2023年北京師范大學附屬杭州中學數學高一第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣2．在數列an中，an+1=an+a（n∈N*，a為常數），若平面上的三個不共線的非零向量OA、OB、OC滿足OC=a1A．1005 B．1006 C．2010 D．20123．若，且，則xy的最大值為（）A． B． C． D．4．對數列，若區(qū)間滿足下列條件：①；②，則稱為區(qū)間套．下列選項中，可以構成區(qū)間套的數列是（）A．；B．C．D．5．已知曲線C的方程為x2+y2＝2（x+|y|），直線x＝my+4與曲線C有兩個交點，則m的取值范圍是（）A．m＞1或m＜﹣1 B．m＞7或m＜﹣7C．m＞7或m＜﹣1 D．m＞1或m＜﹣76．已知分別為內角的對邊,若,b=則=()A． B． C． D．7．等比數列的前n項和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－318．記等差數列的前n項和為.若，則（）A．7 B．8 C．9 D．109．與直線垂直于點的直線的一般方程是（）A． B． C． D．10．已知數列且是首項為2，公差為1的等差數列，若數列是遞增數列，且滿足，則實數a的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若存在實數使得關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是____.12．已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.13．若則的最小值是__________．14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．15．已知，，是與的等比中項，則最小值為_________．16．關于的不等式的解集是，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前項和為，且滿足（1）求數列的通項公式；（2）設，令，求18．某電視臺有一檔益智答題類綜藝節(jié)日，每期節(jié)目從現場編號為01～80的80名觀眾中隨機抽取10人答題.答題選手要從“科技”和“文藝”兩類題目中選一類作答，一共回答10個問題，答對1題得1分.（1）若采用隨機數表法抽取答題選手，按照以下隨機數表，從下方帶點的數字2開始向右讀，每次讀取兩位數，一行用完接下一行左端，求抽取的第6個觀眾的編號.162277943949544354821737932378873509643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676（2）若采用等距系統(tǒng)抽樣法抽取答題選手，且抽取的最小編號為06，求抽取的最大編號.（3）某期節(jié)目的10名答題選手中6人選科技類題目，4人選文藝類題目.其中選擇科技類的6人得分的平均數為7，方差為；選擇文藝類的4人得分的平均數為8，方差為.求這期節(jié)目的10名答題選手得分的平均數和方差.19．已知等差數列滿足，的前項和為.（1）求及；（2）記，求20．一個盒子中裝有4張卡片，每張卡片上寫有1個數字，數字分別是1、2、3、4，現從盒子中隨機抽取卡片.(Ⅰ)若一次從中隨機抽取3張卡片，求3張卡片上數字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次隨機抽取1張卡片，放回后再隨機抽取1張卡片，求兩次抽取的卡片中至少一次抽到數字2的概率.21．泉州與福州兩地相距約200千米，一輛貨車從泉州勻速行駛到福州，規(guī)定速度不得超過千米/時，已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度千米/時的平方成正比，比例系數為0.01；固定部分為64元.（1）把全程運輸成本元表示為速度千米/時的函數，并指出這個函數的定義域；（2）為了使全程運輸成本最小，貨車應以多大速度行駛？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點：分層抽樣．2、A【解析】

利用等差數列的定義可知數列an為等差數列，由向量中三點共線的結論得出a1+【詳解】∵an+1=an∵三點A、B、C共線且該直線不過O點，OC=a1因此，S2010故選：A.【點睛】本題考查等差數列求和，涉及等差數列的定義以及向量中三點共線結論的應用，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解析】

利用基本不等式可直接求得結果.【詳解】（當且僅當時取等號）的最大值為故選：【點睛】本題考查利用基本不等式求解積的最大值的問題，屬于基礎題.4、C【解析】由題意，得為遞增數列，為遞減數列，且當時，；而與與均為遞減數列，所以排除A,B,D，故選C.考點：新定義題目.5、A【解析】

先畫出曲線的圖象，再求出直線與相切時的，最后結合圖象可得的取值范圍，得到答案．【詳解】如圖所示，曲線的圖象是兩個圓的一部分，由圖可知：當直線與曲線相切時，只有一個交點，此時，結合圖象可得或．故選：A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，其中解答中熟練應有直線與圓的位置關系，合理結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．6、D【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，根據余弦定理可得，解方程可得的值．【詳解】，，，由正弦定理，可得：，由余弦定理，可得：，解得：，負值舍去．故選．【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了方程思想，屬于基礎題．7、C【解析】

由等比數列的求和公式結合條件求出公比，再利用等比數列求和公式可求出.【詳解】設等比數列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【點睛】本題考查等比數列基本量計算，利用等比數列求和公式求出其公比，是解本題的關鍵，一般在求解等比數列問題時，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項和公比列方程組解出這兩個基本量，然后利用等比數列的通項公式或求和公式來進行計算；（2）性質法：利用等比數列下標有關的性質進行轉化，能起到簡化計算的作用．8、D【解析】

由可得值，可得可得答案.【詳解】解：由，可得，所以，從而，故選D.【點睛】本題主要考察等差數列的性質及等差數列前n項的和，由得出的值是解題的關鍵.9、A【解析】由已知可得這就是所求直線方程，故選A.10、D【解析】

根據等差數列和等比數列的定義可確定是以為首項，為公比的等比數列，根據等比數列通項公式，進而求得；由數列的單調性可知；分別在和兩種情況下討論可得的取值范圍.【詳解】由題意得：，，是以為首項，為公比的等比數列為遞增數列，即①當時，，，即只需即可滿足②當時，，，即只需即可滿足綜上所述：實數的取值范圍為故選：【點睛】本題考查根據數列的單調性求解參數范圍的問題，涉及到等差和等比數列定義的應用、等比數列通項公式的求解、對數運算法則的應用等知識；解題關鍵是能夠根據單調性得到關于變量和的關系式，進而通過分離變量的方式將問題轉化為變量與關于的式子的最值的大小關系問題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉化為含的絕對值不等式，對分成三種情況，結合絕對值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡得恒成立.當時，顯然成立.當時，可得，，可得且，可得，即，解得.當時，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查三角函數的值域，考查含有絕對值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.12、6【解析】

如圖所示,取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝12PB，OC＝12PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝2，PB＝6，∴外接球的半徑R＝∴V球＝43πR3＝4π3×(62)3＝6點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．13、【解析】

根據對數相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結果.【詳解】則，即由題意知，則，則當且僅當，即時取等號本題正確結果：【點睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關鍵是能夠利用對數相等得到的關系，從而構造出符合基本不等式的形式.14、【解析】由三視圖知該幾何體是一個半圓錐挖掉一個三棱錐后剩余的部分，如圖所示，所以其體積為.點睛：求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據勾股定理求球的半徑；（3）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心，本題就是第三種方法.15、1【解析】

根據等比中項定義得出的關系，然后用“1”的代換轉化為可用基本不等式求最小值．【詳解】由題意，所以，所以，當且僅當，即時等號成立．所以最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查等比中項的定義，考查用基本不等式求最值．解題關鍵是用“1”的代換找到定值，從而可用基本不等式求最值．16、【解析】

利用二次不等式解集與二次方程根的關系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與系數的關系，得到和的值，得到答案.【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以關于的方程的解是，由根與系數的關系得，解得，所以.【點睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關系，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

試題分析：(1)利用得到相鄰兩項的關系，把問題轉化為等比數列問題；(2)利用裂項相消法求和.試題解析：（1）由，得得∴是等比數列，且公比為（2）由（1）及得，18、（1）42；（2）78；（3）平均數為7.4，方差為2.24【解析】

（1）根據隨機數表依次讀取數據即可，取01～80之間的數據；（2）根據系統(tǒng)抽樣，確定組矩，計算可得；（3）根據平均數和方差得出數據的整體關系，整體代入求解10名選手的平均數和方差.【詳解】（1）根據題意讀取的編號依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，所以抽取的第6個觀眾的編號為42；（2）若采用系統(tǒng)抽樣，組矩為8，最小編號為06，則最大編號為6+9×8=78；（3）記選擇科技類的6人成績分別為：，選擇文藝類的4人成績分別為：，由題：，，，，所以這10名選手的平均數為方差為【點睛】此題考查統(tǒng)計相關知識，涉及隨機數表讀數，系統(tǒng)抽樣和平均數與方差的計算，對計算公式的變形處理要求較高.19、（1），（2）【解析】

（1）利用等差數列的通項公式，結合，可以得到兩個關于首項和公差的二元一次方程，解這個方程組即可求出首項和公差，最后利用等差數列的通項公式和前項和公式求出及；（2）利用裂項相消法可以求出.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為d,（2）由（1）知：【點睛】本題考查了等差數列的通項公式和前項和公式，考查了裂項相消法求數列前項和，考查了數學運算能力.20、（1）（2）【解析】

古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗包含的所有事件是任取三張卡片，三張卡片上的數字全部可能的結果，可以列舉出，而滿足條件的事件數字之和大于7的，可以從列舉出的結果中看出．（2）列舉出每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的基本結果，而滿足條件的事件是兩次抽取中至少一次抽到數字3，從前面列舉出的結果中找出來．解：(Ⅰ)設A表示事件“抽取3張卡片上的數字之和大于或等于7”，任取三張卡片，三張卡片上的數字全部可能的結果是（1、2、3），（1、2、4），（