2022-2023學年吉林省長春市高一年級下冊學期第二學程考試數(shù)學試題【含答案】

一、單選題1．若復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復數(shù)四則運算法則及復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．故選：A2．滿足條件的的個數(shù)為（

）A．一個 B．兩個 C．不存在 D．無法判斷【答案】B【分析】利用余弦定理運算求解即可判斷.【詳解】因為，即，解得或，所以滿足條件的有兩個．故選：B．3．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化簡給定等式，再借助余弦值求角及正弦定理求解作答.【詳解】在中，由得：，整理得，則或，當時，，，是直角三角形，當時，由正弦定理得，因此是等腰三角形，所以是等腰三角形或直角三角形.故選：D4．在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

5．已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】根據(jù)點線面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】若，，則與異面或平行，故A錯誤；若，，則有可能與平行，故B錯誤；若，，則在內(nèi)或與平行，當在內(nèi)時，因為，所以，當與平行時，在內(nèi)存在直線，因為，所以，所以，故C正確；若，，，則與可能異面，故D錯誤；故選：C6．圓臺的上下底面半徑之比為，一條母線長度為2，這條母線與底面成角等于30°，這個圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，計算圓臺上下底面半徑及高，再根據(jù)圓臺的體積公式計算.【詳解】如圖，由題意得：，過點D作于點E，則，因為圓臺的上、下底面半徑之比為1：2，所以，則圓臺上底面面積為，下底面面積為，故圓臺的體積為故選：D.7．如圖，點P在正方體的面對角線上運動（P點異于B，點），則下列四個結(jié)論：①三棱錐的體積不變；②平面；③；④平面平面.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①點到平面的距離為定值，且三角形的面積不變得到三棱錐的體積不變；②連接，容易證明平面∥面，從而由線面平行的定義可得；③根據(jù)DC⊥平面即可判斷；④連接，容易證明面，從而可以證明面面垂直；【詳解】對于①：由正方體知，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∥平面，又∵點在線段上運動，點到平面的距離為定值，又∵△的面積為定值，∴三棱錐的體積不變，三棱錐的體積不變，故①正確；對于②：連接∥且相等，由①知：，∴∥面，從而由面面平行的性質(zhì)可得∥平面，故②正確：對于③，由于平面，∴，若，則平面，，則為中點，與為動點矛盾，故③錯誤：對于④：連接，由AC⊥對角面知，由⊥對角面知，由此可得面，又平面PD，從而平面平面，故④正確：正確的命題個數(shù)有3個．故選：C．8．已知四面體中，，，，則以點為球心，以為半徑的球被平面截得的圖形面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，取中點，連接，，可得為等邊三角形，取中點，求得，再說明到（或的距離大于，得到以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為圓，利用勾股定理求出圓的半徑，即可求解.【詳解】解：如圖，取中點，連接，，，，，，又，所以平面，又，，，為等邊三角形，取中點，則，可得，又因為平面，所以，因為，所以平面，又設(shè)到（或的距離為，由，可得，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為圓，圓的半徑為，所以以點為球心，以為半徑的球被平面截得的圖形面積為，故選：B.二、多選題9．已知是任意的非零向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】對A，平方根據(jù)可判斷；對B，根據(jù)數(shù)量積定義和可判斷；對C，根據(jù)向量是由大小和方向決定可判斷；對D，兩邊平方可得即可判斷.【詳解】對A，，當且僅當同向等號成立，所以，故A正確；對B，因為，所以，當且僅當同向等號成立，故B正確；對C，若，因為方向不一定相同，所以不一定相等，故C錯誤；對D，若，兩邊平方可得，所以，故D正確.故選：ABD.10．下列命題正確的是（

）A．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體為棱臺B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺C．棱錐是由一個底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點的三角形圍成的幾何體D．球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面【答案】CD【解析】根據(jù)空間幾何體的定義，對選項中的命題判斷正誤即可．【詳解】解：對于A，有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定為棱臺，因為不能保證各側(cè)棱的延長線交與一點，錯誤；對于B，用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺，因為不能保證截面與底面平行，錯誤；對于C，由棱錐的定義知由一個底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點的三角形圍成的幾何體是棱錐，正確；對于D，球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，正確；故選：CD.11．設(shè)，，表示平面，m，n，l表示直線，則的充分條件（

）A．， B．，，C．，，， D．，，【答案】AD【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)以及充分條件和必要條件的定義進行分析判斷即可．【詳解】解：當，時，則，故選項正確；當，，時，由面面垂直的性質(zhì)得出，可能在內(nèi)，故選項錯誤；當，，，時，由線面垂直的判定定理得出，當時，得不到，故選項錯誤；當，，時，則可以在，內(nèi)分別找到異于的直線，，使得，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，則，由線面平行的性質(zhì)得出，則，故選項正確．故選：AD．12．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等【答案】BC【分析】證明平面，可判斷A選項的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤；利用三角形的面積公式可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，連接、，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，所以，平面，因為平面，平面,平面平面因此，不垂直，A選項錯誤；對于B選項，因為平面平面，平面，故平面，B選項正確；對于C選項，因為的面積為，點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，設(shè)，取的中點，連接、，由A選項可知，平面，即平面，平面，則，因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，故且，所以，四邊形為平行四邊形，平面，平面，所以，，故四邊形為矩形，所以，，，所以，平面，平面，，，所以，，D選項錯誤.故選：BC.三、填空題13．過所在平面外一點，作，垂足為，連接，，．若，，，則點是的______心．【答案】垂【分析】連接，并延長，利用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得平面，得到，同理證得和，即可得到結(jié)論.【詳解】如圖所示，連接，分別延長交于點，因為，且，平面，所以平面，因為平面，所以，又由，且平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，同理可證：，所以點為的垂心.故答案為：垂14．如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________.【答案】7【分析】根據(jù)四點共圓可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案.【詳解】∵四點共圓，圓內(nèi)接四邊形的對角和為﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案為：715．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________．【答案】【分析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結(jié)，，，，平面且，四邊形時平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：16．如圖，在四棱錐中，已知底面是矩形，，，平面，若邊上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】利用直線與平面垂直的判定和性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與有交點可得答案.【詳解】連接，如圖：因為平面，所以。又，且，所以平面，所以，所以以為直徑的圓與有交點，所以.故答案為：【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題17．在銳角△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，且，求△ABC的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化即可求解；（2）根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】（1）由及正弦定理得

因為，故．

又∵為銳角三角形，所以．（2）由余弦定理，

∵，得

解得：或

∴的周長為．18．記的內(nèi)角??的對邊分別為??，已知.(1)證明：；(2)若，，角的內(nèi)角平分線與邊交于點，求的長.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理結(jié)合條件可得，然后利用角平分線定理及余弦定理即得.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，即，所以；（2）由余弦定理得：，，又，所以，，由角平分線定理可得，，，在中，由余弦定理得：，所以.19．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CC1的中點，（1）證明：直線AE//平面DCC1D1（2）求異面直線AE和BF所成角的余弦值.【答案】（1）證明過程見詳解

（2）【分析】（1）連接，，證明，然后利用線面平行的判定定理即可證明平面（2）連接，，則或其補角為異面直線AE和BF所成角，利用余弦定理求出異面直線所成角的余弦值即可【詳解】（1）證明：連接，，在正方形中，E、F分別是BB1，CC1的中點，所以，且，在正方形中，，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則有，因為平面，平面，所以平面.（2）連接，，則在正方形中，因為E、F分別是BB1，CC1的中點，所以有，所以四邊形為平行四邊形，則有，所以或其補角為異面直線AE和BF所成角設(shè)正方體邊長為2，則，，，所以，由于異面直線所成角為銳角或者直角所以異面直線AE和BF所成角的余弦值為20．如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD為矩形，△PAD為等腰三角形，，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接AC，證明EF∥AP，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）首先利用面面垂直的性質(zhì)定理得到PO⊥平面ABCD，則即為四棱錐的高，再利用椎體的體積公式代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【詳解】（1）如圖所示，連接AC．∵四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點，∴F也是AC的中點．又E是PC的中點，EF∥AP，∵平面PAD，平面PAD，

∴EF∥平面PAD．（2）取AD的中點為O．連接PO．∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，，平面平面，平面，∴PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐的高．∵AD＝2，∴PO＝1．又AB＝1，∴四棱錐的體積21．已知點是邊長為2的菱形所在平面外一點，且點在底面上的射影是與的交點，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點到平面的距離；(3)若點是線段上的動點，問：點在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說明點此時所在的位置.【答案】(1)證明見解析(2)(3)在線段上靠近點的處，【分析】（1）由題可得平面，故.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)結(jié)合即可求解；（3）由線面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距離即為到平面的距離，過作垂線平面交于點，要使最大，則需使最小，此時，從而可求解.【詳解】（1）因為點在底面上的射影是與的交點，所以平面.因為平面，所以.因為四邊形為菱形，所以.因為平面，所以平面.因為平面，所以.（2）由題意可得、與都是邊長為2的等邊三角形，所以，.所以.因為，所以.設(shè)點到平面的距離為，由得，即，解得.故點到平面的距離為.（3）設(shè)直線與平面所成的角為，平面，∴到平面的距離即為到平面的距離.過作垂線平面交于點，則，此時，要使最大，則需使最小，此時.由題意可知：，因為平面，且，所以，，在中，由余弦定理可得：，所以，由面積相等，即，經(jīng)計算得，，則，此時在線段上靠近點的處.22．如圖1，在直角梯形中，，點在上，且，將沿折起，使得平