高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1.2不等式的性質(zhì)課件新人教B版必修

3.1.2不等式的性質(zhì)1.掌握不等式的性質(zhì)及其推論.2.能夠利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較,解不等式(組)和不等式證明.不等式的性質(zhì)(1)對稱性:a>b?b<a.(2)傳遞性:a>b,b>c?a>c.(3)加法法則:a>b?a+c>b+c.推論1

a+b>c?a>c-b;推論2

a>b,c>d?a+c>b+d.(4)乘法法則:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc.推論1

a>b>0,c>d>0?ac>bd;推論2

a>b>0?an>bn(n∈N+,n>1);名師點撥在不等式的基本性質(zhì)中,在不等式的兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,必須要確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零,否則結(jié)論不確定.【做一做1】

已知a>b,則下列各式中正確的個數(shù)是

(

)①ac<bc;②ac>bc;③(a-b)c>0.答案:A【做一做2】

已知a>b,c>d,e>0,則a+ce

b+de.(填“>”或“<”)

答案:>答案:>一二一、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用誤區(qū)剖析:使用不等式的性質(zhì)時,一定要注意它們成立的前提條件,不可強化或弱化它們成立的條件,盲目套用,例如:(1)a>b,c>d?a+c>b+d,已知的兩個不等式必須是同向不等式;(2)a>b>0,且c>d>0?ac>bd,已知的兩個不等式不僅要求同向,而且不等式的兩邊必須為正值;一二名師點撥1.性質(zhì)中的a和b可以是實數(shù),也可以是代數(shù)式.2.對于性質(zhì)2,要正確處理帶等號的情況,由a>b,b≥c或a≥b,b>c均可推出a>c;而a≥b,b≥c可推出a≥c.3.性質(zhì)3是不等式移項法則的基礎(chǔ).4.性質(zhì)3的推論2是同向不等式相加法則的依據(jù).即“同號取倒數(shù),方向改變,異號取倒數(shù),方向不變”.

6.若a>b,c<d,則a-c>b-d.一二二、教材中的“?”在解一元一次不等式3x-2≤5x+1的過程中,應(yīng)用了不等式的哪些性質(zhì)?剖析:題型一題型二題型三題型四題型五判斷真假【例1】

下列命題中,一定正確的是(

)C.若a>b,且a+c>b+d,則c>dD.若a>b,且ac>bd,則c>d對選項C,當(dāng)a=10,b=2,c=1,d=3時,雖然10+1>2+3,但1<3,故C錯.對選項D,當(dāng)a=-1,b=-2,c=-1,d=3時,有(-1)×(-1)>(-2)×3,但-1<3,故D錯.答案:A題型一題型二題型三題型四題型五反思運用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)的大小的判斷時,要注意不等式的性質(zhì)成立的條件,不能弱化條件,尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式的選擇題時,也可采用特殊值法進(jìn)行排除,注意取值一定要遵循以下原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡單,便于驗證計算.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】

對于實數(shù)a,b,c,有下列命題:①若a>b,則ac<bc;②若ac2>bc2,則a>b;③若a<b<0,則a2>ab>b2;其中真命題的個數(shù)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5題型一題型二題型三題型四題型五答案:C解析:①當(dāng)c=0時,ac<bc不成立,故①為假命題.②由ac2>bc2知abc≠0,故c2>0,則a>b.故該命題是真命題.即a2>ab>b2.故該命題為真命題.④a>b>0?-a<-b?c-a<c-b.∵c>a,∴c-a>0,∴0<c-a<c-b.題型一題型二題型四題型五題型三應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明不等式【例2】

已知a>b>0,c<d<0.分析:本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用,首先要看證明不等式需要用到哪幾條性質(zhì),其次要注意不等式的性質(zhì)成立的條件是否具備.題型一題型二題型四題型五題型三反思1.利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì),并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2.應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時,應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.題型一題型二題型四題型五題型三【變式訓(xùn)練2】

若把【例2】中條件“c<d<0”改為“c>d>0”,結(jié)論改為,其他條件不變,應(yīng)該怎樣證明?題型一題型二題型三題型四題型五不等式的性質(zhì)的實際應(yīng)用【例3】

建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變差了?請說明理由.題型一題型二題型三題型四題型五解:變好了.理由:設(shè)住宅的窗戶面積、地板面積分別為a,b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求可知a<b,且

≥10%.所以,同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件變好了.題型一題型二題型三題型四題型五反思一般地,設(shè)a,b為正實數(shù),且a<b,m>0,則

.利用這個不等式,可以解釋很多現(xiàn)象,比如b

g糖水中有a

g糖(b>a>0),若再添上m

g糖(m>0,且未達(dá)到飽和狀態(tài)),則糖水變甜了.再比如芭蕾舞演員跳芭蕾時總是踮起腳尖,這是為什么呢?這是因為踮起腳尖改變了演員下半身與整個身高的比值,使這個比值接近于黃金分割比0.618,從而帶給觀眾更美的享受.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五利用不等式的性質(zhì)求取值范圍問題【例4】

設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范圍.分析:由

可以將a,b用f(-1),f(1)表示,f(-2)=4a-2b也可用f(-1),f(1)表示,然后利用f(-1),f(1)的取值范圍求f(-2)的取值范圍.∴f(-2)=4a-2b=f(1)+3f(-1).又1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10.故5≤f(-2)≤10.題型一題型二題型三題型四題型五反思利用幾個不等式來確定某個式子的范圍是一類常見的綜合問題,對于這類問題要注意:“同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)”,這種轉(zhuǎn)化不是等價變形,在一個解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化時,就有可能擴大真實的取值范圍.解題時務(wù)必謹(jǐn)慎,先建立待求式子與已知式子的等量關(guān)系,然后通過“一次性不等關(guān)系的運算,求得待求的范圍”,是避免犯錯誤的一條途徑.題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】

若二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且1≤f(-1)≤2,3≤f(2)≤4,求f(3)的范圍.∵f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,∴f(1)=f(-1).又1≤f(-1)≤2,3≤f(2)≤4,∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32,則14≤8f(2)-5f(1)≤27.題型四題型五題型一題型二題型三易錯辨析易錯點:忽視不等式自身隱含條件而致誤錯因分析:2α-β的取值范圍可看作α+(α-β)的取值范圍,因為忽視了不等式自身的隱含條件β<α?α-β>0而導(dǎo)致擴大了2α-β的取值范圍.題型四題型五題型一題型二題型三123451a≥b可以推出(

)解析:∵c2≥0,a≥b,∴ac2≥bc2.答案:B123452若

<0,則下列結(jié)論不正確的是(

)A.a2<b2

B.ab<b2C.

>2 D.|a|-|b|=|a-b|解析:可取特殊值,令a=-1,b=-2代入驗證知選項D不正確.答案:D123453已知a<0,-1<b<0,則下列不等式成立的是(

)A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a解析:本題可以根據(jù)不等式的性質(zhì)來解,因為-1<b<0,所以0<b2<1.所以a<ab2<0,且ab>0,易得答案D.本題也可以根據(jù)a,b的取值范圍取特殊值,比如令a=-1,b=-,也容易得到正確答案.答案:D123454實數(shù)a,b,c,d滿足三個條件:①d>c,②a+b=c+d,③a+d<b+c,則將a,b,c,d按照從大到小的次序排列為

.

解析:由③可得d-b<c-a