畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）文獻(xiàn)譯文：一種用LU分解求解n階線性方程組的MATLAB新編碼方法

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）--文獻(xiàn)翻譯原文題目AnewCodingmethodinMATLABusedforsolvingaSystemofnLinearEquationsbyLUDecomposition譯文題目一種用LU分解求解n階線性方程組的MATLAB新編碼方法專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)姓名學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師

一種用LU分解求解n階線性方程組的MATLAB新編碼方法DigvijaySingh,DrL.N.Das著DepartmentofAppliedMathematics,DelhiTechnologicalUniversity,ShahabadDaulatpur,Delhi,INDIAIndas@dce.ac.in錢竹兵譯13信息=1\*GB3①班）摘要在編碼中，除了能實(shí)現(xiàn)分解之外，也可用于實(shí)現(xiàn)矩陣運(yùn)算的操作如分解法等。在現(xiàn)有的編碼中，求解一個(gè)階線性方程組使用LU分解，旋轉(zhuǎn)矩陣是每列的最大元素在主對(duì)角線上的矩陣。而我們?cè)诰幋a中則不需要。在本文中，我們已經(jīng)編寫了一個(gè)使用分解求解階線性方程組的編碼。關(guān)鍵詞:LU分解1.1簡介是一個(gè)功能非常豐富和有用的工具，在工程、科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中被廣泛使用，能夠創(chuàng)建模型，模擬和解決許多問題。尤其是處理數(shù)組和矩陣特別容易。其中有許多內(nèi)置功能，使計(jì)算更加容易。在本文中，我們已經(jīng)編寫了一個(gè)求解階線性方程組編碼。在文獻(xiàn)[1]中，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)矩陣稱為旋轉(zhuǎn)矩陣是用來獲得相應(yīng)的解決方案。在旋轉(zhuǎn)矩陣乘法中，主要目的是重新排列系數(shù)矩陣的列元素，使每列的最大元素落在主對(duì)角線上。這種旋轉(zhuǎn)化需要花費(fèi)更多的時(shí)間。所以我們建議使用一個(gè)新的方法來克服這些困難。本文給出了線性方程組系數(shù)矩陣LU分解的簡要定義和MATLAB編碼，并利用該分解求出方程組的解。1.2所需的概念2.1秩：矩陣A的秩是線性無關(guān)列最大集合的大小。2.2系數(shù)矩陣：系數(shù)矩陣是指在一組線性方程組中由變量系數(shù)構(gòu)成的矩陣。2.3增廣矩陣：增廣矩陣是將常數(shù)矩陣附加在系數(shù)矩陣最后一列所形成的矩陣，其目的是為了在給定的矩陣上執(zhí)行相同的初等行運(yùn)算。2.4矩陣的逆：一個(gè)方形矩陣，逆記為。其中乘以的結(jié)果是單位矩陣，非方陣沒有逆，不是所有的方形矩陣都有逆。2.5零矩陣：零矩陣是所有元素絕對(duì)值相加對(duì)于0的矩陣。2.6單位矩陣：是一個(gè)主對(duì)角線上所有元素都為1和其他所有元素都為0的方形矩陣。其中一個(gè)給定矩陣乘以一個(gè)單位矩陣的結(jié)果是保持不變的。2.7正定矩陣：一個(gè)對(duì)稱實(shí)數(shù)矩陣，如果對(duì)于個(gè)實(shí)數(shù)的非0列向量都有大于0，則稱為正定矩陣。其中為的轉(zhuǎn)置。2.8矩陣乘法：與這兩個(gè)矩陣的元素表示為，，其中因此，它們兩的矩陣乘積為，2.9階線性方程組：線性方程組是一組集合或方程集合，它們是在一起處理的。其中個(gè)變量的個(gè)方程被定義為，其中，是實(shí)數(shù)，是變量，。矩陣形式表示為，該方程組的三種解情況：唯一解無窮多個(gè)解無解從該方程組解的唯一性可以看出，通過使用矩陣代數(shù)比較系數(shù)矩陣A和增廣矩陣k的秩如下（其中n是變量/未知數(shù)）如果，則存在唯一解。如果，則有無窮多個(gè)解。其中有多種方法可以求解該方程組，如替代，交叉乘法，矩陣代數(shù)方法等，但是在這里我們集中介紹的是LU分解方法。1.3分解方法在分解中，每個(gè)方陣都可以分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。矩陣可以分解的充要條件是為正定矩陣。現(xiàn)在，對(duì)于具有唯一解的可解方程組，上或下三角矩陣中的一個(gè)對(duì)角線元素應(yīng)該為1。如果上三角矩陣的對(duì)角線元素為1，則這是所謂的方法。如果下三角矩陣L的對(duì)角線元素為1，則這是所謂的方法。由于：則：設(shè)：則：得：在這里，是系數(shù)矩陣，是常數(shù)矩陣，是變量矩陣（其元素要被確定），是下三角矩陣（其元素要被確定），是上三角矩陣（其元素要被確定）。2.1函數(shù)下面的函數(shù)已用于下面定義的編碼當(dāng)中：：返回矩陣的行和列大小。：定義了一個(gè)階的零矩陣。：定義了一個(gè)階的單位矩陣。用于求解解變量的方程。2.2編碼下面提供的是（版）為方法編寫的代碼。1function[L,U,X]=LU_Crout(A,b)23%FunctiontofindsolutionofAX=bbyCrout's4%LUDecompositionmethod.5%Input=A,b6%Output=L,U,X78n=size(A);910flag=1;1112if(n(1)~=n(2))13fprintf('\nNotsquarematrix\n');14flag=0;15return;16end1718if(flag==1)19K=[Ab];20end2122if(flag==1)23if(rank(A)~=rank(K))24fprintf('\nNosolution');25return;26elseif(rank(A)==rank(K)&&rank(A)<n(1))27fprintf('\nInfinitesolutions')28return;29end30end31end323334symstemp;3536L=sym(zeros(n(1)));37U=sym(eye(n(1)));3839T=sym(zeros(n(1)));4041fori=1:n(1)42forj=1:n(1)43if(i>=j)44L(i,j)=temp;45elseU(i,j)=temp;46end47fork=1:n(1)48T(i,j)=T(i,j)+L(i,k)*U(k,j);49end50eq_ans=solve(T(i,j)==A(i,j),temp);51T(i,j)=eq_ans;52if(i>=j)53L(i,j)=T(i,j);54elseU(i,j)=T(i,j);55end56end57end5859Z=L\b;%Z=inv(L)*b6061X=U\Z;%X=inv(U)*Z6263end2.3代碼說明第1行定義了一個(gè)參數(shù)為A（系數(shù)矩陣）和B（常數(shù)列向量）的函數(shù)LU_Crout，并給出了分解之后的上、下三角矩陣（分別為L和U），以及求解方程AX=b的結(jié)果X。第8-31行檢查系數(shù)矩陣A是否是一個(gè)方陣。如果不是，那么將不能進(jìn)行LU分解。同時(shí)也通過比較系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩的大小，檢測了該方程組的解是否具有唯一性。LU分解以及求解方程組解的主要代碼是在第34-63行。在第36和37行中，我們初步設(shè)定零值未知元素，從而得到零矩陣和單位矩陣分別為L和U，階數(shù)都為n。這樣做是因?yàn)橐阎木仃嘗是下三角矩陣，矩陣U是對(duì)角線為1的上三角矩陣。如果我們需要使用Doolittle的方法求解，我們將設(shè)置L為單位矩陣和U為零矩陣。我們?cè)诘?4行中聲明一個(gè)臨時(shí)變量用來表示當(dāng)前迭代中L或U的未知元素。現(xiàn)在，我們使用2.8提供的算法執(zhí)行矩陣乘法運(yùn)算，并將所得到的結(jié)果賦值給一個(gè)臨時(shí)零矩陣T（在第39行有定義）。整個(gè)算法都依賴于這樣的性質(zhì)，當(dāng)我們執(zhí)行矩陣乘法運(yùn)算時(shí)，在方程組中只有一個(gè)未知數(shù)，其余所有未知量的值都是已知的。通過將當(dāng)前矩陣乘法向量與系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)值相對(duì)應(yīng)，得到了該方程的乘積方程，可以用于求解2.11中的函數(shù)(f,x)。在第43-46行中的條件檢查在當(dāng)前的乘法迭代過程中變量是未知的。這個(gè)未知數(shù)在方程中被臨時(shí)代替。當(dāng)x=temp時(shí)求解函數(shù)(f,x)，我們將得到未知數(shù)的值。在每步的迭代過程中，未知數(shù)的計(jì)算值被替換在矩陣L或U當(dāng)中。通過最后一步的迭代，L和U的未知元素被替換，并且可以用它們來求出解向量X。在第59行當(dāng)中，我們使用命令Z=L\B可以得到Z=LB。同樣的，我們使用命令X=U\Z也可以得到X=UZ。從而得到了方程組的解。2.4方法的優(yōu)點(diǎn)編寫代碼的主要優(yōu)點(diǎn)是克服了在給定的MATLAB編碼中存在的問題。MATLAB目前還不能處理符號(hào)化的矩陣；相反，編碼是由符號(hào)變量來支持的。我們已經(jīng)聲明的編碼不僅限于LU分解。它可用于其它矩陣運(yùn)算，如Cholesky分解等。在現(xiàn)有的MATLAB編碼當(dāng)中，利用LU分解的方法求解n階線性方程組，并分配了一個(gè)主矩陣來重新分配系數(shù)矩陣的列元素的順序。而在我們的編碼當(dāng)中，主矩陣則是不需要的。3示例我們?cè)谝丫帉懞玫腗ATLAB代碼中驗(yàn)證一下示例。方程組為：方程組為：a+b?2c+d+3e?f=42a?b+c+2d+e?3f=20a+3b?3c?d+2e+f=?155a+2b?c?d+2e+f=?3?3a?b+2c+3d+e+3f=164a+3b+c?6d?3e?2f=?27

參考文獻(xiàn)[1]/wiki/LU_decompositionCreationgaMATLABfunction[2]ErwinKreyszig,AdvancedEngineeringMathematics