高中數(shù)學第二章隨機變量及其分布2.1條件概率學案新人教A版選修2-

條件概率導思1.條件概率是如何定義的？2.條件概率有哪些性質(zhì)？如何求條件概率？條件設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0含義在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率記作P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率計算公式①事件個數(shù)法：P(B|A)＝②定義法：P(B|A)＝(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)是多少？提示：A與B互斥，即A，B不同時發(fā)生．所以P(AB)＝0，故P(B|A)＝0.(2)若P(A)≠0，則P(A·B)＝P(B|A)·P(A)，這種說法正確嗎？提示：正確．由P(B|A)＝eq\f(P（A·B）,P（A）)得P(A·B)＝P(B|A)·P(A).(3)如何從集合角度理解條件概率？提示：如圖，事件的樣本點已落在圖形A中(事件A已發(fā)生)，問落在B(事件B)中的概率．由于樣本點已落在A中，且又要求落在B中，于是落在AB中的概率計算公式為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)(P(A)>0)，類似地，P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)(P(B)＞0).2．條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1.(2)如果B和C是兩個互斥的事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).(1)在條件概率的定義中，P(A)要求什么條件？提示：在條件概率的定義中，0<P(A)≤1.(2)在性質(zhì)2中，事件B，C之間是何種關(guān)系？提示：在性質(zhì)2中，事件B，C是互斥事件．(3)P(AB)與P(B|A)的大小關(guān)系如何？提示：由P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)可知，P(AB)≤P(B|A).1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)P(B|A)<P(AB).(×)提示：因為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)≥P(AB)，所以P(B|A)<P(AB)是錯誤的．(2)已知事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率記作P(B|A).(×)提示：P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．故此種說法錯誤．(3)P(A|A)＝0.(×)提示：由條件概率的公式可知：P(A|A)＝eq\f(P（AA）,P（A）)＝eq\f(P（A）,P（A）)＝1，所以P(A|A)＝0是錯誤的．(4)P(B|A)＝P(A|B).(×)提示：因為P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率．但兩者不一定相等，所以P(B|A)＝P(A|B)是錯誤的．2．下面幾種概率是條件概率的是()A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率C．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率D．小明上學路上要過四個路口，若每個路口遇到紅燈的概率都是eq\f(2,5)，則小明在一次上學中遇到紅燈的概率【解析】選B.由條件概率的定義知B為條件概率．3．(教材例題改編)設(shè)某動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它活到25歲的概率是________．【解析】根據(jù)條件概率公式知P＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.答案：類型一求條件概率(數(shù)學抽象，數(shù)學運算)利用定義求條件概率【典例】現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率．(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率．(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．【思路導引】(1)該問題屬于古典概型．(2)該問題也可以看作是古典概型．(3)該問題屬于條件概率，利用條件概率的定義以及公式直接求解．【解析】設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數(shù)n(Ω)＝Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有n(A)＝Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝20，所以P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因為n(AB)＝Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12，所以P(AB)＝eq\f(n（AB）,n（Ω）)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).利用基本事件的范圍求概率【典例】盒內(nèi)裝有16個球，其中6個是玻璃球，10個是木質(zhì)球．玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍色的；木質(zhì)球中有3個是紅色的，7個是藍色的．現(xiàn)從中任取1個，已知取到的是藍球，問該球是玻璃球的概率是多少？【思路導引】通過表格將數(shù)據(jù)關(guān)系表示出來，再求取到藍球是玻璃球的概率．【解析】由題意得球的分布如下：玻璃木質(zhì)總計紅235藍4711總計61016設(shè)A＝{取得藍球}，B＝{取得藍色玻璃球}，則P(A)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq\f(4,11).1．利用條件概率的定義求條件概率的步驟(1)根據(jù)題意求P(A).(2)根據(jù)題意求P(AB).(3)根據(jù)條件概率的定義求P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).2．利用基本事件數(shù)求條件概率(1)列出基本事件的空間．(2)在基本事件空間內(nèi)求出事件A發(fā)生的事件數(shù)n(A).(3)在基本事件空間內(nèi)求出事件A，事件B同時發(fā)生的事件數(shù)n(AB).(4)根據(jù)條件概率的定義求P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).【補償訓練】1.7名同學站成一排，已知甲站在中間，則乙站在末尾的概率是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,7)【解析】選C.記“甲站在中間”為事件A，“乙站在末尾”為事件B，則n(A)＝Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))，n(AB)＝Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))，所以P(B|A)＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5)),Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6)))＝eq\f(1,6).2．一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B.(1)分別求事件A，B，AB發(fā)生的概率；(2)求P(B|A).【解析】(1)P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(2×1＋3×2,5×4)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(2×1,5×4)＝eq\f(1,10).(2)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).類型二條件概率性質(zhì)的應(yīng)用(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例】有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________．【思路導引】另一瓶是紅色與是黑色是兩個互斥事件，且都是在取得的兩瓶中有一瓶是藍色的情況下求解，因此它可依據(jù)條件概率的性質(zhì)求解．【解析】設(shè)事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D＝B∪C且B與C互斥．又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(7,10)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＋eq\f(P（AC）,P（A）)＝eq\f(6,7).答案：eq\f(6,7)較復(fù)雜事件概率的求法(1)把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件之和，求出這些較簡單事件的概率，(2)再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但應(yīng)注意這個公式在“B與C互斥”這一前提下才成立．1．1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？【解析】記事件A為最后從2號箱中取出的是紅球；事件B為從1號箱中取出的是紅球．P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)因為P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).2．在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．【解析】設(shè)“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C.方法一：(定義法)由題意知P(A)＝eq\f(1,10)，P(AB)＝eq\f(1×2,10×9)＝eq\f(1,45)，P(AC)＝eq\f(1×3,10×9)＝eq\f(1,30).所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,45)÷eq\f(1,10)＝eq\f(2,9)，P(C|A)＝eq\f(P（AC）,P（A）)＝eq\f(1,30)÷eq\f(1,10)＝eq\f(1,3).所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,9).所以所求的條件概率為eq\f(5,9).方法二：(直接法)因為n(A)＝1×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))＝9，n(B∪C|A)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝5，所以P(B∪C|A)＝eq\f(5,9).所以所求的條件概率為eq\f(5,9).類型三條件概率的實際應(yīng)用(數(shù)學建模、數(shù)學運算)【典例】一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可以從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機上取錢時，忘了密碼的最后一位數(shù)字．求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率．四步內(nèi)容理解題意條件：密碼共有6位數(shù)字，忘了最后一位數(shù)字．結(jié)論：任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；以及如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率．思路探求(1)設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i＝1，2)，則A＝A1∪(eq\x\to(A)1A2)表示不超過2次按對密碼．事件A1與事件eq\x\to(A)1A2互斥，則P(A)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2).(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\x\to(A)1A2)|B).書寫表達設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i＝1，2)，則A＝A1∪(eq\x\to(A)1A2)表示不超過2次按對密碼．(1)因為事件A1與事件eq\x\to(A)1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,5).(2)B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\x\to(A)1A2)|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(2,5).注意書寫的規(guī)范性：①設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i＝1，2)，則A＝A1∪(eq\x\to(A)1A2)表示不超過2次按對密碼．②P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\x\to(A)1A2)|B).題后反思已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當于把A看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(\f(n（AB）,n（Ω）),\f(n（A）,n（Ω）))＝eq\f(P（AB）,P（A）).若事件B，C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即為了求比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解成兩個(或若干個)互斥的較簡單事件，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．箱子里有20張獎券，其中只有5張能中獎，從中任意摸出2張，打開其中1張發(fā)現(xiàn)中獎，求這2張都中獎的概率．【解析】若A表示摸出1張中獎，B表示摸出的2張都中獎，所求概率為P(B|A).P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(20)))＝eq\f(1,4)，P(AB)＝P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)))＝eq\f(1,19)所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(4,19).1．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風的概率為eq\f(9,30)，下雨的概率為eq\f(11,30)，既吹東風又下雨的