2021-2022學(xué)年吉林省四平市銘遠(yuǎn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年吉林省四平市銘遠(yuǎn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“m=±1”是“復(fù)數(shù)(1－m2)+(1+m)i（其中i是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B由題意得，是純虛數(shù)，故是必要不充分條件，故選B.2.已知集合M=｛x|(x-1)2<4,x∈N｝，P=｛-1，0，1，2，3｝，則M∩P=(

）A.｛0，1，2｝

B.｛-1，0，1，2｝ C.{-1，0，2，3}

D.{0，1，2，3}參考答案：A略3.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.參考答案：D分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．4.若，則cos2θ＝

（A）（B）－（C）（D）－參考答案：D5.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．(4,+∞)

B．[4,+∞)

C．(－∞,4)

D．(－∞,4]參考答案：B7.已知，則的值為

（

）A

B

C

D

參考答案：B略8.雙曲線的漸近線方程是，則其離心率為（）A．B．C．D．參考答案：D略9.已知，滿足，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為A. B.C. D.參考答案：A略10.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍然前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.根據(jù)這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（

）A. B. C. D.參考答案：B根據(jù)條件，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，公比為當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)乃俣惹『脼槊讜r(shí)，烏龜爬行的總距離為故選二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題p:,使；命題q:,都有；則下列說法正確的是①命題“”是真命題；②命題“”是假命題；③命題“”是假命題；④命題“”是假命題_______________（把正確的都填上）參考答案：②略12.為了了解某校高三男生的身體狀況，抽查了部分男生的體重，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如右圖）．已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1︰2︰3，第2小組的頻數(shù)為12，則被抽查的男生的人數(shù)是

．參考答案：48設(shè)被抽查的男生的人數(shù)為．∵后兩組的頻率之和為，∴前三組的頻率之和為．又∵前三組的頻數(shù)分別為，∴，得．13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

參考答案：由知當(dāng)即時(shí)，為增函數(shù).,∴函數(shù)的增區(qū)間為.14.設(shè)的一條對(duì)稱軸為，則sin=___________．參考答案：略15.已知單位向量a，b的夾角為60°，則（2a＋b）·（a－3b）＝________．參考答案：16.函數(shù)f（x）=ax﹣xlna（0＜a＜1），若對(duì)于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[，1）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；配方法；構(gòu)造法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用構(gòu)造法進(jìn)行求解．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=axlna﹣lna=lna?（ax﹣1），∵0＜a＜1，∴l(xiāng)na＜0，由f′（x）＞0得lna?（ax﹣1）＞0，即ax﹣1＜0，則x＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得lna?（ax﹣1）＜0，即ax﹣1＞0，則x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值，f（0）=1，當(dāng)x=1，則f（1）=a﹣lna當(dāng)x=﹣1，則f（﹣1）=a﹣1+lna，則f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，設(shè)g（a）=a﹣﹣2lna，則g′（a）=1+﹣=（﹣1）2＞0，則g（a）在（0，1）上為增函數(shù)，則g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0，即g（a）＜0，則f（1）﹣f（﹣1）＜0，即f（1）＜f（﹣1），即函數(shù)f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值為f（﹣1）=a﹣1+lna，若對(duì)于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，則f（﹣1）=a﹣1+lna≤e﹣1，即+lna≤e﹣1，設(shè)h（a）=+lna，則h′（a）=﹣+=﹣（）2+，∵0＜a＜1，∴＞1，∴當(dāng)h′（a）＜h′（1）=0，即h（a）=+lna在0＜a＜1上為減函數(shù)，由+lna=e﹣1得a=．則+lna≤e﹣1等價(jià)為h（a）≤h（），即≤a＜1，故答案為：[，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)恒成立問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．本題的難點(diǎn)在于多次構(gòu)造函數(shù)，多次進(jìn)行進(jìn)行求導(dǎo)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和構(gòu)造能力和意識(shí)．17.設(shè)a＞0，b＞0，若3是9a與27b的等比中項(xiàng)，則的最小值等于

．參考答案：12【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由3是9a與27b的等比中項(xiàng)得到a+b=1，代入=（）（a+b）后展開，利用基本不等式求得最值．【解答】解：∵3是9a與27b的等比中項(xiàng)，∴9a?27b=9，即32a+3b=32，也就是2a+3b=2，∴a+b=1，∴=（）（a+b）=6++≥6+2=12．當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=，b=時(shí)取得最小值．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)（其中）有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為，，且在區(qū)間(0,+∞)上恒成立，證明：不等式成立.參考答案：（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得到，計(jì)算，得到切線方程.（2）求導(dǎo)得到即在上只有一個(gè)根，得到，計(jì)算得到答案.（3），故，所以，取，求導(dǎo)得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，得，而，函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)，其的定義域?yàn)?，，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，故在上只有一個(gè)根，即在上只有一個(gè)根，則，解得，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴是在上的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，此時(shí)（3）由（2）可知，，而于是，令，則∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)切線方程，函數(shù)的極值點(diǎn)，證明恒成立，變換得到是解題的關(guān)鍵.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.19.（15分）已知函數(shù)f（x）=|x2﹣a|，g（x）=x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值M（a）的最小值；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)直接去絕對(duì)值符號(hào)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即得結(jié)論；（Ⅱ）利用f（x）為偶函數(shù)可知只需考慮f（x）在[0，1]上的最大值即可，進(jìn)而對(duì)a的正、負(fù)、零情況分類討論即可．（Ⅲ）通過令y=f（x）+g（x），對(duì)a的正、負(fù)、零情況討論可知a≤0不滿足題意，進(jìn)而考慮a＞0，此時(shí)y是一個(gè)分段函數(shù)，利用方程h（x）=2x2﹣ax﹣a=0在（0，+∞）只有一解可知方程﹣ax+a=0必有一解x=1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x2﹣1|，∴當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）=1﹣x2，顯然f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值為f（0）=1．（Ⅱ）由于f（x）=|x2﹣a|在區(qū)間[﹣1，1]上是偶函數(shù)，故只需考慮f（x）在[0，1]上的最大值即可．若a≤0，則f（x）=x2﹣a，它在[0，1]上是增函數(shù)，故M（a）=1﹣a．若a＞0，由a=1﹣a知，當(dāng)時(shí)，M（a）=1﹣a，當(dāng)時(shí)，M（a）=a，故當(dāng)時(shí)，M（a）最小，最小值為．（Ⅲ）令y=f（x）+g（x），當(dāng)a=0時(shí)，方程y=2x2=0只有一解，當(dāng)a＜0，y=2x2﹣ax﹣a對(duì)稱軸為，故方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上不存在兩解．當(dāng)a＞0時(shí)，，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，由h（0）=﹣a＜0知，方程h（x）=0在（0，+∞）只有一解，故方程﹣ax+a=0必有一解x=1，知a≥1，所以方程h（x）=0在（1，2）必有一解．由h（1）h（2）＜0，得（2﹣2a）（8﹣3a）＜0，所以，綜上所述，a的取值范圍為：[1，]．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合題，涉及分類討論的思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．20.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a．（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x﹣3|，?x∈R，f（x）+g（x）≥5，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】R5：絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）當(dāng)a=3時(shí)，由已知得|2x﹣3|+3≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)通過討論a的范圍，去掉絕對(duì)值，由此能求出a的取值范圍【解答】解：（1）a=3時(shí)，f（x）≤6等價(jià)于|2x﹣3|+3≤6，即|2x﹣3|≤3，解得：0≤x≤3，故不等式的解集是{x|0≤x≤3}；（2）x∈R時(shí)，f（x）+g（x）=|2x﹣3|+|2x﹣a|+a≥5，故2|x﹣|+2|x﹣|+a≥5，故|﹣|+≥，故|a﹣3|+a≥5①，a≤3時(shí)，3﹣a+a≥5，無解，a＞3時(shí)，a﹣3+a≥5，解得：a≥4，故a的范圍是[4，+∞）．21.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，an+1=Sn+2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知bn=log2an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意和an=Sn﹣Sn﹣1化簡(jiǎn)已知的式子，由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出公比和首項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an；（2）由（1）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)bn，代入化簡(jiǎn)后，利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣1+2，兩式相減得，an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，則an+1=2an，所以（n≥2），∵a1=2，∴a2=S1+2=4，滿足，∴數(shù)列{an}是以2為公比、首項(xiàng)的等比數(shù)列，則an=2?2n﹣1=2n；（2）由（1）得，bn=log2an=log22n=n，∴==，∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查化簡(jiǎn)、變形能力．22.已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．G5G11（Ⅰ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分從而平面PBD⊥平面PAC．

……………6分（Ⅱ）方法1．過O作OH⊥PM交PM于H，連HD因?yàn)镈O⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角………………8分又，且………………10分從而………………11分所以，即．

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