方程組的應(yīng)用【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升

專題26方程組的應(yīng)用一、和差倍分問題【典例】疫情期間為保護(hù)學(xué)生和教師的健康，某學(xué)校儲(chǔ)備“抗疫物資”用29000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計(jì)900盒，甲，乙兩種口罩的售價(jià)分別是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙兩種口罩各購進(jìn)了多少盒？（2）現(xiàn)已知甲，乙兩種口罩的數(shù)量分別是20個(gè)/盒，25個(gè)/盒，按照市教育局要求，學(xué)校必須儲(chǔ)備足夠使用10天的口罩，該校師生共計(jì)900人，每人每天2個(gè)口罩，問購買的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足市教育局的要求？【解答】解：（1）設(shè)甲種口罩購進(jìn)了x盒，乙種口罩購進(jìn)了y盒，依題意得：x+y=900解得：x=500答：甲種口罩購進(jìn)了500盒，乙種口罩購進(jìn)了400盒．（2）20×500+25×400＝10000+10000＝20000（個(gè)），2×900×10＝18000（個(gè)）．∵20000＞18000，∴購買的口罩?jǐn)?shù)量能滿足市教育局的要求．【鞏固】某中學(xué)擬組織七年級(jí)師生去參觀蘇州博物館．下面是張老師和小芳、小明同學(xué)有關(guān)租車問題的對話：張老師：“客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號(hào)的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴150元．”小芳：“八年級(jí)師生昨天在這個(gè)客運(yùn)公司租了5輛60座和3輛45座的客車到蘇州博物館，一天的租金共計(jì)6750元．”小明：“如果我們七年級(jí)租用45座的客車a輛，那么還有15人沒有座位；如果租用60座的客車則可少租1輛，且有一輛車上的人不足一半．”根據(jù)以上對話，解答下列問題：（1）客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？（2）求出滿足條件的a的值．（3）若同時(shí)租用兩種或一種客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車恰好坐滿，問有哪幾種租車方案？二、增長率問題【學(xué)霸筆記】1. 增長量=原有量×增長率；2. 原有量=現(xiàn)有量-增長量；3. 現(xiàn)有量=原有量×（1+增長率）.【典例】為了研究吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)調(diào)查了10000人，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果顯示：在吸煙者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%，吸煙者患肺癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人，如果設(shè)這10000人中，吸煙者患肺癌的人數(shù)為x，不吸煙者患肺癌的人數(shù)為y，根據(jù)題意，下面列出的方程組正確的是（）A．x-B．x-C．x+y=10000D．x+y=【解答】解：根據(jù)題意可得在調(diào)查的10000人中，吸煙者的人數(shù)為x2.5所以x2根據(jù)吸煙者患癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人，得x﹣y＝22，聯(lián)立可得方程組x-故選：B．【鞏固】越來越多的人在用微信付款、轉(zhuǎn)賬．把微信賬戶里的錢轉(zhuǎn)到銀行卡叫做提現(xiàn)，自2016年3月1日起，每個(gè)微信賬戶終身享有1000元的免費(fèi)提現(xiàn)額度，當(dāng)累計(jì)提現(xiàn)金額超過1000元時(shí)，超出的部分需支付0.1%的手續(xù)費(fèi)，以后每次提現(xiàn)支付的手續(xù)費(fèi)均為提現(xiàn)金額的0.1%，（1）小明用自己的微信賬戶第一次提現(xiàn)金額為1500元，需支付手續(xù)費(fèi)0.5元．（2）小麗使用微信至今，用自己的微信賬戶共提現(xiàn)三次，提現(xiàn)金額和手續(xù)費(fèi)如下：第一次第二次第三次提現(xiàn)金額ab2a+3b手續(xù)費(fèi)/元00.23.1求小麗前兩次提現(xiàn)的金額分別為多少元．三、配套問題【學(xué)霸筆記】1. 解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身存在的等量關(guān)系，如：“二合一”配套問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品的a倍，即；“三合一”配套問題：如果a件甲產(chǎn)品，b件乙產(chǎn)品，c件丙產(chǎn)品配成一套，那么它們之間應(yīng)滿足的關(guān)系式為.【典例】某機(jī)械廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓50個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，恰好能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成一套？【解答】解：設(shè)每天安排x名工人生產(chǎn)螺栓，y名工人生產(chǎn)螺母．由題意x+y=解得x=答：每天安排20名工人生產(chǎn)螺栓，100名工人生產(chǎn)螺母，恰好能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成一套．【鞏固】某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒與金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個(gè)頂點(diǎn)由一個(gè)金屬球鑲嵌），并且根據(jù)材質(zhì)優(yōu)劣分為高檔、中檔和低檔三種檔次進(jìn)行包裝．（1）該廠家的一個(gè)車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)正方體教具，該車間共有33名工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或者金屬球80個(gè)，如果你是車間主任，你會(huì)如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？（2）現(xiàn)某中學(xué)購買兩種檔次的正方體教具共100套（價(jià)格如表所示），若恰好用了1800元，請問該學(xué)校應(yīng)該如何購買該教具？品種高檔中檔低檔價(jià)格（元/套）302010四、工程問題【典例】綜合與探究．列方程組解應(yīng)用問題要先審題、找相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)、列方程，最后解方程、寫出答案．設(shè)未知數(shù)時(shí)可采用“直接設(shè)法”與“間接設(shè)法”．甲、乙兩名同學(xué)在做下面應(yīng)用題：“嫩江是齊齊哈爾的母親河，為加強(qiáng)河壩的防洪能力，現(xiàn)有一段長為180米的河壩加固任務(wù)由A、B兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成．A工程隊(duì)每天加固河道12米，B工程隊(duì)每天加固河道8米，共用時(shí)20天．求A、B兩工程隊(duì)分別加固河道多少米？”請你根據(jù)所給題目，解決下列問題：（1）如果甲同學(xué)采用直接設(shè)法：可設(shè)x表示，y表示．那么依題意可列方程組，解得．如果乙同學(xué)采用間接設(shè)法：可設(shè)a表示，b表示．那么依題意可列方程組，解得．（2）請你直接寫出A、B兩工程隊(duì)分別加固河道多少米？【解答】解：（1）甲同學(xué)：設(shè)x表示A工程隊(duì)加固河道的長度，y表示B工程隊(duì)加固河道的長度，依題意得：x+y=180解得：x=60乙同學(xué)：設(shè)a表示A工程隊(duì)工作時(shí)間，b表示B工程隊(duì)工作時(shí)間，依題意得：a+b=20解得：a=5故答案為：A工程隊(duì)加固河道的長度；B工程隊(duì)加固河道的長度；x+y=180x12+y8=20；x=60（2）A工程隊(duì)加固河道60米，B工程隊(duì)加固河道120米．【鞏固】某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，225天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，334天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，267五、行程問題【典例】小明和哥哥在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑．他們從同一起點(diǎn)沿相反方向同時(shí)出發(fā)，每隔25s鐘相遇一次．現(xiàn)在，他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過25min哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明時(shí)，小明跑了多少圈？【解答】解：設(shè)哥哥的速度是V1米/秒，小明的速度是V2米/秒．環(huán)形跑道的周長為s米．（1）由題意，有25(整理得，4v2＝2v1，所以，V1＝2V2．答：哥哥速度是小明速度的2倍．（2）設(shè)小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．根據(jù)題意，得2x﹣x＝20，解得，x＝20．故經(jīng)過了25分鐘小明跑了20圈．【鞏固】甲、乙兩班同時(shí)從學(xué)校A出發(fā)去距離學(xué)校75km的軍營B軍訓(xùn)，甲班學(xué)生步行速度為4km/h，乙班學(xué)生步行速度為5km/h，學(xué)校有一輛汽車，該車空車速度為40km/h，載人時(shí)的速度為20km/h，且這輛汽車一次恰好只能載一個(gè)班的學(xué)生，現(xiàn)在要求兩個(gè)班的學(xué)生同時(shí)到達(dá)軍營，問他們至少需要多少時(shí)間才能到達(dá)？鞏固練習(xí)1．母親節(jié)到了，小紅，小莉，小瑩到花店買花送給自己的母親．小紅買了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉買了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小瑩買上面三種花各2枝，則她應(yīng)付元．2．某商場地下停車場有5個(gè)出口，5個(gè)入口，每天早晨7點(diǎn)開始對外停車且此時(shí)車位空置率為80%，在每個(gè)出入口的車輛數(shù)均是勻速出入的情況下，如果開放2個(gè)入口和2個(gè)出口，8小時(shí)車庫恰好停滿；如果開放4個(gè)入口和2個(gè)出口，1.6小時(shí)車庫恰好停滿．2021年五一節(jié)期間，由于商場人數(shù)增多，早晨7點(diǎn)時(shí)的車位空置率變?yōu)?0%，又因?yàn)檐噹旄脑欤荒荛_放3個(gè)入口和2個(gè)出口，則從早晨7點(diǎn)開始經(jīng)過小時(shí)車庫恰好停滿．3．甲、乙兩城相距1120千米，一列快車從甲城出發(fā)120千米后，另一列動(dòng)車從乙城出發(fā)開往甲城，2個(gè)小時(shí)后兩車相遇．若快車平均每小時(shí)行駛的路程比動(dòng)車平均每小時(shí)行駛的路程的一半還多5千米，動(dòng)車與快車平均每小時(shí)各行駛多少千米？4．在手工制作課上，老師組織班級(jí)同學(xué)用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學(xué)生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學(xué)每小時(shí)剪筒身40個(gè)或剪筒底120個(gè)．（1）求這個(gè)班男生、女生各有多少人？（2）原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，若要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，請說明每小時(shí)剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請說明如何調(diào)配人員，才能使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套？5．開學(xué)前夕，小明去文具店購買學(xué)習(xí)用品，已知購買3本筆記本和5支簽字筆需花費(fèi)25元，購買4本筆記本和7支簽字筆需花費(fèi)34元．（1）求筆記本和簽字筆的單價(jià)分別為多少元？（2）恰逢甲、乙兩文具店“開學(xué)季”促銷活動(dòng)，甲文具店所有商品均打九折；乙文具店購買超過30元的部分打8折．小明計(jì)劃購買筆記本和簽字筆共15個(gè)（筆記本和簽字筆都購買），則他在哪家店購買更劃算？6．雜交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻(xiàn)，樂清某超市購進(jìn)A、B型兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：類型進(jìn)價(jià)（元/袋）售價(jià)（元/袋）A型大米2030B型大米3045（1）該超市在6月份購進(jìn)A、B型兩種大米共90袋，進(jìn)貨款恰好為2200元，①求這兩種大米各購進(jìn)多少袋？②據(jù)6月份的銷售統(tǒng)計(jì)，兩種大米的銷售總額為1200元，求該超市6月份已售出大米的進(jìn)貨款為多少元？（2）為刺激銷量，超市決定在進(jìn)貨款仍為2200元的情況下，7月份增加購進(jìn)C型大米作為贈(zèng)品，進(jìn)價(jià)為每袋10元，并出臺(tái)了“買3袋A型大米送1袋C型大米，買3袋B型大米送2袋C型大米”的促銷方案，若7月份超市的購進(jìn)數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時(shí)購進(jìn)3種大米各多少袋？7．學(xué)校提倡練字，小冬和小紅一起去文具店買鋼筆和字帖，小冬在文具店買1支鋼筆和3本字帖共花了38元，小紅買了2支鋼筆和4本字帖共花了64元．（1）每支鋼筆與每本字帖分別多少元？（2）帥帥在六一節(jié)當(dāng)天去買，正巧碰到文具店搞促銷，促銷方案有兩種形式：①所購商品均打九折②買一支鋼筆贈(zèng)送一本字帖帥帥要買5支鋼筆和15本字帖，他有三種選擇方案：（Ⅰ）一次買5支鋼筆和15本字帖，然后按九折付費(fèi)；（Ⅱ）一次買5支鋼筆和10本字帖，文具店再贈(zèng)送5本字帖；（Ⅲ）分兩次購買，第一次買5支鋼筆，文具店會(huì)贈(zèng)送5本字帖，第二次再去買10本字帖，可以按九折付費(fèi)；問帥帥最少要付多少錢？8．男女運(yùn)動(dòng)員各一名，在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員速度快，如果他們從同一起跑點(diǎn)沿相反方向同時(shí)出發(fā)，那么每隔25秒相遇一次，現(xiàn)在他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時(shí)出發(fā)，男運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過15分鐘時(shí)追上女運(yùn)動(dòng)員，并且比女運(yùn)動(dòng)員多跑了4圈．求：（1）男運(yùn)動(dòng)員的速度是女運(yùn)動(dòng)員速度的多少倍？（2）男運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過15分鐘追上女運(yùn)動(dòng)員時(shí)，女運(yùn)動(dòng)員跑了多少圈？9．某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動(dòng)扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時(shí)從自動(dòng)扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級(jí)，且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級(jí)到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級(jí)到達(dá)頂部．（1）扶梯露在外面的部分有多少級(jí)？（2）現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺(tái)階的級(jí)數(shù)與自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)相等，兩個(gè)孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動(dòng)扶梯上