北師大版高數(shù)必修三第4講：變量間的相關(guān)關(guān)系(學(xué)生版)

變量間的相關(guān)關(guān)系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.明確事物間的相互聯(lián)系.認識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外,仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系,并利用散點圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系.3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程．知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程．1．相關(guān)關(guān)系(1)定義：如果兩個變量中一個變量的取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的________性，那么這兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系．(2)兩類特殊的相關(guān)關(guān)系：如果散點圖中點的分布是從________角到________角的區(qū)域，那么這兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，如果散點圖中點的分布是從________角到________角的區(qū)域，那么這兩個變量的相關(guān)關(guān)系稱為負相關(guān)．兩個變量間的關(guān)系分為三類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長與面積的關(guān)系；另一類是變量間確實存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機性的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系，例如，某位同學(xué)的“物理成績”與“數(shù)學(xué)成績”之間的關(guān)系，我們稱它們?yōu)橄嚓P(guān)關(guān)系；再一類是不相關(guān)，即兩個變量間沒有任何關(guān)系．2．線性相關(guān)(1)定義：如果兩個變量散點圖中點的分布從整體上看大致在一條________附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做_________．(2)最小二乘法：求線性回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))時，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式給出：其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回歸方程的________，eq\o(a,\s\up6(^))是回歸方程在y軸上的________．線性回歸分析涉及大量的計算，形成操作上的一個難點，可以利用計算機非常方便地作散點圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程．因此在學(xué)習(xí)過程中，要重視信息技術(shù)的應(yīng)用．類型一變量之間的相關(guān)關(guān)系的判斷例1：(1)下列變量之間的關(guān)系不是相關(guān)關(guān)系的是()A．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常數(shù)，取b為自變量，因變量是判別式Δ＝b2－4acB．光照時間和果樹畝產(chǎn)量C．降雪量和交通事故發(fā)生率D．每畝田施肥量和糧食畝產(chǎn)量(2)現(xiàn)隨機抽取某校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績x與入學(xué)后的第一次數(shù)學(xué)成績y，數(shù)據(jù)如下：學(xué)號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請利用散點圖判斷這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績是否具有相關(guān)關(guān)系．練習(xí)1：對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)C．變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)類型二回歸直線方程例2：隨著人們經(jīng)濟收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚．車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關(guān)心的問題．某汽車銷售公司作了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計得出某款車的使用年限x與所支出的總費用y(萬元)有如下的數(shù)據(jù)資料：使用年限x23456總費用y2.23.85.56.57.0若由資料，知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求：(1)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))、eq\o(b,\s\up6(^))；(2)估計使用年限為10年時，車的使用總費用是多少？練習(xí)1：(2015·石家莊高二檢測)已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點中心(即(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)))為(4,5)，則回歸直線的方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋4B.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋5 C.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08D.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.08x＋1.23練習(xí)2：某公司的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568y3040605070資料顯示y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，預(yù)測銷售額為115萬元時約需________萬元廣告費．例3：有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童年數(shù)量，如下表：人均GDP/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)通過計算可知這兩個變量的回歸直線方程為＝23.25x＋102.15，假如一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？練習(xí)1：某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20.(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)1．下列兩個變量之間的關(guān)系：①角度和它的余弦值；②正n邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和；③家庭的支出與收入；④某戶家庭用電量與電價間的關(guān)系．其中是相關(guān)關(guān)系的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個2．下列圖形中兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是()3．設(shè)一個回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3＋1.2x，則變量x增加一個單位時()A．y平均增加1.2個單位B．y平均增加3個單位C．y平均減少1.2個單位D．y平均減少3個單位4．現(xiàn)有5組數(shù)據(jù)A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉________組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大．5．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，那么下面說法不正確的是()A．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a必經(jīng)過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))B．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a至少經(jīng)過點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點C．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率為eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)D．直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a和各點(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差eq\i\su(i＝1,n,[)yi－(bxi＋a)]2是該坐標平面上所有直線與這些點的偏差中最小的直線．2．下列說法正確的是()A．對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|≤1，|r|越接近0，相關(guān)程度越大；|r|越接近1，相關(guān)程度越小B．對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越大，相關(guān)程度越小C．對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|≤1，|r|越接近1，相關(guān)程度越大；|r|越接近0，相關(guān)程度越小D．對于相關(guān)系數(shù)r來說，|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越小；|r|越大，相關(guān)程度越大3．(2015·遼寧鞍山調(diào)研)兩個變量成負相關(guān)關(guān)系時，散點圖的特征是()A．點從左下角到右上角區(qū)域散布B．點散布在某帶形區(qū)域內(nèi)C．點散布在某圓形區(qū)域內(nèi)D．點從左上角到右下角區(qū)域散布4．(2014·重慶)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)eq\x\to(x)＝2.5，eq\x\to(y)＝3.5，則由觀測的數(shù)據(jù)得線性回歸方程可能為()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x－2.4C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.45．某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y，需要研究它的原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)素，現(xiàn)取了8對觀測值，計算得：eq\i\su(i＝1,8,x)i＝52，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝478，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝1849，則y對x的回歸直線的方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝11.47＋2.62x B.eq\o(y,\s\up6(^))＝－11.47＋2.62xC.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.62＋11.47x D.eq\o(y,\s\up6(^))＝11.47－2.62x6．為了考查兩個變量x和y之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立做了10次和15次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1、l2，已知兩人所得的試驗數(shù)據(jù)中，變量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都相等，且分別是s和t，那么下列說法中正確的是()A．直線l1、l2一定有公共點(s，t)B．直線l1、l2相交，但交點不一定是(s，t)C．必有直線l1∥l2D．l1、l2必定重合二、填空題7．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．8．某單位為了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機抽查了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，預(yù)測當氣溫為－4℃時，用電量約為________度．三、解答題9．某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中判斷銷售金額與廣告費支出成什么樣的關(guān)系？10．一臺機器由于使用時間較長，生產(chǎn)的零件有一些缺損．按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的零件有缺損的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)有缺損零件數(shù)y(個)11985(1)作出散點圖；(2)如果y與x線性相關(guān)，求出回歸直線方程；(3)若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？能力提升一、選擇題1．(2014·湖北)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則()x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.a＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞02．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元3．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是()A.eq\o(b,\s\up6(^))＞b′，eq\o(a,\s\up6(^))＞a′ B.eq\o(b,\s\up6(^))＞b′，eq\o(a,\s\up6(^))＜a′C.eq\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))＞a′ D.eq\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))＜a′4．某學(xué)生課外活動興趣小組對兩個相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如下表：x1020304050y62▲758189由最小二乘法求得回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該數(shù)據(jù)的值為()A．60 B．62C．68 D．68.3二、填空題5．2010年4月初，廣東部分地區(qū)流行手足口病，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制．下表是某同學(xué)記載的2010年4月1日期123456人數(shù)100109115118121134日期789101112人數(shù)141152168175186203下列說法：①根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點圖，可以判斷日期與人數(shù)且有一次函數(shù)關(guān)系；③后三天治愈出院的人數(shù)占這12天治愈出院人數(shù)的30%多；④后三天治愈出院的人數(shù)均超過這12天內(nèi)北京市治愈出院人數(shù)的20%.其中正確的個數(shù)是________．6．改革開放30年以來，我國高等教育事業(yè)迅速發(fā)展，對某省1990～2000年考大學(xué)升學(xué)百分比按城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村進行統(tǒng)計，將1990～2000年依次編號為0～10，回歸分析之后得到每年考入大學(xué)的百分比y與年份x的關(guān)系為：城市：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.84x＋9.50；縣鎮(zhèn)：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.67；農(nóng)村：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.42x＋1.80.根據(jù)以上回歸直線方程，城市、縣鎮(zhèn)、農(nóng)村三個組中，________的大學(xué)入學(xué)率增長最快．按同樣的增長速度，可預(yù)測2010年，農(nóng)村考入大學(xué)的百分比為________%.三、解答題7．(2014·新課標全國Ⅱ高考)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表年份2007200820092010201120122013年份代號1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情