新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第六章概率 知識點考點重點難點解題規(guī)律歸納總結(jié)

隨機事件的條件概率條件概率的概念若事件A已發(fā)生，則為使事件隨機事件的條件概率條件概率的概念若事件A已發(fā)生，則為使事件B也發(fā)生，試驗結(jié)果必須是既在A中

1隨機事件的條件概率................................................................................................-1-1.1條件概率的概念.............................................................................................-1-1.2乘法公式與事件的獨立性.............................................................................-5-1.3全概率公式.....................................................................................................-5-2離散型隨機變量及其分布列....................................................................................-9-2.1隨機變量.........................................................................................................-9-2.2離散型隨機變量的分布列...........................................................................-12-3離散型隨機變量的均值與方差..............................................................................-16-3.1離散型隨機變量的均值...............................................................................-16-3.2離散型隨機變量的方差...............................................................................-21-4二項分布與超幾何分布..........................................................................................-24-4.1二項分布.......................................................................................................-24-4.2超幾何分布...................................................................................................-27-5正態(tài)分.................................................................................................................-30-

1

1.1

1．條件概率(1)條件概率的定義在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率，記作P(B|A)．(2)條件概率公式

當(dāng)P(A)>0時，有P(B|A)＝PABPA．

1．如何從集合角度看條件概率公式？[提示]又在B中的樣本點，即此點必屬于AB．由于已知A已經(jīng)發(fā)生，故A成為計算條件

概率P(B|A)新的樣本空間，因此，有P(B|A)＝PABPA．

2．條件概率的性質(zhì)(1)P(B|A)∈[0，1]．

P(B|A)≥P(B)．利用定義求條件概率可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝PABPA求概率．由古典概型的概率公式可知82×1P(B|A)≥P(B)．利用定義求條件概率可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝PABPA求概率．由古典概型的概率公式可知82×1155×4205，P(AB)＝5×4＝10．利用基本事件個數(shù)求條件概率2．P(B|A)與P(B)有何大小關(guān)系？[提示]

疑難問題

類型1【例1】一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B．(1)分別求事件A，B，AB發(fā)生的概率；(2)求P(B|A)．

[思路點撥]

[解]

(1)P(A)＝2，P(B)＝2×1＋3×2＝＝2

1(2)P(B|A)＝PABPA＝102＝14．5

用定義法求條件概率PB|A的步驟是：1分析題意，弄清概率模型；2計算PA，PAB；

3代入公式求PB|A＝PABPA.

類型2【例2】現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．

第(1)、(2)問屬古典概型問題，可利用古典概型的概率計算公式設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事第(1)、(2)問屬古典概型問題，可利用古典概型的概率計算公式設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第AΩABΩ條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的基本事件有“1點”“2點”“3＝1230＝25．

求解；第(3)問為條件概率，可以利用定義P(B|A)＝PABPA求解，也可以利用公式

P(B|A)＝nABnA求解．

[解]1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB．(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為n(Ω)＝A62＝30，

根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)＝A14A51＝20，于是P(A)＝nn＝2030＝23．

(2)因為n(AB)＝A24＝12，于是P(AB)＝nn

(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為2P(B|A)＝PABPA＝52＝35．3

法二：因為n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nABnA＝1220＝35．

如果隨機試驗屬于古典概型，可采用縮減基本事件總數(shù)的辦法來計算，PB|A

＝nABnA，其中nAB表示事件包含的基本事件個數(shù)，nA表示事件A包含的基本事

件個數(shù).

類型3[探究問題]1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，有多少個基本事件？它們之間有什么關(guān)系？隨機事件出現(xiàn)“大于4的點”包含哪些基本事件？[提示]點”“4點”“5點”“6點”，共6個，它們彼此互斥．“大于4的點”包含“5點”“6點”兩個基本事件．

“第一枚4點，第二枚5點”“第一枚4點，第二枚6點”．設(shè)第一枚出“第一枚4點，第二枚5點”“第一枚4點，第二枚6點”．設(shè)第一枚出現(xiàn)4點為事件A，第二枚出現(xiàn)5點為事件B，第二枚出現(xiàn)有外形相同的球分裝三個盒子，每盒10個．其中，第一個盒子中先設(shè)出基本事件，求出基本事件的概率，再求試驗成功的概率．設(shè)A＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球}，7311410，P(B)＝10，P(C|A)＝2，P(D|A)＝2，P(C|B)＝5，P(D|B)74310＋5×10枚出現(xiàn)“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]3．先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，已知第一枚出現(xiàn)4點，如何利用條件概率的性質(zhì)求第二枚出現(xiàn)“大于4點”的概率？[提示]6點為事件C．則所求事件為B∪C|A．

∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16＋16＝13．

【例3】有7個球標(biāo)有字母A，3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中則有紅球8個，白球2個．試驗按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗為成功．求試驗成功的概率．[思路點撥][解]B＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球}，C＝{第二次取出的球是紅球}，D＝{第二次取出的球是白球}，

則容易求得P(A)＝

＝15．

事件“試驗成功”表示為CA∪CB，又事件CA與事件CB互斥，故由概率的加

法公式，得P(CA∪CB)＝P(CA)＋P(CB)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝12×

＝0.59．

1．應(yīng)用概率加法公式的前提是事件互斥．2．為了求復(fù)雜事件的概率，往往可以先把該事件分解成兩個或多個互斥事件的和，求出簡單事件概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率．

乘法公式與事件的獨立性全概率公式B∵A、B相互獨立，

乘法公式與事件的獨立性全概率公式B∵A、B相互獨立，1．由條件概率的定義可知，P(B|A)與P(A|B)是不同的．另外，在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)與P(B)不一定相等．2．在條件概率的定義中，要強調(diào)P(A)＞0．當(dāng)P(A)＝0時，P(B|A)＝0．

3．P(B|A)＝PABPA可變形為P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的兩個值就

可以求得第三值．

1.2

1.3

1．概率的乘法公式當(dāng)P(A)>0時，P(AB)＝P(B|A)·P(A)．2．相互獨立事件的概率(1)一般地，事件A，B相互獨立?P(AB)＝P(A)P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．相互獨立事件的性質(zhì)

若A與B是相互獨立事件，則A與－B，B與－A，－A與也相互獨立．

若A，B相互獨立，則A與B也相互獨立，為什么？

[提示]

∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)－P(A)P(B)，

∴P(A)P(B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P(B)，

∴A與B相互獨立．

3．全概率公式(1)全概率公式設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，

PBiPA|Bii互斥事件與相互獨立事件的判斷判斷下列各對事件是互斥事件，還是相互獨立事件．利用獨立事件、互斥事件的意義判斷．(1)甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個事件不可能同時發(fā)生，∑nPBjPA|Bj

則對任意一個事PBiPA|Bii互斥事件與相互獨立事件的判斷判斷下列各對事件是互斥事件，還是相互獨立事件．利用獨立事件、互斥事件的意義判斷．(1)甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個事件不可能同時發(fā)生，∑nPBjPA|Bj

P(A)＝∑nP(Bi)P(A|Bi)．i＝1*(2)貝葉斯公式設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，

n)，則P(B|A)＝．

j＝1

疑難問題

類型1【例1】(1)運動員甲射擊1次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”；(2)甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”；(3)甲、乙兩運動員各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”；(4)甲、乙兩運動員各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有射中目標(biāo)”．[思路點撥][解]二者是互斥事件；(2)甲、乙各射擊1次，“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否，對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響，二者是相互獨立事件；(3)甲、乙各射擊1次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒有射中目標(biāo)”不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件；(4)甲、乙各射擊1次，“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)，但乙沒有射中目標(biāo)”可能同時發(fā)生，二者構(gòu)不成互斥事件，也不可能是相互獨立事件．

判斷兩事件相互獨立的方法1若PAB＝PAPB，則事件A和B相互獨立.2由事件本身的性質(zhì)直接判定是否相互影響，從而得出事件是否相互獨立.

相互獨立事件同時發(fā)生的概率(1)先找出第四輪被淘汰的事件，再看它是獨立事件還是互斥事4324相互獨立事件同時發(fā)生的概率(1)先找出第四輪被淘汰的事件，再看它是獨立事件還是互斥事43249642)P(A3)P(24625．9624101625－625＝125．【例2】某項選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問

題的概率分別為45，35，25，15，且各輪問題能否正確回答互不影響．

(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．[思路點撥]件；(2)至多進(jìn)入第三輪含有第一輪被淘汰、第二輪被淘汰、第三輪被淘汰三個互斥事件，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式求解．[解](1)記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為Ai(i＝1，2，3，4)，

則P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，P(A4)＝15．“該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰”記

為B，P(B)＝P(A1A2A3A)＝P(A1)P(AA4)＝5×5×5×5＝625．

(2)法一：“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”記為C，

P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)

＝15＋45×25＋45×35×35＝101125．

法二：“該選手進(jìn)入第四輪沒有被淘汰”記為D，

則P(D)＝45×35×25×15＝

而C與B∪D為對立事件，B與D為互斥事件，

∴P(C)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－

1．求P(AB)時，要注意事件A，B是否相互獨立，求P(A＋B)時，應(yīng)注意事件A，B是否互斥．對于“至多”“至少”型問題的解法有兩種思路：①分類討論；

②轉(zhuǎn)化為求對立事件的概率，利用P(A)＝1－P(A)來計算．

2．復(fù)雜問題可考慮分解為等價的幾個事件的概率問題，同時結(jié)合對立事件的概率求法進(jìn)行求解．

全概率公式的應(yīng)用設(shè)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為

類型3全概率公式的應(yīng)用設(shè)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為【例3】0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設(shè)第一二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機提一臺產(chǎn)品，求該產(chǎn)品合格的該概率．[解]設(shè)B＝{從倉庫中隨機提一臺是合格品}，Ai＝{提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的}，i＝1，2，則有B＝A1B∪A2B，由題意則P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．

1．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一復(fù)雜事件A的概率求解問題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題．2．從以上典型例題的分析可以看出，應(yīng)用全概率公式解決問題時，準(zhǔn)確、迅速尋找完備事件組是解決此類問題的關(guān)鍵，其應(yīng)用的一般方法和步驟歸納如下：(1)認(rèn)真分析題目中的條件，找出完備事件組A1，A2，…，An；(2)求出Ai發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率P(B|Ai)，這樣就可以直接利用全概率公式解決此類問題了．

歸納總結(jié)1．兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響；兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立的兩個事件可以同時發(fā)生．2．如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積．3．利用全概率公式可以將復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率的求和問題，尋找完備事件組是求解的關(guān)鍵．

離散型隨機變量及其分布列隨機變量(1)可以．實際上我們可以建立一個隨機試驗的所有結(jié)果同實數(shù)間的對隨機變量的概念判斷所給的量是否隨試驗結(jié)果的變化而變化，發(fā)生變化的是隨機(1)旅客人數(shù)可能是0，1，2，…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨

離散型隨機變量及其分布列隨機變量(1)可以．實際上我們可以建立一個隨機試驗的所有結(jié)果同實數(shù)間的對隨機變量的概念判斷所給的量是否隨試驗結(jié)果的變化而變化，發(fā)生變化的是隨機(1)旅客人數(shù)可能是0，1，2，…，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨

2.1

1．隨機變量(1)定義：在隨機試驗中，確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得樣本空間的每一個樣本點都用一個確定的數(shù)值表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)值隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種取值隨著試驗結(jié)果變化而變化的量稱為隨機變量．(2)表示：隨機變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．離散型隨機變量所有取值可以一一列舉出來的隨機變量，稱為離散型隨機變量．(1)任何隨機試驗的結(jié)果都可以用數(shù)字表示嗎？(2)離散型隨機變量的取值一定是有限個嗎？[提示]應(yīng)關(guān)系，根據(jù)問題的需要選擇相應(yīng)數(shù)字．(2)不一定．可以是無限個，如1，2，3，…，n，…．疑難問題

類型1【例1】判斷下列各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)北京國際機場候機廳中2022年5月1日的旅客數(shù)量；(2)2022年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；(3)2022年6月1日上海到北京的某次動車到北京站的時間；(4)體積為1000cm3的球的半徑長．[思路點撥]變量．[解]

分析題意→寫出X可能取的值→分別寫出取值所表示的結(jié)果(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1，2，3，4，…，10，11，函數(shù)都是一種映射，試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域把試驗結(jié)果映射為實數(shù)，即隨機變量的自變量是試驗結(jié)果把實數(shù)映射為實數(shù)，即函數(shù)的自變量是實數(shù)

(1)袋中有大小相同的紅球1分析題意→寫出X可能取的值→分別寫出取值所表示的結(jié)果(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為X，則X＝1，2，3，4，…，10，11，函數(shù)都是一種映射，試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域把試驗結(jié)果映射為實數(shù)，即隨機變量的自變量是試驗結(jié)果把實數(shù)映射為實數(shù)，即函數(shù)的自變量是實數(shù)出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)；(2)從標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和．[思路點撥][解]X＝i表示前i－1次取到紅球，第i次取到白球，這里i＝1，2，…，11．(2)設(shè)所取卡片上的數(shù)字和為X，則X＝3，4，5，…，11．X＝3，表示取出標(biāo)有1，2的兩張卡片；X＝4，表示取出標(biāo)有1，3的兩張卡片；X＝5，表示取出標(biāo)有2，3或標(biāo)有1，4的兩張卡片；……X＝11，表示取出標(biāo)有5，6的兩張卡片．

1．解答此類問題，關(guān)鍵是要弄清題意，第(1)問中，X＝1，2，…，11所表示的結(jié)果不需要分別列出來，引入變量i，可寫成X＝i．2．在寫出隨機變量的取值表示的試驗結(jié)果時，要特別注意隨機變量的一個值表示多個試驗結(jié)果的情況，不能遺漏某些試驗結(jié)果．

歸納總結(jié)1．隨機變量可將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化．2．隨機變量與函數(shù)的異同點：隨機變量

相同點

不同點

離散型隨機變量的分布列xnpnx1p11p……x2p20q…xn…離散型隨機變量的分布列xnpnx1p11p……x2p20q…xn……p…．

1．離散型隨機變量取值能夠一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量．2．離散型隨機變量X的分布列(1)定義：若離散型隨機變量X的取值為x1，x2，…，xn，…，隨機變量X取xi的概率為pi(i＝1，2，…，n，…)，記作：P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)，①，把①式列成如下表格：X＝xix1x2…P(X＝xi)p1p2…上述表格或①式稱為離散型隨機變量X的分布列．如果隨機變量X的分布列為上述表格或①式，我們稱隨機變量X服從這一分

布列，并記作X～

(2)性質(zhì)：在離散型隨機變量X的分布列中，①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．3．伯努利試驗若在某個試驗中，每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”，每次“成功”的概率均為p，每次“失敗”的概率均為1－p，則稱這樣的試驗為伯努利試驗．4．兩點分布如果隨機變量X的分布列如表XP

因為離散型隨機變量所有取值對應(yīng)的事件之和是必然事件，所以所有離散型隨機變量的分布列一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)(1)隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，1C11C32因為離散型隨機變量所有取值對應(yīng)的事件之和是必然事件，所以所有離散型隨機變量的分布列一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)(1)隨機變量X的可能取值為3，4，5，6，1C11C3233C3＝20，P(X＝4)＝C3C3610C3631203320＋10643205310612稱0－1分布或伯努利分布)．兩點分布不僅是最簡單的，也是最重要的概率分布模型，在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．在離散型隨機變量分布列中，所有概率之和為什么為1?[提示]概率之和為1．

疑難問題

類型1【例1】從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼．(1)求X的分布列；(2)求X的取值不小于4的概率．[解]

P(X＝3)＝C33＝20，P(X＝5)＝C11C24＝

＝12，

所以隨機變量X的分布列為X

P

(2)X的取值不小于4的概率為P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝

＋12＝1920．

求離散型隨機變量分布列的一般步驟：1確定X的所有可能取值xii＝1，2，…以及每個取值所表示的意義；2利用概率的相關(guān)知識，求出每個取值相應(yīng)的概率PX＝xi＝pii＝1，2，…；3寫出分布列；

離散型隨機變量分布列的性質(zhì)設(shè)隨機變量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)．1710<X<10(1)先求出X的分布列，再根據(jù)分布列的性質(zhì)確定離散型隨機變量分布列的性質(zhì)設(shè)隨機變量X的分布列PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)．1710<X<10(1)先求出X的分布列，再根據(jù)分布列的性質(zhì)確定a．(2)、(3)中依題意，隨機變量X的分布列為15a2a3a4a5a115．15＋15＋15＝5．15＋11710<X<10，所以17123210<X<115＋15＋15＝5．離散型隨機變量分布列的應(yīng)用25345412354555

類型2

【例2】

(1)求常數(shù)a的值；

(2)求PX≥35；

(3)求P．

[思路點撥]的概率利用互斥事件的概率公式結(jié)合分布列求解即可．[解]

X＝i

P(X＝i)

(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝

(2)法一：PX≥3＝PX＝3＋PX＝45＋PX＝55＝

法二：PX≥35＝1－PX≤25＝1－＝45．

(3)因為X＝15，25，35．

故P＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝

1．隨機變量的取值不一定是整數(shù)，它的取值一般來源于實際問題，并有特定的含義．2．隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于在這一范圍內(nèi)取每個值的概率之和．

類型3【例3】袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個

(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的關(guān)鍵在于確定X的所(1)法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則282

2

310；815．2130231315＋10＝30．130；215；32(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的關(guān)鍵在于確定X的所(1)法一：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則282

2

310；815．2130231315＋10＝30．130；215；321543105815表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機變量X的分布列；(3)計算介于20分到40分之間的概率．[思路點撥]有可能取值及取每個值的概率；(3)由題意知計算介于20分到40分之間的概率等于X＝3與X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．[解]

P(A)＝C53C21C12C1C＝23．103法二：“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是對立事件．

因為P(B)＝C51C22C1C＝13，103

所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23．

(2)由題意，X所有可能的取值為2，3，4，5．

P(X＝2)＝C22C12＋C12C2C＝103

P(X＝3)＝C42C12＋C14C2C＝103

P(X＝4)＝C62C12＋C16C22C103＝

P(X＝5)＝C82C21＋C18C22C103＝

所以隨機變量X的分布列為X

P

(3)“一次取球得分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)＝P(X＝3

或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝

離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值x2…xi…xn

離散型隨機變量分布列問題融合了排列、組合，古典概型、互斥事件、對立離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值x2…xi…xn事件的概率等知識，是較強的綜合應(yīng)用.

歸納總結(jié)1．離散型隨機變量可能取的值為有限個或可列舉的無限個，或者說能將它的可能取值按一定次序一一列出．2．求離散型隨機變量的分布列時應(yīng)注意以下幾點(1)確定離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是搞清X取每一個值對應(yīng)的隨機事件，進(jìn)一步利用排列、組合知識求出X取每一個值的概率．(2)在求離散型隨機變量X的分布列時，要充分利用分布列的性質(zhì)，這樣可以減少運算量，也可利用分布列的性質(zhì)驗證分布列是否正確．

3

3.1

離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望(1)定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

Xx1Pp1p2…pi…pn則稱EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)．(2)意義：離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機變量X取值的平均水平．(3)性質(zhì)：如果X為離散型隨機變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是隨機變量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．

(1)隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取；樣本的平均求離散型隨機變量的均值袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2(1)隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽??；樣本的平均求離散型隨機變量的均值袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到首先根據(jù)取到的兩個球的不同情況，確定ξ的取值為0，1，2，3，(1)由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，6；

42

2

136．01611436＝9113211363164136(2)隨著樣本容量的增加，樣本的平均值與總體平均值有什么關(guān)系？[提示]值是一個隨機變量，它是隨著樣本的不同而變化的．(2)隨著樣本容量的增加，樣本的平均值越來越接近于總體平均值．疑難問題

類型1【例1】一個黑球記0分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用ξ表示得分?jǐn)?shù)．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．[思路點撥]4，再分別計算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．[解]

當(dāng)ξ＝0時，即取到2個黑球，則P(ξ＝0)＝C2C42＝19

當(dāng)ξ＝1時，即取到1個黑球和1個白球，則P(ξ＝1)＝C41·C31C92＝13；

當(dāng)ξ＝2時，即取到1個紅球和1個黑球或者取到2個白球，則P(ξ＝2)＝C32C2＋9

C21·C1C36；

當(dāng)ξ＝3時，即取到1個紅球和1個白球，則P(ξ＝3)＝C31·C1C＝16；92

當(dāng)ξ＝4時，即取到2個紅球，則P(ξ＝4)＝C22C2＝9所以ξ的分布列為ξ

P

(2)均值Eξ＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×．

離散型隨機變量均值的性質(zhì)已知隨機變量X的分布列為：－214(1)由隨機變量分布列的性質(zhì)，得14＋13＋15＋m＋m＝16，11720＝－30．－71416220＝－15．Eξ＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，所以離散型隨機變量均值的性質(zhì)已知隨機變量X的分布列為：－214(1)由隨機變量分布列的性質(zhì)，得14＋13＋15＋m＋m＝16，11720＝－30．－71416220＝－15．Eξ＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－1730a＋3＝－112，所以a＝15．－113120＝1，解得－513015－3151m－11621201120(1)確定取值：根據(jù)隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值．(2)求概率：求X取每個值的概率．(3)寫分布列：寫出X的分布列．(4)求均值：由均值的定義求出EX，其中寫出隨機變量的分布列是求解此類問題的關(guān)鍵所在．

類型2【例2】

X

P

(1)求EX；(2)若Y＝2X－3，求EY．

[解]

所以EX＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×

(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得

EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－1730－3＝－6215．

法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：

Y

P

所以EY＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×

1．本例條件不變，若ξ＝aX＋3，且Eξ＝－112，求a的值．

[解]

－112)B．2[由分布列的性質(zhì)得12＋13＋m＝1，所以m＝16，－a＋312離散型隨機變量均值的應(yīng)用013C．33131mD．4a＋31－112)B．2[由分布列的性質(zhì)得12＋13＋m＝1，所以m＝16，－a＋312離散型隨機變量均值的應(yīng)用013C．33131mD．4a＋316ξ

P

若η＝aξ＋3，Eη＝73，則a＝(

A．1

B

所以Eξ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，

法一：Eη＝E(aξ＋3)＝aEξ＋3＝－13a＋3＝73．

所以a＝2．法二：因為η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：η

P

Eη＝(－a＋3)×12＋3×13＋(a＋3)×16＝73．

所以a＝2．]

求離散型隨機變量均值的解題思路(1)若給出的隨機變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY．(2)利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵由X的取值計算Y的取值，對應(yīng)的概率相等，再由定義法求得EY．

類型3【例3】一名博彩者，放6個白球和6個紅球在一個袋子中，定下規(guī)矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作為手續(xù)費，然后可以一次從袋中摸出5個球，中彩情況如下表：

中彩發(fā)放獎品1頂帽子(價值20元)1張賀卡(價值2元)紀(jì)念品(價值0.5元)同樂一次(無任何獎品)在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一(1)摸一次能獲得2中彩發(fā)放獎品1頂帽子(價值20元)1張賀卡(價值2元)紀(jì)念品(價值0.5元)同樂一次(無任何獎品)在一次摸球中，博彩者獲得的收入是不確定的，故可將其作為一(1)摸一次能獲得20元獎品的概率是P＝C65C125＝

1CC125132，P(X＝4)＝C51215C63C625066132，P(X＝3)＝C5132，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝132，－1911321155066132＋(－1)×132＋0.5×132＋1×132≈0.4318．1132．

64C61

12－1151320.550132166132有5個白球恰有4個白球恰有3個白球其他試計算：(1)摸一次能獲得20元獎品的概率．(2)按摸10000次統(tǒng)計，這個人能否賺錢？如果賺錢，則凈賺多少錢？[思路點撥]個隨機變量，他能否賺錢，就要看該隨機變量的均值是否大于0．

[解]

(2)如果把取到的白球作為隨機變量X，則P(X＝5)＝C56＝

＝＝

所以博彩者的收入這一隨機變量Y(可以為負(fù)數(shù))的分布列為：

Y

P

所以收入的隨機變量Y的均值為

EY＝(－19)×

故這個人可以賺錢，且摸10000次凈收入的均值為4318元．

1實際問題中的均值問題,均值在實際中有著廣泛的應(yīng)用，如在體育比賽的安排和成績預(yù)測，消費預(yù)測，工程方案的預(yù)測，產(chǎn)品合格率的預(yù)測，投資收益等，都可以通過隨機變量的均值來進(jìn)行估計.2概率模型的解答步驟①審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些；②確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值；③對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論.

離散型隨機變量的方差x1p1(1)隨機變量的方差是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽??；樣本的方差求離散型隨機變量的方差x2p2……xipi……xnpn

歸納總結(jié)離散型隨機變量的方差x1p1(1)隨機變量的方差是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取；樣本的方差求離散型隨機變量的方差x2p2……xipi……xnpn1．本節(jié)課的重點是離散型隨機變量的均值的求法，難點是均值的實際應(yīng)用．2．要掌握離散型隨機變量均值的幾個常用結(jié)論(1)E(C)＝C(C為常數(shù))；(2)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2；(3)如果X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝EX1·EX2．

3.2

1．方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

XP

(1)方差DX＝∑n(xi－EX)2pi．(2)標(biāo)準(zhǔn)差σX＝DX．i＝12．方差的性質(zhì)D(aX＋b)＝a2DX．(1)隨機變量的方差和樣本的方差是一個常數(shù)還是隨機變量？(2)隨著樣本容量的增加，樣本的方差與總體方差有什么關(guān)系？[提示]是一個隨機變量，它是隨著樣本的不同而變化的．(2)隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體方差．

疑難問題

類型1【例1】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號．求ξ的分布列、均值和方差．

由題意得，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，120，21320＝10，P(ξ＝3)＝20，4120＝5．由題意得，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，120，21320＝10，P(ξ＝3)＝20，4120＝5．012113120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，11320＋(2－1.5)2×10＋(3－1.5)2×20＋(4－方差的性質(zhì)已知隨機變量X的分布列為10.2∵0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，∴a＝0.3．112023a0.2211040.13320415

P(ξ＝0)＝1020＝12，P(ξ＝1)＝

P(ξ＝2)＝

P(ξ＝4)＝

故ξ的分布列為ξ

P

所以Eξ＝0×12＋1×

Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×

1.5)2×15＝2.75．

求離散型隨機變量的方差的步驟(1)明確隨機變量的取值，以及取每個值的試驗結(jié)果．(2)求出隨機變量取各個值的概率．(3)列出分布列．

(4)利用公式EX＝∑nxipi求出隨機變量的期望EX．i＝1

(5)代入公式DX＝∑n(xi－EX)2pi，求出方差DX．i＝1

類型2【例2】X0P0.2求EX，DX，D(－2X－3)．[解]∴EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．

方差的實際應(yīng)用1a10.3(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．20.12方差的實際應(yīng)用1a10.3(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．20.12b30.630.31.8)2×0.1＝1.56．D(－2X－3)＝4DX＝6.24．

方差的性質(zhì)1DaX＋b＝a2DX.

2方差也可以用公式DX＝EX2－EX2計算可由DX＝∑nxi－EX2pi展開得i＝1到.

類型3【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X與Y，且X，Y的分布列如下：XP

YP(1)求a，b的值；(2)計算X，Y的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況．[解]同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4．(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．由于EX＞EY，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但DX＞DY，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．

利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟

二項分布與超幾何分布二項分布－k，k＝0，1，2，…，n．此時稱隨機獨立重復(fù)試驗必須具備以下條件：

(1)比較均值：離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，二項分布與超幾何分布二項分布－k，k＝0，1，2，…，n．此時稱隨機獨立重復(fù)試驗必須具備以下條件：因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．(2)在均值相等的情況下計算方差：方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．(3)下結(jié)論：依據(jù)均值和方差的意義做出結(jié)論．

歸納總結(jié)1．解決離散型隨機變量的均值與方差，關(guān)鍵在于找出隨機變量的特點，求出其分布列后直接按定義求解．2．對于應(yīng)用題，必須對實際問題進(jìn)行具體分析，先求出概率分布列、均值、方差，再對具體問題進(jìn)行分析，做出決策．

4

4.1

1．n重伯努利試驗一般地，在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗，且每次試驗的結(jié)果都不受其他試驗結(jié)果的影響，稱這樣的n次獨立重復(fù)試驗為n重伯努利試驗．2．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，用X表示這n次試驗中成功的次數(shù)，且每次成功的概率均為p，則P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．3．二項分布的期望與方差若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．獨立重復(fù)試驗必須具備哪些條件？[提示]①每次試驗的條件完全相同，有關(guān)事件的概率不變．

求伯努利試驗的概率若圖書室中只存放技術(shù)書和數(shù)學(xué)書，每名讀者借技術(shù)書的概率為讀者借一本書只有兩種結(jié)果，每名讀者借一本書可以看做是五次記“讀者借數(shù)學(xué)書”為事件A，“讀者借技術(shù)書”為事件A，－k(k＝0，1，二項分布及其應(yīng)用求伯努利試驗的概率若圖書室中只存放技術(shù)書和數(shù)學(xué)書，每名讀者借技術(shù)書的概率為讀者借一本書只有兩種結(jié)果，每名讀者借一本書可以看做是五次記“讀者借數(shù)學(xué)書”為事件A，“讀者借技術(shù)書”為事件A，－k(k＝0，1，二項分布及其應(yīng)用某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊本題是一個獨立重復(fù)試驗問題，其擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列服在重復(fù)射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從二項分布，X～B(n，p)．－k，k＝0，1，2，3，4．③每次試驗只有兩種結(jié)果，這兩種可能的結(jié)果是對立的．

疑難問題

類型1【例1】0.2，借數(shù)學(xué)書的概率為0.8．有5名讀者依次借書，設(shè)每人只借一本書，求至多有2人借數(shù)學(xué)書的概率．[思路點撥]相互獨立的重復(fù)試驗，因此可用相互獨立的重復(fù)試驗的概率公式求解．

[解]

因此，每名讀者借一本書可看做是五次獨立的重復(fù)試驗，其中P(A)＝0.8，P(A)

＝0.2，故所求的概率為C05×0.80×0.25＋C51×0.81×0.24＋C52×0.82×0.23＝0.05792．即至多有2人借數(shù)學(xué)書的概率為0.05792．

1．伯努利試驗有以下兩個特點：①對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否二者必居其一；②重復(fù)性，即試驗是獨立重復(fù)地進(jìn)行了n次．2．在伯努利試驗中，事件A發(fā)生k的概率為P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n2，…，n)．

類型2【例2】中目標(biāo)的次數(shù)X的分布列．[思路點撥]從二項分布，可直接由二項分布得出．[解]由已知，n＝4，p＝0.8，P(X＝k)＝Ck4·0.8k·(0.2)4

00.0016二項分布的期望與方差因為ξ～B10，12，所以Eξ＝10×1100.0016二項分布的期望與方差因為ξ～B10，12，所以Eξ＝10×110.02562＝5．Dξ＝10×2×2＝2．20.153611530.409640.4096P(X＝1)＝C41·0.81·(0.2)3＝0.0256，P(X＝2)＝C42·0.82·(0.2)2＝0.1536，P(X＝3)＝C43·0.83·(0.2)1＝0.4096，P(X＝4)＝C44·0.84·(0.2)0＝0.4096．∴X的分布列為XP

1．利用二項分布解題的關(guān)鍵在于建立二項分布的模型，也就是看它是否為n次獨立重復(fù)試驗，隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點的隨機變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布．2．在解題時，要注意概率的加法公式、乘法公式、以及“正難則反”策略(利用對立事件求概率)的靈活運用．

類型3

【例3】某人每次投籃時投中的概率都是12．若投籃10次，求他投中的次數(shù)

ξ的均值和方差．

[解]

由于兩點分布、二項分布的方差已有現(xiàn)成的計算公式，所以在計算服從這些常見分布的隨機變量的方差時，既可以利用定義進(jìn)行計算，也可以代入它們的計算公式直接求解，很顯然后一種方法不但計算量小而且準(zhǔn)確率高，但使用后一種方法的前提是必須判斷出隨機變量服從這些常見的分布.

歸納總結(jié)1．凡是所涉及的n次試驗相互獨立，每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果A和

A，且在每次試驗中，A發(fā)生的概率相同，則n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)X就服從

二項分布．

超幾何分布－kC(1)X～H(N，M，n)；(2)X～Bn，MN．求超幾何分布的分布列某班從6名干部中(其中男超幾何分布－kC(1)X～H(N，M，n)；(2)X～Bn，MN．求超幾何分布的分布列某班從6名干部中(其中男生4人，女生2人)選3人參加學(xué)校的義寫出X的可能取值→求出每個X對應(yīng)的概率→寫出分布列．n－M從二項分布．3．凡服從二項分布的隨機變量在表示n次試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)時，此事件在每次試驗中發(fā)生的概率相等，否則隨機變量不服從二項分布．

4.2

1．超幾何分布的概念一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么

P(X＝k)＝CkMCNn，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中

n，M，N∈N．＋若一個隨機變量X的分布列由上式確定，則稱隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布．2．超幾何分布的期望(均值)若隨機變量X服從參數(shù)N，M，n的超幾何分布，即X～H(N，M，n)，則均值

EX＝nMN．

設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中逐個抽取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)．(1)如果每次抽取后不放回，那么隨機變量X服從什么分布？(2)如果每次抽取后放回，那么隨機變量X服從什么分布？

[提示]

疑難問題

類型1【例1】務(wù)勞動．設(shè)所選3人中女生人數(shù)為X，求X的分布列．[思路點撥]

X的所有可能取值為0，1，2，由題意得：CC5．015利用超幾何分布模型求相應(yīng)事件的概率在100件產(chǎn)品中，有95X的所有可能取值為0，1，2，由題意得：CC5．015利用超幾何分布模型求相應(yīng)事件的概率在100件產(chǎn)品中，有95件合格品，5件次品，從中任取2件．解答本題可根據(jù)超幾何分布公式求解．從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，就是從100個元素中任取990．

C521C2495．

C119C198．2126363135100

510023215

P(X＝0)＝C43＝15，P(X＝1)＝C2C4＝35，P(X＝2)＝C41C2C

∴X的分布列為X＝k

P(X＝k)

1．解答本題易出現(xiàn)P(X＝k)算錯或列表時X＝k與P(X＝k)的位置不對應(yīng)的錯誤．2．求超幾何分布的分布列，關(guān)鍵是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值．

類型2【例2】求：(1)2件都是合格品的概率；(2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品，1件是次品的概率．[思路點撥][解]2個元素的組合數(shù)C1002，由于任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，∴C2100＝4950為基本事件總數(shù)．(1)100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)，就是從95個元素中任取2個的組合數(shù)C295，記“任取2件都是合格品”為事件A1，那么事件A1的概

率為P(A1)＝C2C952＝893100

(2)由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)為C52，記“任取2

件都是次品”為事件A2，那么事件A2的概率為P(A2)＝＝

(3)記“任取2件，1件是合格品，1件是次品”為事件A3，而取到1件合格品，

1件次品的結(jié)果數(shù)為C195C15，那么事件A3的概率為P(A3)＝C951＝

19198．超幾何分布的綜合應(yīng)用(1)利用古典概型公式求解；(2)A片區(qū)需等2小時，B片區(qū)、C19198．超幾何分布的綜合應(yīng)用(1)利用古典概型公式求解；(2)A片區(qū)需等2小時，B片區(qū)、C片363120＝10．310．C6，

46

C24C13或C10，333

C14C2或C2，

63C31

103

10

P(A3)＝1－P(A2)－P(A1)＝

2．應(yīng)用超幾何分布的概率公式時，要正確確定M、N、n、k，同時要避免不必要的重復(fù)計算．

類型3【例3】在上海世博會期間，小紅計劃對事先選定的10個場館進(jìn)行參觀，在她選定的10個場館中，有4個場館分布在A片區(qū)，3個場館分布在B片區(qū)，3個場館分布在C片區(qū)．由于參觀的人很多，在進(jìn)入每個場館前都需排隊等候，已知A片區(qū)的每個場館的排隊時間為2小時，B片區(qū)和C片區(qū)的每個場館的排隊時間都為1小時．參觀前小紅突然接到公司通知，要求她一天后務(wù)必返回，于是小紅決定從這10個場館中隨機選定3個場館進(jìn)行參觀．(1)求小紅每個片區(qū)都參觀1個場館的概率；(2)設(shè)小紅排隊時間總和為X(小時)，求隨機變量X的分布列．[思路點撥]區(qū)均需等1小時，這樣A片區(qū)參觀場館的個數(shù)可視為超幾何分布，也可按三區(qū)計算，分類討論．[解](1)從10個場館中隨機選定3個場館，基本事件的總數(shù)為C310＝120，設(shè)“小紅每個片區(qū)都參觀1個場館”為事件D，其中所包含的基本事件的個數(shù)為

C41C31C13＝36．由于每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的，所以P(D)＝

即小紅每個片區(qū)都參觀1個場館的概率是

(2)隨機變量X可能取得的值為3，4，5，6．

P(X＝3)＝2C33＋2C1C2或C63

P(X＝4)＝C41C31C13＋2C23C1C103

P(X＝5)＝2C42C31C310＝

130．316正態(tài)分布1

，σ412－x－μ2σ22πσe531026130．316正態(tài)分布1

，σ412－x－μ2σ22πσe531026130

∴隨機變量X的分布列為X＝k