含參變量正常積分

第十九章含參量積分§1含參量正常積分§2含參量反常積分§3上的連續(xù)函數(shù),

確定了一個(gè)定義在[a,b]上的函數(shù),x

稱為參變量,上式稱為含參變量的積分.則積分⑴§1含參量正常積分一般地，設(shè)

f(x,y)為區(qū)域上的二元函數(shù),c(x),d(x)在[a,b]連續(xù)，定義含參量的積分下面討論含參量積分的連續(xù)性、可微性和可積性.在[a,b]上連續(xù).上連續(xù),則函數(shù)若

在矩形區(qū)域

連續(xù)性定理分析對任何

x∈[a,b],要證：就有

即定理19.1(連續(xù)性)(積分號下取極限)證設(shè)

x,x+Δx∈[a,b],在閉區(qū)域

R上連續(xù),所以一致連續(xù),由于即只要就有就有

所以，這說明連續(xù)同理可證,續(xù),

則含參變量的積分即在定理的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可交換的，或說可在積分號下取極限.上連續(xù),則若

定理19.1表明,在矩形區(qū)域

在[a,b]上連續(xù).定理19.2（連續(xù)性）如果函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，又函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在[a,b]上連續(xù).證對積分用換元積分法，令于是從而因?yàn)樵诰匦蝃a,b]×[0,1]上連續(xù)，由定理19.1得在[a,b]上連續(xù)都在可微性定理定理19.3(可微性)（積分號下求導(dǎo)數(shù))分析:要證

即使得當(dāng)時(shí)，有對任意的由拉格朗日中值定理，存在使得證:

所以因此從而一致連續(xù)，即只要，有因此故

I(x)在

x可導(dǎo)，且由

x的任意性，及定理19.1知I(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).

在定理的條件下,求導(dǎo)和求積分可交換次序,也說可在積分號下求導(dǎo)數(shù)定理19.4（可微性）如果函數(shù)在矩形上連續(xù)，在[a,b]上可微，且證:

把F(x)看作復(fù)合函數(shù)：

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變上限定積分的求導(dǎo)法則，有

定理19.5(可積性)在[a,b]上可積.上連續(xù),則函數(shù)若

在矩形區(qū)域

在[c,d]上可積.可積性定理記統(tǒng)稱為累次積分或二次積分.問：累次積分與積分順序有關(guān)嗎？即是否有上連續(xù),則若

在矩形區(qū)域

定理19.6（積分交換順序）其中

證記

于是

所以從而(k

為常數(shù))當(dāng)

u=a

時(shí)，于是，k=0

即得取

u=b,就得

例1求解：記因?yàn)槎际堑倪B續(xù)函數(shù)所以在連續(xù)，從而例2.解:考慮含參變量

t

的積分所確定的函數(shù)顯然,

于是由定理19.3故因此得例3.驗(yàn)證當(dāng)|x|充分小時(shí),函數(shù)的

n

階導(dǎo)數(shù)存在,且證:令在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),

由定理19.4可得即同理當(dāng)

x=0時(shí)，有例4.解:由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:例5.解:內(nèi)容小結(jié)在[a,b]上連續(xù)、可積.若

上連續(xù),則函數(shù)在矩形區(qū)域

在[c,d]上連續(xù)、可積.且