，最大值為，故排除D.故選B.點睛：本題以新定義為載體考查函數的單調性和最值；解決本題的關鍵在于正確理解“三角形函數”的含義，正確將問題轉化為“判定函數的最大值和最小值間的關系”進行處理，充分體現轉化思想的應用.6、D【解析】如圖，，得，則，又當時，，得，又，得，所以，當時，，所以值域為，故選D．點睛：本題考查由三角函數的圖象求解析式．本題中，先利用周期求的值，然后利用特殊點（一般從五點內?。┣蟮闹?，最后根據題中的特殊點求的值．值域的求解利用整體思想．7、C【解析】

利用公式的到答案.【詳解】項和為的等差數列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數列的前N項和，等差數列的性質，利用可以簡化計算.8、D【解析】

由菱形可直接得出所求兩向量的模長及夾角，直接利用向量數量積公式即可.【詳解】由菱形的性質可以得出：所以選擇D【點睛】直接考查向量數量積公式，屬于簡單題9、C【解析】

由判斷出數列是等比數列，再求出，利用等比數列前項和公式求解即可.【詳解】由，得，所以數列是以為公比的等比數列，又，所以，由等比數列前項和公式，.故選：C【點睛】本題主要考查等比數列的定義和等比數列前項和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于基礎題.10、B【解析】

先利用面積公式得到，再利用余弦定理得到【詳解】余弦定理：故選B【點睛】本題考查了面積公式和余弦定理，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個不等式左邊可改寫成；第2個不等式左邊的可改寫成，右邊的可改寫成；第3個不等式的左邊可改寫成；據此可發(fā)現第個不等式的規(guī)律.【詳解】觀察三個已知式子的左邊和右邊，第1個式子可改寫為：，第2個式子可改寫為：，第3個式子可改寫為：，所以可歸納出第個不等式是：.故答案為：.【點睛】本題考查歸納推理，考查學生分析、解決問題的能力，屬于基礎題．12、【解析】

設點的坐標，根據空間兩點距離公式列方程求解.【詳解】由題：設，點到點與點的距離相等，所以，，，解得：，所以點的坐標為.故答案為：【點睛】此題考查空間之間坐標系中兩點的距離公式，根據公式列方程求解點的坐標，關鍵在于準確辨析正確計算.13、70【解析】

構造數列，兩式與相減可得數列{}為等差數列，求出，讓=0即可求出.【詳解】設兩式相減得又數列從第5項開始為等差數列，由已知易得均不為0所以當n=70的時候成立，故答案填70.【點睛】如果遞推式中出現和的形式，比如，可以嘗試退項相減，即讓取后，兩式作差，和的部分因為相減而抵消，剩下的就好算了。14、1023【解析】

根據等比數列的定義以及前項和公式即可．【詳解】因為所以，所以為首先為1公比為2的等比數列，所以【點睛】本題主要考查了等比數列的前項和：屬于基礎題．15、1.【解析】

由已知結合等差數列的性質求得，代入等差數列的前項和得答案．【詳解】解：在等差數列中，由，得，，則，故答案為：1．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式，考查等差數列的性質，考查了等差數列前項和的求法，屬于基礎題．16、.【解析】

由二進制數的定義可將化為十進制數.【詳解】由二進制數的定義可得，故答案為：.【點睛】本題考查二進制數化十進制數，考查二進制數的定義，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)根據向量平行的相關性質以及、即可得出向量，然后根據向量的模長公式即可得出結果；(2)首先可根據、寫出與的坐標表示，然后根據向量垂直可得，最后通過計算即可得出結果．【詳解】(1)因為，，所以，，，所以．(2)因為，，所以，.因為與垂直，所以，即，．【點睛】本題考查向量平行以及向量垂直的相關性質，考查向量的坐標表示以及向量的模長公式，若、且，則，考查計算能力，是中檔題．18、（1）三角形鐵皮的面積為；（2）剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.【解析】試題分析：（1）利用銳角三角函數求出和的長度，然后以為底邊、以為高，利用三角形面積公式求出三角形的面積；（2）設，以銳角為自變量將和的長度表示出來，并利用面積公式求出三角形的面積的表達式，利用與之間的關系，令將三角形的面積的表達式表示為以為自變量的二次函數，利用二次函數的單調性求出三角形的面積的最大值，但是要注意自變量的取值范圍作為新函數的定義域.試題解析：（1）由題意知，，，，即三角形鐵皮的面積為；（2）設，則，，，，令，由于，所以，則有，所以，且，所以，故，而函數在區(qū)間上單調遞增，故當時，取最大值，即，即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.考點：1.三角形的面積；2.三角函數的最值；3.二次函數的最值19、（1）445米；（2）在弧的中點處【解析】

（1）假設該扇形的半徑為米，在中，利用余弦定理求解；（2）設設，在中根據正弦定理，用和表示和，進而利用和差公式和輔助角公式化簡，再根據三角函數的性質求最值.【詳解】（1）方法一：設該扇形的半徑為米，連接.由題意，得(米)，（米），在中，即，解得（米)方法二：連接，作，交于，由題意，得（米），（米），，在中，.（米）..在直角中，（米），（米）.（2）連接，設，在中，由正弦定理得：，于是，則，所以當時，最大為，此時在弧的中點處．【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理的實際應用，結合了三角函數的化簡與求三角函數的最值.20、（1）（2）.【解析】

（1）先求出BC中點的坐標，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【詳解】（1）由題得BC的中點D的坐標為（2，-1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【點睛】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題