江蘇省南通市海門市高二數(shù)學下學期期中試卷文(含解析)

2015-2016學年江蘇省南通市海門市包場高中高二（下）期中數(shù)學試卷（文科）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．函數(shù)f（x）=的定義域是．2．已知冪函數(shù)f（x）=（n+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則n的2值．3．若點（a，9）在函數(shù)y=3的圖象上，則=x．4．若函數(shù)y=x﹣2x+mx，當x=時，函數(shù)取得極大值，則m的值為32．5．已知x＞0，觀察下列不等式：①x，②x③x≥4，…，則第n個不等式為．6．給出下列命題：（1）命題“在△ABC中，若A=30°，則sinA=”的逆否命題為“在△ABC中，若sinA≠則A≠30°”（2）若p∧q為假命題，則p，q均為假命題（3）?x∈R，sinx+cosx=1的否定為真命題22（4）已知命題p：函數(shù)y=a+2（a＞0且a≠1）的圖象恒過一定點A，則點A的坐標為x﹣1（1，2），其中正確命題的7．已知方程8x+6kx+2k+1=0有兩個實根sinθ和cosθ，則k=序號為．．28．設函數(shù)f（x）=9．若函數(shù)，則滿足f（x）=2的x的值為．是奇函數(shù)，則滿足f（x）＞a的x的取值范圍是．10．已知角α、角β的終邊與單位圓交點的，則cosα=β的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，α、∈β（0，π），橫坐標是，角α+β的終邊與單位圓交點的縱坐標是．1/14

11．設x∈R，f（x）=（），若不等式f（x）﹣k≤﹣f（2x）對于任意的x∈R都恒成|x|立，則實數(shù)k的取值范圍是12．已知函數(shù)．的零點分別為x，x，x，123則x，x，x的大小關系是1．2313．若關于x的不等式（ax﹣20）lg≤0對任意的正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．14．曲邊梯形由曲線y=e，y=0，x=1，x=5所圍成，過曲線y=e，x∈[1，5]上一點P作切xx線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，這時點P的坐標是．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．16．已知命題p：實數(shù)x滿足，已知命題q：實數(shù)x滿足（）x（x﹣2）（＞1．﹣3a﹣1）（1）當q為真命題時，不等式的解集記為A，求A；（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．17．已知函數(shù)f（x）=lnx+，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．18．甲、乙兩水池某時段的蓄水量時隨間變化而變化，甲水池蓄水量（百噸）與時間t增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（小時）的關系是：f（t）=2+sint，t∈[0，12]，乙水池蓄水量（百噸）與時間t（小時）的關系是：g（t）=5﹣|t﹣6|，t∈[0，12]．問：何時甲、乙兩水池蓄水量之和達到最大值？最大值為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin6≈﹣0.279）．19．已知函數(shù)f（x）=log（ax﹣）（a＞0，a≠1為常數(shù)）．a(chǎn)（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；（Ⅱ）若a=3，x∈[1，9]，求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）若函數(shù)y=a的圖象恒在直線y=﹣3x+1的上方，求實數(shù)a的取值范圍．f（x）20．已知函f（x）=x﹣8lnx，g（x）=﹣x+14x22（1）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，試求實數(shù)m的值．2/14

2015-2016學年江蘇省南通市海門市包場高中高二（下）期中數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上）1．函數(shù)f（x）=的定義域是{x|﹣1＜x≤2且x≠0}．【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由分式中的對數(shù)式的真數(shù)大于0且不等于1，根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，聯(lián)立不等式組求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤2，且x≠0．∴函數(shù)f（x）=的定義域是{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．故答案為：{x|﹣1＜x≤2，且x≠0}．2．已知冪函數(shù)f（x）=（n+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則n的2值﹣3．【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，得出，由此求出n的值．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=（n+2n﹣2）x（n∈Z）在（0，+∞）上是增函數(shù)，2∴，，解得即n的值為﹣3．故答案為：﹣3．3．若點（a，9）在函數(shù)y=3的圖象上，則x=．【考點】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域．【分析】先將點代入到解析式中，解出a的值，然后根據(jù)特殊三角函數(shù)值進行解答即可．【解答】解：將（a，9）代入到y(tǒng)=3中，得3=9，xa解得a=2．3/14

∴=tan=故答案為：4．若函數(shù)y=x﹣2x+mx，當x=時，函數(shù)取得極大值，則m的值為1．32【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求導，再利用導數(shù)與極值的關系求出m．【解答】解：y′=3x﹣4x+m，2∵當x=時，函數(shù)取得極大值，∴3×﹣4×+m=0，即﹣+m=0，即m﹣1=0．∴m=1．故答案為：1．5．已知x＞0，觀察下列不等式：①x，②x③x≥4，…，則第n個不等式為x．【考點】歸納推理．【分析】根據(jù)不等式：①x，②x③x≥4，…，結(jié)合左右兩邊式子的特點，可以猜測第n個不等式x．【解答】解：觀察下列不等式：①x，②x③x≥4，…，可知，各個不等式左邊共有兩項，第一項都為x，第二項依次為，，，…，右邊依次為2，3，4，…，n+1從而得滿足的不等式為x．故答案為：x．4/14

6．給出下列命題：（1）命題“在△ABC中，若A=30°，則sinA=”的逆否命題為“在△ABC中，若sinA≠則A≠30°”（2）若p∧q為假命題，則p，q均為假命題（3）?x∈R，sinx+cosx=1的否定為真命題22（4）已知命題p：函數(shù)y=a+2（a＞0且a≠1）的圖象恒過一定點A，則點A的坐標為x﹣1（1，2），其中正確命題的序號為（1）．【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】（1）根據(jù)逆否命題（2）根據(jù)復合命題（3）根據(jù)全稱命題（4）根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)進行判斷．的定義進行判斷，真假之間的關系進行判斷，的定義和性質(zhì)進行判斷．【解答】解：（1）命題“在△ABC中，若A=30°，則sinA=”的逆否命題為“在△ABC中，若sinA≠，則A≠30°”正確，故（1）正確，（2）若p∧q為假命題，則p，q至少有一個為假命題，故（2）錯誤，（3）?x∈R，sinx+cosx=1，則命題的否定為假命題，故（3）錯誤，的圖象恒過一定點A，由x﹣1=0得x=1，22（4）已知命題p：函數(shù)y=a+2（a＞0且a≠1）x﹣1則y=1+2=3，則點A的坐標為（1，3），故（4）錯誤，故正確的是（1），故答案為：（1）7．已知方程8x+6kx+2k+1=0有兩個實根sinθ和cosθ，則k=﹣．2【考點】同角三角函數(shù)基本關系的運用．【分析】由題意，利用韋達定理得到sinθ+cosθ=﹣，sinθcosθ=，根據(jù)sinθ+cosθ=1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．22【解答】解：∵方程8x+6kx+2k+1=0有兩個實根sinθ和cosθ，2∴sinθ+cosθ=﹣，sinθ和cosθ=．∵sinθ+cosθ=1，∴（sinθ+cosθ）﹣2sinθcosθ=1，即﹣=1，222整理得：（k﹣2）（9k+10）=0，解得：k=2或k=﹣，由于k=2時△＜0，故舍去，故k=﹣．5/14

8．設函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）=2的x的值為0．【考點】函數(shù)的值．【分析】當x≤1時，f（x）=2=2；當x＞1時，f（x）=1﹣logx=2．由此能求出結(jié)果．1﹣x2【解答】解：∵f（x）=，且滿足f（x）=2，∴當x≤1時，f（x）=2=2，∴1﹣x=1，解得x=0；1﹣x當x＞1時，f（x）=1﹣logx=2，解得x=，不成立．2∴x=0．故答案為：0．9．若函數(shù)是奇函數(shù)，則滿足f（x）＞a的x的取值范圍是．【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出a的值，得原不等式即f（x）＞﹣2，再分類討論，分別解一元二次不等式，可得原不等式的解集．【解答】解：當x＜0時，f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=x+2x22∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴當x＜0時，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x﹣2x，對照已知條件，得a=﹣22①當x≥0時，原不等式可化為x﹣2x＞﹣2，即x﹣2x+2＞022解之得x≥0；②當x＜0時，原不等式可化為﹣x﹣2x＞﹣2，即x+2x﹣2＜022解之得﹣1﹣＜x＜0綜上所述，得原不等式的解集為故答案為：10．已知角α、β的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，角β的終邊與單位圓交點的橫坐標是，角α+β的終邊與單位圓交點的，則cosα=α、β∈（0，π），縱坐標是．【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)角的范圍及同角三角函數(shù)的基本關系求出sinβ，根據(jù)α+β的范圍及cos（α+β）的值求出sin（α+β）的值，利用兩角差的余弦式公計算cosα=cos[（α+β）﹣β]的值．【解答】解：由題意得α、β∈（0，π），cosβ=﹣，∴sinβ=，故＜β＜π．6/14

∵sin（α+β）=，∴＜α+β＜π，α+β）=﹣，∴cosα=cos[（∴cos（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=，故答案為．11．設x∈R，f（x）=（），若不等式f（x）﹣k≤﹣f（2x）對于任意的x∈R都恒成|x|立，則實數(shù)k的取值范圍是[2，+∞）．【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象變換．【分析】若不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））≤k對于任意的x∈R恒成立即可，將f（x）的解析式代入，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)min求最值即可【解答】解：∵f（x）=（），|x|∴f（2x）=（），|2x|∵不等式f（x）+f（2x）≤k對于任意的x∈R恒成立令t=（）=t∈（0，1]，則y=t+t（0＜t≤1）|x|2∵對稱軸t=﹣，則當t=1時，y=2，max∴k≥2，故答案為：[2，+∞）12．已知函數(shù)的零點分別為x，x，x，123則x，x，x的大小關系是x＜x＜x．123123【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系．【分析】由于函數(shù)的零點分別為x，x，12x，即函數(shù)令y=2，y=lnx，x與函數(shù)y=﹣x的交點的橫坐標分別為x，x，12312x，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可判斷3【解答】解：令y=2，y=lnx，x，y=﹣x12∵函數(shù)函數(shù)令y=2，y=lnx，的零點分別為x，x，x123與函數(shù)y=﹣x的交點的橫坐標分別作出函數(shù)的圖象x12，結(jié)合圖象可得x＜x＜x3127/14

故答案為：x＜x＜x12313．若關于x的不等式（ax﹣20）lg≤0對任意的正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是{}．【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】不等式等價于或，解不等式，可得，a=．【解答】解：不等式等價于或，∴或，∴∴，，∴a=．∴實數(shù)a的取值范圍是{}．故答案為：{}．8/14

14．曲邊梯形由曲線y=e，y=0，x=1，x=5所圍成，過曲線y=e，x∈[1，5]上一點P作切xx線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，這時點P的坐標是（2，e2）．【考點】函數(shù)模型的選擇與應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設出P的坐標，求出切線的斜率，寫出切線的方程，表示出切出的梯形的面積，把面積的表示式去掉絕對值，得到兩種不同的情況，針對于兩種不同的情況進行討論，利用導數(shù)求出最值．【解答】解：設p點坐標為（m，e），則切線的斜率為k=emm設切線方程：y=kx+b把p點坐標代入直線方程可求的截距b=e﹣me＜0mm切線方程為：y=ex+（1﹣m）e那么切出來的梯形的面積為mmS=（|k+b|+|5k+b|）（5﹣1）=2（|2﹣m|+|6﹣m|）e1≤m≤5m①當1≤m≤2時，S=4（4﹣m）e②當2＜m≤5時，S=8e當1≤m≤2時，S=4（4﹣m）e求mmm導得S'=4[（4﹣m）e﹣e]=4（3﹣m）e＞0（1≤m≤2）mmm∴S=4（4﹣m）e在[1，2]上單調(diào)增，且當m=2時有最大值Smax=8e當m＞2時，切線方程m2中令y=0，解得x=m﹣1＞1，無法構(gòu)成梯形，四條直線（y=0，x=1，x=5，過點P的切線）構(gòu)成的兩個三角形綜上所述，當m=2時，梯形面積有最大值8e，此時p點坐標為（2，e）22故答案為（2，e）2二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知cosβ=﹣，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．（1）求cos2β的值；（2）求sinα的值．【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關系；二倍角的余弦．【分析】（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡cos2β，將cosβ的值代入計算即可求出值；（2）由cosβ的值，以及β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinβ的值，再由α與β的范圍求出α+β的范圍，根據(jù)sin（α+β）的值求出cos（α+β）的值，sinα=[（α+β）﹣β]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：（1）∵cosβ=﹣，∴cos2β=2cosβ﹣1=﹣；2（2）∵cosβ=﹣，β∈（，π），∴sinβ==，∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），又sin（α+β）=，∴cos（α+β）=﹣=﹣，9/14

則sinα=sin[（α+β）﹣β]=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×（﹣）+×=．16．已知命題p：實數(shù)x滿足，已知命題q：實數(shù)x滿足（）x（x﹣2）（＞1．﹣3a﹣1）（1）當q為真命題時，不等式的解集記為A，求A；（2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；命題的真假判斷與應用．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式組，求出集合A即可；（2）通過討論a的范圍，求出關于命題q的范圍，結(jié)合集合的包含關系求出a的范圍即可．【解答】解：（1））∵（）＞1．（x﹣2）（x﹣3a﹣1）∴（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0，①3a+1＞2即a＞時，不等式的解集是：A=（2，3a+1），②3a+1＜2即a＜時，不等式的解集是：A=（3a+1，2），（2）由得：，，解得：﹣2＜x≤5，由（1）得：①3a+1＞2即a＞時，不等式的解集是（2，3a+1），若p是q的必要不充分條件，則（2，3a+1）?（﹣2，5]，∴3a+1≤5，解得：a≤，∴＜a≤；②3a+1＜2即a＜時，不等式的解集是（3a+1，2），若p是q的必要不充分條件，則（3a+1，2）?（﹣2，5]，∴3a+1≥﹣2，解得：a≥﹣1，10/14

∴﹣1≤a＜；綜上，a∈[﹣1，）∪（，]．17．已知函數(shù)f（x）=lnx+，a∈R．（1）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求導數(shù)：．根據(jù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，得出a≤在[2，+∞）上恒成立．令，則a≤[g（x）]，從而求得實數(shù)a的取值范min圍；（2）由（1）得，x∈[1，e]．下面對2a進行分類討論：①若2a＜1，②分別討論函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3列出等式求出a若1≤2a≤e，③若2a＞e，值即可．【解答】解：（1）∵，∴．∵f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，∴≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤在[2，+∞）上恒成立．令∵，則a≤[g（x）]，x∈[2，+∞）．min在[2，+∞）上是增函數(shù)，∴[g（x）]=g（2）=1．min∴a≤1．所以實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1]．（2）由（1）得，x∈[1，e]．①若2a＜1，則x﹣2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上是增函數(shù)．所以[f（x）]=f（1）=2a=3，解得（舍去）．min②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．當1＜x＜2a時，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是減函數(shù)，當2a＜x＜e時，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函數(shù)．所以[f（x）]=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得（舍去）．min11/14

③若2a＞e，則x﹣2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上是減函數(shù)．所以，所以a=e．綜上所述，a=e．18．甲、乙兩水池某時段的蓄水量隨時間變化而變化，甲水池蓄水量（百噸）與時間t（小時）的關系是：f（t）=2+sint，t∈[0，12]，乙水池蓄水量（百噸）與時間t（小時）的關系是：g（t）=5﹣|t﹣6|，t∈[0，12]．問：何時甲、乙兩水池蓄水量之和達到最大值？最大值為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin6≈﹣0.279）．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；函數(shù)的最值及其幾何意義；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】要求甲、乙兩水池蓄水量之和達到最大值，設甲、乙兩水池蓄水量之和為H（t）=f（t）+g（t）．因為g（t）中含有絕對值，分[0，6]和（6，12]兩個區(qū)間討論t的取值范圍化簡絕對值，分別求出H′（t）=0時t的值得到函數(shù)的比較最大即可．解：設甲、乙兩水池蓄水量之和為H（t）=f（t）+g（t）①當t∈[0，6]時，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5﹣（6﹣t）=sint+t+1H′（t）=cost+1≥0，所以H（t）在t∈[0，6]上單調(diào)所以[H（t）]=H（6）=7+sin6；增減性以及正弦、余弦函數(shù)的增減性得到兩個最大值，【解答】遞增，max當②t∈（6，12]時，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5﹣（t﹣6）=sint﹣t+13H′（t）=cost﹣1≤0，所以H（t）在t∈（6，12]上單調(diào)遞減，所以H（t）＜7+sin6=6.721；故當t=6h時，甲、乙兩水池蓄水量之和H（t）達到最大值，最大值為6.721百噸．19．已知函數(shù)f（x）=log（ax﹣）（a＞0，a≠1為常數(shù)）．a(chǎn)（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；（Ⅱ）若a=3，x∈[1，9]，求函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）若函數(shù)y=a的圖象恒在直線y=﹣3x+1的上方，求實數(shù)a的取值范圍．圖象與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件，即可求函數(shù)f（x）的定義域；（Ⅱ）把a=2代入函數(shù)解析式，由x的范圍求得對數(shù)函數(shù)真數(shù)的范圍，則函數(shù)值域可求；（Ⅲ）由對數(shù)的運算性質(zhì)化簡y=a，把函數(shù)y=a的圖象恒在直線y=﹣3x+1的上化為成立，分離參數(shù)a后求出二次函數(shù)的最值，則答案可求．【解答】解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則ax﹣＞0，且x≥0，f（x）【考點】對數(shù)函數(shù)的方轉(zhuǎn)f（x）f（x）即x＞，即函數(shù)f（x）的定義域{x|x＞}；（Ⅱ）若a=3，則f（x）=log（3x﹣），3∵x∈[1，9]，∴∈[1，3]，則3x﹣∈[2，24]，∴函數(shù)f（x）的值域為[log2，log24]；3（Ⅲ）y=a=ax﹣，f（x）312/14

函數(shù)y=a的圖象恒在直線y=﹣3x+1的上方，f（x）即ax﹣﹣（﹣也就是a＞+﹣3在（，令=t，則t∈