微點(diǎn)4 阿波羅尼斯圓與圓錐曲線（學(xué)生版）

專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)4阿波羅尼斯與圓錐曲線專題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)4阿波羅尼斯圓與圓錐曲線【微點(diǎn)綜述】有些涉及圓錐曲線與圓的綜合題，其中已知條件含有阿波羅尼斯圓的背景，可以結(jié)合阿波羅尼斯圓以及圓錐曲線的幾何性質(zhì)解決問題.【典例刨析】2 2.設(shè)雙曲線土-二=1的左右兩個焦點(diǎn)分別為6、6，p是雙曲線上任意一點(diǎn)，過K的直16h線與/月尸工的平分線垂直，垂足為。，則點(diǎn)。的軌跡曲線E的方程；M在曲線￡上，點(diǎn)4&0),8(5,6),則:|AM|+忸閘的最小值.(2022?廣東梅州?高二月考).希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A8的距離之比為定值/l(Xwl)的點(diǎn)的軌跡是圓后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,l),8(-2,4),點(diǎn)P是滿足九=；的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為—；若點(diǎn)。為拋物線石：y2=?上的動點(diǎn)，。在y軸上的射影為〃，則|冏+|尸。|+|。"|的最小值為.(2022安徽黃山,一模)IpaI.在平面上給定相異兩點(diǎn)4B,設(shè)點(diǎn)。在同一平面上且滿足兩=之，當(dāng)2＞。且4工1時，。點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿2 2波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線二-夫=13〉0力〉0),耳,尸2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，4B為雙ab~曲線虛軸的上、下端點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足震=2,△PAB面積的最大值為4.點(diǎn)N在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)。對稱，。是雙曲線上一點(diǎn)，直線QM和QN的斜率滿足勺m?Zqn=3,則雙曲線方程是;過尸2的直線與雙曲線右支交于G。兩點(diǎn)(其中。點(diǎn)在第一象限)，設(shè)點(diǎn)〃、N分別為△。片匕、△。片入的內(nèi)心，貝的范圍是.（2022吉林?梅河口五中學(xué)高三期末）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年），與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)48的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.比如在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,l）、B（0,4）,則點(diǎn)P滿足義=J所得P點(diǎn)軌跡就是阿氏圓；已知點(diǎn)C（-2,4），。為拋物線V=8x上的動點(diǎn)，點(diǎn)。在直線x=-2上的射影為“，“為曲線（x+2『+y2=4上的動點(diǎn)，則+ +的最小值為.貝UMC|+|0"|+舊閘的最小值為.（2022湖北?武漢新洲區(qū)城關(guān)高中高二開學(xué)考試）.阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（%〉0,且攵工1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這2 9個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓二十二=1（々＞人＞0）,A,8為橢圓的長軸端點(diǎn)，C,Da一 \MA為橢圓的短軸端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足卜加=2,ZWAfi面積的最大值為6,2XMCQ面積的最小值為1,則橢圓的方程為（2022?河北彳斷水二中高二期中）.公元前三世紀(jì)，阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓的一個基本性質(zhì)：如圖,過橢圓上任意一點(diǎn)。（不同于48）作長軸過橢圓上任意一點(diǎn)。（不同于48）作長軸AB的垂線，垂足為。，則\aq\-\bq\為常數(shù)k.若V則該橢圓的離心率為一.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一答案第2頁，共6頁書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點(diǎn)”與兩定點(diǎn)。，P的距離之比TOC\o"1-5"\h\zMQ/ 、--=^ ,之是一個常數(shù)，那么動點(diǎn)〃的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線MP'PQ上.已知動點(diǎn)"的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為V+y2=4,定點(diǎn)分別為橢圓2 2 1C:二+與=1（。＞匕＞0）的右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)A,且橢圓C的離心率為e=彳.礦Zr' 2（1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）如圖，過右焦點(diǎn)/斜率為2（%＞0）的直線/與橢圓C相交于5,D（點(diǎn)B在工軸上方）,點(diǎn)S,T是橢圓C上異于8,。的兩點(diǎn)，SF平分ABSD,TF平分NBTD.忸S|匚求舄的取值范圍；Q]7r匚將點(diǎn)S、八7看作一個阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為等，求直線/O的方程.【針對訓(xùn)練】（2022?安徽皖北聯(lián)盟高二聯(lián)考）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形A3CD截某圓錐得到橢圓「，且7與矩形A5CO的四邊相切.設(shè)橢圓c在平面直角坐標(biāo)2 2系中的方程為+分2 2系中的方程為+分=1（空〃〉（）），下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（2 2a%2 2a%y1a.—+—=i6416B.? 9工+E=l16642 2c.JJ25616（2022?河南?新蔡一中高二月考）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)攵（攵〉。且左。1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓T:=1（〃>方>0）,A,5為橢圓TT:=1（〃>方>0）,A,5為橢圓T長軸的端點(diǎn),C。為橢圓T短軸的端點(diǎn),E,尸分別\ME為橢圓7的左右焦點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足標(biāo);=2,工加43面積的最大值為4#,../。。面積的最小值為拉，則橢圓7的離心率為（）D-TA.— B.D-T3 3（2022北京八一中學(xué)高三期末）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定2 2圓+方=l(a>2 2圓+方=l(a>〃>0),A3為橢圓「長軸的端點(diǎn)，C、。為橢圓「短軸的端點(diǎn)，動\MA點(diǎn)〃滿足｝帚=2, 的面積的最大值為8,△MC。的面積的最小值為1,則橢圓「的離心率為.（2022?廣東廣州?高二期末）IpAI.在平面上給定相異兩點(diǎn)48,點(diǎn)尸滿足篙=4,則當(dāng)2>0且?guī)讜r，。點(diǎn)的軌跡是I一個圓，我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓￡+工=1（〃>〃>0）的離心率￡=立，4,a~b~2IpaI3為橢圓的長軸端點(diǎn)，C,。為橢圓的短軸端點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足篇=3,若的面積的I最大值為3,則PCD面積的最小值為.（2022湖南?益陽箴言中學(xué)高二月考）.阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)攵（攵〉0且人工1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有c.ABC,3c=6,sin8=；sinC/lJABC的面積最大值為,此時/C的長為.（2022?浙江?高三開學(xué)考試）答案第4頁，共6頁.公元前3世紀(jì)，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓和圓的一個基本性質(zhì)：如圖，過橢圓（或圓）上任意一點(diǎn)P（不同于B）作長軸（或直徑）的一條垂線段,垂足為°，則六照二為常數(shù)機(jī)若此圖形為圓，則攵=\aq\-\bq\形的離心率為（2022?形的離心率為（2022?湖北?荊門龍泉中學(xué)二模）.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后,阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，其中法線/‘表示與橢圓。的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓。的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為耳耳（c,0）（c＞。），由耳發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到6經(jīng)過的路程為8c.利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題:（1）橢圓。的離心率為.（2）點(diǎn)。是橢圓。上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)尸處的切線為/，外在/上的射影”在圓f+/=8上，則橢圓。的方程為.（2022?北京朝陽?高二期末）.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A,5的距離之比為定值％（%。1）的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點(diǎn)