七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 一元一次方程知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一元一次方程知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

（3）列方程，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，注意方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ax+b=0，需要將方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式．（4）解方程，根據(jù)解法將方程解出未知數(shù)的值．（5）檢驗(yàn)，將求得的未知數(shù)代入原問題中檢驗(yàn)是否符合題意．2、應(yīng)用題的類型：（1）關(guān)于比例的應(yīng)用題；（2）關(guān)于速度、時(shí)間、距離的應(yīng)用題；（3）關(guān)于人數(shù)、年齡的應(yīng)用題；（4）關(guān)于物品價(jià)格、利潤的應(yīng)用題；（5）其他類型的應(yīng)用題．要點(diǎn)詮釋：列一元一次方程解應(yīng)用題需要注意審題、設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)等步驟，同時(shí)需要掌握不同類型的應(yīng)用題的解法和技巧．1、解方程的基本步驟：首先，列方程，把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，然后解方程，最后檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，寫出答案。2、應(yīng)用題的書寫格式：設(shè)→根據(jù)題意→解這個(gè)方程→答。3、常見的一些等量關(guān)系：在列方程解應(yīng)用題時(shí)，常見的等量關(guān)系有和、差、倍、分問題、等積變形問題、行相遇問題、追及問題、順逆流問題、勞力調(diào)配問題、工程問題、利潤率問題等。4、方程、整式和等式的區(qū)別：整式是由單項(xiàng)式或多項(xiàng)式組成的代數(shù)式，等式是用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子，而方程是含有未知數(shù)的等式。方程必須同時(shí)具備等式和含有未知數(shù)的特點(diǎn)。1、判斷一個(gè)式子是否是一元一次方程：方程是用“＝”將兩個(gè)代數(shù)式連接起來的等式，而整式僅用運(yùn)算符號(hào)連接起來，不含有等號(hào)。等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必須含有未知數(shù)。但整式必不含有等號(hào)，不一定含有未知量，分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括號(hào)，去括號(hào)與合并同類項(xiàng)可交替進(jìn)行。(2)當(dāng)括號(hào)內(nèi)含有分?jǐn)?shù)時(shí)，常由外向內(nèi)先去括號(hào)，再去分母。(3)當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，可用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化成整數(shù)。(4)運(yùn)用整體思想，即把含有未知數(shù)的代數(shù)式看做整體進(jìn)行變形。3、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝2；⑦y=8；⑧x=0。其中方程的個(gè)數(shù)是6個(gè)，即①④⑤⑥⑦⑧。舉一反三：[變式1]判斷下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x+3=x（2）3x-1=2y（3）x+2=2（4）2x-1=1-2(2x-x)22解析：判斷是否為一元一次方程需要對(duì)原方程進(jìn)行化簡后再作判斷。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是[變式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。解析：分兩種情況：（1）只含字母y，則有(a-3)(2a+5)=0且a-3≠0（2）只含字母x，則有a-3=0且(a-3)(2a+5)≠0不可能綜上，a的值為3。[變式3]（2011重慶江津）已知3是關(guān)于x的方程2x－a=1的解,則a的值是()A．－5B．5C．7D．2答案：B類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1。如果我們?cè)诶喂陶莆者@一常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程原形和特點(diǎn)，靈活安排解題步驟，并且巧妙地運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1．巧湊整數(shù)解方程：2x/3-1/4=1/6思路點(diǎn)撥：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)和為2，常數(shù)項(xiàng)的和為-1/4+1/6=-1/12。故直接移項(xiàng)湊成整數(shù)比先去分母簡單。解：移項(xiàng)，得16x-3=4，化簡后得x=1/2。合并同類項(xiàng)，得5x=-17.（依據(jù)：將4x和-2合并，得-2+4x=-2+4x，將9x和-15合并，得9x-15=9x-15。）系數(shù)化為1，得x=-17/5.（依據(jù)：將5x除以5，得x=-17/5。）解方程：2x-3(x+1/2)=5(x-1/3)+7/4.（依據(jù)：將3(x+1/2)化為6/2(x+1/2)，將5(x-1/3)化為15/3(x-1/3)。）去括號(hào)，得2x-3x-3/2=5x-5/3+7/4.（依據(jù)：將6/2(x+1/2)和15/3(x-1/3)去括號(hào)。）合并同類項(xiàng)，得-x=11/12.（依據(jù)：將2x和-3x合并，得-x=-x，將5x和-5/3合并，得5x-5/3=15x/3-5/3=10x/3-5/3。）系數(shù)化為1，得x=-11/12.（依據(jù)：將-x除以-1，得x=11/12。）解方程：(3/4)x+1/2-(2/3)x=1/6.（依據(jù)：將(3/4)x和(2/3)x化為12的倍數(shù)，即9x/12和8x/12。）合并同類項(xiàng)，得(1/12)x+1/2=1/6.（依據(jù)：將9x/12和8x/12合并，得17x/12。）移項(xiàng)，得(1/12)x=1/6-1/2=-1/3.（依據(jù)：將1/2移到等號(hào)右邊，得(1/12)x=-1/6，再將1/6和1/2合并，得-1/3。）系數(shù)化為1，得x=-4.（依據(jù)：將(1/12)x乘以12，得x=-4。）解方程：(1/2)x+1/(3/4)x=17/12.（依據(jù)：將1/(3/4)x化為4/3x。）拆項(xiàng)，得(1/2)x+(4/3)x=17/12.（依據(jù)：將1/(3/4)x拆成1/x÷3/4，得4/3x。）合并同類項(xiàng)，得(11/6)x=17/12.（依據(jù)：將(1/2)x和(4/3)x合并，得11/6x。）系數(shù)化為1，得x=2/3.（依據(jù)：將(11/6)x除以11/6，得x=2/3。）解方程：(2/5)x+1.2=1.4-(1/5)x.（依據(jù)：將(2/5)x和(1/5)x化為5的倍數(shù)，即2x/5和x/5。）合并同類項(xiàng)，得(7/5)x=-0.2.（依據(jù)：將(2/5)x和-(1/5)x合并，得(7/5)x，將1.4和1.2合并，得2.6，將2.6和-(x/5)合并，得2.6-(x/5)。）系數(shù)化為1，得x=-0.2×5/7=-1/7.（依據(jù)：將(7/5)x除以7/5，得x=-2/5，再將-0.2化為分?jǐn)?shù)-1/5，得x=-1/7。）解題思路：將方程整體看作一個(gè)數(shù)，通過移項(xiàng)和合并同類項(xiàng)等操作，將其化簡為一個(gè)簡單的一元一次方程，再求解即可。解法一：移項(xiàng)，得3x+5=2x-1。合并同類項(xiàng)，得x=-6。解法二：將方程整體看作一個(gè)數(shù)，得3x+5=2x-1。移項(xiàng)，得x=-6。9、解題思路：將方程中的分式化簡為整式，通過移項(xiàng)和合并同類項(xiàng)等操作，將其化簡為一個(gè)簡單的一元一次方程，再求解即可。解：將方程中的分式化簡為整式，得移項(xiàng)，得3(3x+5)=2(2x-1)。去括號(hào)，得9x+15=4x-2。移項(xiàng)，得5x=-17。系數(shù)化為1，得x=-17/5。解題步驟：1.根據(jù)題意列出表格，設(shè)甲的速度為x，乙的速度為y。2.利用速度公式求出相遇時(shí)甲、乙行駛的路程。3.利用路程公式求出乙相遇后到達(dá)A地的路程。4.根據(jù)題意列出方程，解得甲、乙的速度。解：根據(jù)題意列出表格如下：甲乙相遇前速度x速度y時(shí)間3時(shí)間3路程3x路程3y+90相遇后時(shí)間1時(shí)間4路程4y根據(jù)速度公式，可得：3x=3y+904y=3x+90將第一個(gè)式子代入第二個(gè)式子中，得：4y=3(3y-90)+90化簡得：y=60將y代入第一個(gè)式子中，得：x=50所以甲、乙的速度分別是50千米/時(shí)和60千米/時(shí)。舉一反三：【變式】甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛.出發(fā)后經(jīng)4小時(shí)兩人相遇.已知在相遇時(shí)乙比甲多行了120千米，相遇后經(jīng)2小時(shí)乙到達(dá)A地.問甲、乙行駛的速度分別是多少？解：按照上述步驟列出表格，設(shè)甲的速度為x，乙的速度為y。甲乙相遇前速度x速度y時(shí)間4時(shí)間4路程4x路程4y+120相遇后時(shí)間2時(shí)間6路程6y根據(jù)速度公式，可得：4x=4y+1206y=4x+120將第一個(gè)式子代入第二個(gè)式子中，得：6y=4(4y-120)+120化簡得：y=60將y代入第一個(gè)式子中，得：x=50所以甲、乙的速度分別是50千米/時(shí)和60千米/時(shí)。在2006年8月的日歷中，任意圈出一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為a，則用含a的代數(shù)式表示這三個(gè)數(shù)(從小到大排列)分別是a-1、a、a+1?，F(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2006按圖中的方式排成一個(gè)長方形陣列，用一個(gè)長方形框出16個(gè)數(shù)。①圖中框出的這16個(gè)數(shù)的和是1+2+3+4+17+18+19+20+33+34+35+36+49+50+51+52=408。②在圖(2)中，要使一個(gè)長方形框出的16個(gè)數(shù)之和分別等于2000、2006，不可能。因?yàn)?6個(gè)數(shù)的和必定是4的倍數(shù)，而2000和2006都不是4的倍數(shù)。經(jīng)過簡單觀察可以發(fā)現(xiàn)，日歷中每一豎列上相鄰的三個(gè)數(shù)，下面的數(shù)總比上面的數(shù)大7。所以我們可以設(shè)這16個(gè)數(shù)分別為a－7，a，a＋7，a＋14，a＋21，a＋28，a＋35，a＋42，a＋49，a＋56，a＋63，a＋70，a＋77，a＋84，a＋91，a＋98。由于第一個(gè)數(shù)10與最后一個(gè)數(shù)34的和為44，第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)，……，它們的和都是44。所以這16個(gè)數(shù)的和為16a＋192，即16a＋192＝2000時(shí)，a＝113，當(dāng)16a＋192＝2006時(shí)，a＝113.375。因?yàn)閍是自然數(shù)，所以a＝113.375不符合題意，即框出的16個(gè)數(shù)的和不可能是2006。由方形陣列的排法可知，a只可能在1,2，3,4列，即a被7除的余數(shù)只可能是1,2，3,4。因?yàn)?13＝16×7＋1，即113被7除余1,113在第一列中，所以這16個(gè)數(shù)的和是2000是可能的，這時(shí)，方框中最小的數(shù)是113，最大的數(shù)是113＋24＝137。我們可以總結(jié)出日歷中的數(shù)量關(guān)系：每一橫排相鄰兩個(gè)數(shù)字之間差1，每一豎排相鄰兩個(gè)數(shù)字之間差7，左上到右下方向相鄰兩個(gè)數(shù)字之間差8，右上到左下方向相鄰兩個(gè)數(shù)字之間差6。此外，用一個(gè)正方形任意圈出9個(gè)數(shù)，其中中間一個(gè)數(shù)字是所有九個(gè)數(shù)字的平均值，每一橫排、每一豎排、每一斜排，中間一個(gè)數(shù)字都是它們的平均值。舉一反三，我們可以嘗試解決一個(gè)變式問題：每人準(zhǔn)備一份日歷，在各自的日歷上任意圈一個(gè)豎列上的相鄰的四個(gè)數(shù)，兩個(gè)分別把自己所圈4個(gè)數(shù)的和告訴同伴，由同伴求出這個(gè)數(shù)。如果告訴的和為42，則四個(gè)數(shù)分別為x－7，x，x＋7，x＋14，解方程可得x＝7，不符合實(shí)際，此題無解。如果告訴的和為60，則四個(gè)數(shù)分別為x－7，x，x＋7，x＋14，解方程可得x＝12，所以這四個(gè)數(shù)的和為x－7＋x＋x＋7＋x＋14＝4x＝48。4.銀行儲(chǔ)蓄題目中給出的等式4x=46無解，因?yàn)槿諝v上不可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)。因此，無法計(jì)算x的值。13.銀行儲(chǔ)蓄小張存入銀行一筆錢，月利率為2%，利息稅為20%。在5個(gè)月后，他取出了本息和為1080元。要求計(jì)算小張存入的本金是多少。設(shè)小張存入的本金為x元，則5個(gè)月后的利息為0.1x元。這些利息需要交納利息稅，即0.02x元。由此可列出方程x+0.1x-0.02x=1080，解得x=1000。因此，小張存入銀行的本金為1000元。舉一反三：題目中給出了一組條件，要求計(jì)算某人存入的人民幣數(shù)。根據(jù)題意，設(shè)該人存入的人民幣數(shù)為x元，則利息稅為0.45%x元。根據(jù)題目中給出的信息，可以列出方程x×2.25%×20%=0.45%x+72。解得x=16000。因此，該人存入的人民幣數(shù)為16000元。5.圖表信息題題目中給出了小明家2005年1月至5月的平時(shí)段和谷時(shí)段的用電量，以及相應(yīng)的電費(fèi)。根據(jù)這些信息，可以回答以下問題：（1）計(jì)算5月份的用電量及相應(yīng)的電費(fèi)。根據(jù)圖表中的折線圖，5月份的用電量約為120千瓦時(shí)，因此相應(yīng)的電費(fèi)為(120-60)×0.30=18元。（2）小明家這5個(gè)月的平均用電量為(90+92+98+105+120)/5=101千瓦時(shí)。（3）小明家這5個(gè)月每月用電量呈上升趨勢(shì)，每月電費(fèi)呈下降趨勢(shì)。（4）根據(jù)小明的估計(jì)，7月份家中用電量可達(dá)500千瓦時(shí)，相應(yīng)電費(fèi)將達(dá)243元。設(shè)平時(shí)段用電量為x千瓦時(shí)，則谷時(shí)段用電量為(500-x)千瓦時(shí)。因此，可以列出方程0.61x+0.30(500-x)=243，解得x≈305。因此，7月份小明家的平時(shí)段用電量約為305千瓦時(shí)，谷時(shí)段用電量約為195千瓦時(shí)。根據(jù)第一張圖可知，小明家5月份平時(shí)段用電量為45千瓦時(shí)，谷時(shí)段用電量為65千瓦時(shí)，因此5月份總用電量為110千瓦時(shí)。根據(jù)電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算，電費(fèi)為65×0.30+45×0.61=46.95元。平均用電量實(shí)際上就是求五個(gè)月用電量的平均數(shù)，即用電量的總和除以5。根據(jù)第二張圖可知，用電量呈上升下降的趨勢(shì)。假設(shè)小明家7月份平時(shí)段用電量為x千瓦時(shí)，則谷時(shí)段用電量為500x千瓦時(shí)。根據(jù)平時(shí)段用電量的電費(fèi)加上谷時(shí)段用電量的電費(fèi)等于243元的條件，可以列出方程0.61x+0.30(500x)=243，解方程得到x=300。因此，小明家7月份平時(shí)段用電量為300千瓦時(shí)，谷時(shí)段用電量為200千瓦時(shí)。舉一反三：根據(jù)個(gè)稅法草案，起征點(diǎn)提高到每月3000元，9級(jí)超額累進(jìn)稅率改為7級(jí)。其中1-5級(jí)稅率情況如下表所示：（表格見原文）計(jì)算個(gè)人所得稅時(shí)，可以使用月應(yīng)納稅額乘以適用稅率減去速算扣除數(shù)的方法，也可以按照超額累進(jìn)稅率計(jì)算。請(qǐng)將表格中的“速算扣除數(shù)”填寫完整，分別為