河北省保定市理想中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

河北省保定市理想中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：A【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】由已知當x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于x?g（x）＞0，數(shù)形結(jié)合解不等式組即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=，∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，即當x＞0時，g′（x）恒小于0，∴當x＞0時，函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）==0，∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．2.已知雙曲線的一個焦點坐標為，且經(jīng)點，則雙曲線的標準方程為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A設(shè)雙曲線的方程為雙曲線的一個焦點坐標為，且經(jīng)過點，雙曲線的標準方程為，故選A.3.設(shè)集合；則(

)

A.

B．

C.

D．參考答案：A4.已知直線與圓相切，且與直線平行，則直線的方程是A．

B．或C．

D．或參考答案：D5.已知函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，且f（2）=1，則f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，從而可求出f（﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函數(shù)g（x）=f（x）+x是偶函數(shù)，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故選D．6.夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.7℃，已知山頂?shù)臍鉁厥?4.1℃，山腳的氣溫是26℃.那么，此山相對于山腳的高度是()A．1500m

B．1600m

C．1700m

D．1800m參考答案：C7.已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且對于恒成立，則（

）A、

B、C、

D、參考答案：D略8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出（

）A. B. C. D.

參考答案：A9.用一個邊長為2的正方形硬紙板，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，半徑為2的雞蛋（視為球體）放入其中，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為(

) A． B．1 C． D．3參考答案：A考點：點、線、面間的距離計算．專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：蛋槽的邊長是原來硬紙板的對角線長度的一半，為2，蛋槽立起來的小三角形部分高度是1，雞蛋的半徑為2，直徑為4，大于折好的蛋巢邊長2，由此能求出雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離．解答： 解：蛋槽的邊長是原來硬紙板的對角線長度的一半，為2，蛋槽立起來的小三角形部分高度是1，雞蛋的半徑為2，直徑為4，大于折好的蛋巢邊長2，四個三角形的頂點所在的平面在雞蛋表面所截取的小圓直徑就是蛋槽的邊長2，根據(jù)圖示，AB段由三角形AB求出得：AB=，AE=AB+BE=+1，∴雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為+1．故選：A．點評：本題考查點、線、面間距離的計算，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地化空間問題為平面問題，注意數(shù)形結(jié)合法的合理運用．10.數(shù)列的通項公式，則數(shù)列的前10項和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)且滿足，則的最小值等于____▲____．

參考答案：

3略12.如圖所示，函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，

則_____.參考答案：13.在的展開式中，只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是。參考答案：1514.若命題“，使得成立”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_______．參考答案：【分析】根據(jù)原命題為假，可得，都有；當時可知；當時，通過分離變量可得，通過求解最值得到結(jié)果.【詳解】由原命題為假可知：，都有當時，，則當時，又，當且僅當時取等號

綜上所述：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)命題的真假性求解參數(shù)范圍，涉及到恒成立問題的求解.15.設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點處的切線的斜率為1，則該曲線在點處的切線的斜率為

參考答案：略16.為了判斷高中學(xué)生選讀文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：

理科

文科

合計

男

13

10

23

女

7

20

27

合計

20

30

50已知,，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到，則在犯錯誤的概率不超過

的前提下可以認為選讀文科與性別是有關(guān)系的。參考答案：17.已知離心率為的雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則實數(shù)_________．

參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在數(shù)列{an}中，a1=6，且an﹣an﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜測數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．參考答案：【考點】RG：數(shù)學(xué)歸納法；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）分別取n=2，3，4即可得出；（2）由（1）猜想an=（n+1）（n+2），再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【解答】解：（1）n=2時，a2﹣a1=+2+1，∴a2=12．同理可得a3=20，a4=30．（2）猜測an=（n+1）（n+2）．下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當n=1，2，3，4時，顯然成立；②假設(shè)當n=k（k≥4，k∈N*）時成立，即有ak=（k+1）（k+2），則當n=k+1時，由且an﹣an﹣1=+n+1，得+n+1，故==（k+2）（k+3），故n=k+1時等式成立；由①②可知：an=（n+1）（n+2）對一切n∈N*均成立．19.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中點．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空間直角坐標系C﹣xyz．則A，B1，E，A1，可得，，，可知，根據(jù)，，推斷出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，進而利用向量數(shù)量積求得直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如圖所示，建立空間直角坐標系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因為，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．設(shè)直線A1C1與平面A1CE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=．所以直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值為．20.(本大題15分）已知等比數(shù)列滿足，且是的等差中項．（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（II）若，，求使成立的正整數(shù)n的最小值。參考答案：∵函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，且，，由③得n的最小值是5。

略21.某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為，答對文科題的概率均為，若每題答對得10分，否則得零分．現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；條件概率與獨立事件．【分析】（1）利用條件概率公式，即可求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）確定X的可能取值，利用概率公式即可得到總分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件A，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件B，則P（A）=，P（AB）=．…∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為P（B|A）=．…（2）X的可能取值為：0，10，20，30，則P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列為X0102030p…∴X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×+10×+20×+30×=．…22.（本小題12分（1）小問6分，（2）小問6分）某幼兒園小班的美術(shù)課上，老師帶領(lǐng)小朋友們用水彩筆為美術(shù)本上如右圖所示的兩個大小不同的氣球涂色，要求一個氣球只涂一種顏色，兩個氣球分別涂不同的顏色.該班的小朋友牛?，F(xiàn)可用的有暖色系水彩筆紅色、橙色各一支，冷色系水彩筆綠色，藍色，紫色各一支.(1)牛牛從他可用的五支水彩筆中隨機的取出兩支按老師要求為氣球涂色，問兩個氣球同為冷色的概率是多大？(2)一般情況下，老師發(fā)出開始指令到涂色活動全部結(jié)束需要10分鐘.牛牛至少需要2分鐘完成該項任務(wù).老師在發(fā)出開始指令1分鐘后隨時可能來到牛牛身邊查看涂色情況.問當老師來到牛牛身邊時牛牛已經(jīng)完成任務(wù)的概率是多大？參考答案：（1）如下表格，

紅色橙色綠色藍色紫色紅色01111橙