方程組的應(yīng)用【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升 （ 含答案解析 ）

專題26方程組的應(yīng)用一、和差倍分問題【典例】疫情期間為保護(hù)學(xué)生和教師的健康，某學(xué)校儲備“抗疫物資”用29000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計(jì)900盒，甲，乙兩種口罩的售價(jià)分別是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙兩種口罩各購進(jìn)了多少盒？（2）現(xiàn)已知甲，乙兩種口罩的數(shù)量分別是20個/盒，25個/盒，按照市教育局要求，學(xué)校必須儲備足夠使用10天的口罩，該校師生共計(jì)900人，每人每天2個口罩，問購買的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足市教育局的要求？【解答】解：（1）設(shè)甲種口罩購進(jìn)了x盒，乙種口罩購進(jìn)了y盒，依題意得：x+y=900解得：x=500答：甲種口罩購進(jìn)了500盒，乙種口罩購進(jìn)了400盒．（2）20×500+25×400＝10000+10000＝20000（個），2×900×10＝18000（個）．∵20000＞18000，∴購買的口罩?jǐn)?shù)量能滿足市教育局的要求．【鞏固】某中學(xué)擬組織七年級師生去參觀蘇州博物館．下面是張老師和小芳、小明同學(xué)有關(guān)租車問題的對話：張老師：“客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座的貴150元．”小芳：“八年級師生昨天在這個客運(yùn)公司租了5輛60座和3輛45座的客車到蘇州博物館，一天的租金共計(jì)6750元．”小明：“如果我們七年級租用45座的客車a輛，那么還有15人沒有座位；如果租用60座的客車則可少租1輛，且有一輛車上的人不足一半．”根據(jù)以上對話，解答下列問題：（1）客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元？（2）求出滿足條件的a的值．（3）若同時租用兩種或一種客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車恰好坐滿，問有哪幾種租車方案？【解答】解：（1）設(shè)60座和45座的客車每輛每天的租金分別是x元、y元，由題意得x-y=答：60座和45座的客車每輛每天的租金分別是900元和750元（2）由已知，七年級人數(shù)為（45a+15）人由題意45a+a＜9a∴a＝8（3）由（2）七年級共45×8+15＝375人設(shè)60座和45座車分別為m輛n輛則60m+45n＝3754m+3n＝25則有m=解得n≤∴n為可取0﹣8的整數(shù)∵m為整數(shù)∴n＝3時，m＝4n＝7時，m＝1∴租車方案有兩種：方案一：60座4輛，45座3輛方案二：60座1輛，45座7輛二、增長率問題【學(xué)霸筆記】1. 增長量=原有量×增長率；2. 原有量=現(xiàn)有量-增長量；3. 現(xiàn)有量=原有量×（1+增長率）.【典例】為了研究吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)調(diào)查了10000人，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果顯示：在吸煙者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%，吸煙者患肺癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人，如果設(shè)這10000人中，吸煙者患肺癌的人數(shù)為x，不吸煙者患肺癌的人數(shù)為y，根據(jù)題意，下面列出的方程組正確的是（）A．x-y=22x×2C．x+y=10000D．x+y=【解答】解：根據(jù)題意可得在調(diào)查的10000人中，吸煙者的人數(shù)為x2.5所以x2根據(jù)吸煙者患癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人，得x﹣y＝22，聯(lián)立可得方程組x-故選：B．【鞏固】越來越多的人在用微信付款、轉(zhuǎn)賬．把微信賬戶里的錢轉(zhuǎn)到銀行卡叫做提現(xiàn)，自2016年3月1日起，每個微信賬戶終身享有1000元的免費(fèi)提現(xiàn)額度，當(dāng)累計(jì)提現(xiàn)金額超過1000元時，超出的部分需支付0.1%的手續(xù)費(fèi)，以后每次提現(xiàn)支付的手續(xù)費(fèi)均為提現(xiàn)金額的0.1%，（1）小明用自己的微信賬戶第一次提現(xiàn)金額為1500元，需支付手續(xù)費(fèi)0.5元．（2）小麗使用微信至今，用自己的微信賬戶共提現(xiàn)三次，提現(xiàn)金額和手續(xù)費(fèi)如下：第一次第二次第三次提現(xiàn)金額ab2a+3b手續(xù)費(fèi)/元00.23.1求小麗前兩次提現(xiàn)的金額分別為多少元．【解答】解：（1）（1500﹣1000）×0.1%＝0.5（元）．故答案為：0.5；（2）由題意得：(a+b-解得：a=500∴小麗前兩次提現(xiàn)的金額分別為500元、700元．答：小麗前兩次提現(xiàn)的金額分別為500元、700元．三、配套問題【學(xué)霸筆記】1. 解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身存在的等量關(guān)系，如：“二合一”配套問題：如果a件甲產(chǎn)品和b件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的b倍等于乙產(chǎn)品的a倍，即；“三合一”配套問題：如果a件甲產(chǎn)品，b件乙產(chǎn)品，c件丙產(chǎn)品配成一套，那么它們之間應(yīng)滿足的關(guān)系式為.【典例】某機(jī)械廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓50個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，恰好能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成一套？【解答】解：設(shè)每天安排x名工人生產(chǎn)螺栓，y名工人生產(chǎn)螺母．由題意x+y=解得x=答：每天安排20名工人生產(chǎn)螺栓，100名工人生產(chǎn)螺母，恰好能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成一套．【鞏固】某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒與金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個頂點(diǎn)由一個金屬球鑲嵌），并且根據(jù)材質(zhì)優(yōu)劣分為高檔、中檔和低檔三種檔次進(jìn)行包裝．（1）該廠家的一個車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)正方體教具，該車間共有33名工人，每個工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或者金屬球80個，如果你是車間主任，你會如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？（2）現(xiàn)某中學(xué)購買兩種檔次的正方體教具共100套（價(jià)格如表所示），若恰好用了1800元，請問該學(xué)校應(yīng)該如何購買該教具？品種高檔中檔低檔價(jià)格（元/套）302010【解答】解：（1）設(shè)安排x人生產(chǎn)塑料棒，則安排（33﹣x）人生產(chǎn)金屬球，依題意得：100x解得：x＝18，∴33﹣x＝33﹣18＝15．答：應(yīng)安排18人生產(chǎn)塑料棒，15人生產(chǎn)金屬球．（2）∵每套教具的均價(jià)為1800÷100＝18（元/套），∴只有購買高、低檔和購買中、低檔兩種情況．當(dāng)購買高、低兩檔時，設(shè)購買高檔正方體教具a套，低檔正方體教具b套，依題意得：a+b=100解得：a=40b=60．∴學(xué)校購買高檔正方體教具40當(dāng)購買中、低檔時，設(shè)購買中檔正方體教具m套，低檔正方體教具n套，依題意得：m+n=100解得：m=80∴學(xué)校購買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．答：該學(xué)校應(yīng)購買高檔正方體教具40套，低檔正方體教具60套或購買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．四、工程問題【典例】綜合與探究．列方程組解應(yīng)用問題要先審題、找相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)、列方程，最后解方程、寫出答案．設(shè)未知數(shù)時可采用“直接設(shè)法”與“間接設(shè)法”．甲、乙兩名同學(xué)在做下面應(yīng)用題：“嫩江是齊齊哈爾的母親河，為加強(qiáng)河壩的防洪能力，現(xiàn)有一段長為180米的河壩加固任務(wù)由A、B兩個工程隊(duì)先后接力完成．A工程隊(duì)每天加固河道12米，B工程隊(duì)每天加固河道8米，共用時20天．求A、B兩工程隊(duì)分別加固河道多少米？”請你根據(jù)所給題目，解決下列問題：（1）如果甲同學(xué)采用直接設(shè)法：可設(shè)x表示，y表示．那么依題意可列方程組，解得．如果乙同學(xué)采用間接設(shè)法：可設(shè)a表示，b表示．那么依題意可列方程組，解得．（2）請你直接寫出A、B兩工程隊(duì)分別加固河道多少米？【解答】解：（1）甲同學(xué)：設(shè)x表示A工程隊(duì)加固河道的長度，y表示B工程隊(duì)加固河道的長度，依題意得：x+y=180解得：x=60乙同學(xué)：設(shè)a表示A工程隊(duì)工作時間，b表示B工程隊(duì)工作時間，依題意得：a+b=20解得：a=5故答案為：A工程隊(duì)加固河道的長度；B工程隊(duì)加固河道的長度；x+y=180x12+y8=20；x=60（2）A工程隊(duì)加固河道60米，B工程隊(duì)加固河道120米．【鞏固】某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，225天完成，需180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，334天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊(duì)承包，267【解答】解：設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成．則1x+再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需付u、v、w元，則125(u+v)=于是，由甲隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是45500×4＝182000（元）．由乙隊(duì)單獨(dú)承包，費(fèi)用是29500×6＝177000（元）．而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少．五、行程問題【典例】小明和哥哥在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑．他們從同一起點(diǎn)沿相反方向同時出發(fā)，每隔25s鐘相遇一次．現(xiàn)在，他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時出發(fā)，經(jīng)過25min哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明時，小明跑了多少圈？【解答】解：設(shè)哥哥的速度是V1米/秒，小明的速度是V2米/秒．環(huán)形跑道的周長為s米．（1）由題意，有25(整理得，4v2＝2v1，所以，V1＝2V2．答：哥哥速度是小明速度的2倍．（2）設(shè)小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．根據(jù)題意，得2x﹣x＝20，解得，x＝20．故經(jīng)過了25分鐘小明跑了20圈．【鞏固】甲、乙兩班同時從學(xué)校A出發(fā)去距離學(xué)校75km的軍營B軍訓(xùn)，甲班學(xué)生步行速度為4km/h，乙班學(xué)生步行速度為5km/h，學(xué)校有一輛汽車，該車空車速度為40km/h，載人時的速度為20km/h，且這輛汽車一次恰好只能載一個班的學(xué)生，現(xiàn)在要求兩個班的學(xué)生同時到達(dá)軍營，問他們至少需要多少時間才能到達(dá)？【解答】解：設(shè)甲班學(xué)生從學(xué)校A乘汽車出發(fā)至E處下車步行，乘車akm，空車返回至C處，乙班同學(xué)于C處上車，此時已步行了bkm．則a20解得a＝60，b＝20．則至少需要6020+154=63答：他們至少需要6.75小時才能到達(dá)．鞏固練習(xí)1．母親節(jié)到了，小紅，小莉，小瑩到花店買花送給自己的母親．小紅買了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉買了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小瑩買上面三種花各2枝，則她應(yīng)付元．【解答】解：設(shè)玫瑰、康乃馨、百合花的單價(jià)分別為x元，y元，z元，根據(jù)已知條件，列出方程組3x+②﹣①，得x＝2﹣3y．③將③代入①，得z＝8+2y．④∴x+y+z＝2﹣3y+y+8+2y＝10，∴2（x+y+z）＝20．所以，小瑩應(yīng)付20元．故答案為20．2．某商場地下停車場有5個出口，5個入口，每天早晨7點(diǎn)開始對外停車且此時車位空置率為80%，在每個出入口的車輛數(shù)均是勻速出入的情況下，如果開放2個入口和2個出口，8小時車庫恰好停滿；如果開放4個入口和2個出口，1.6小時車庫恰好停滿．2021年五一節(jié)期間，由于商場人數(shù)增多，早晨7點(diǎn)時的車位空置率變?yōu)?0%，又因?yàn)檐噹旄脑?，只能開放3個入口和2個出口，則從早晨7點(diǎn)開始經(jīng)過小時車庫恰好停滿．【解答】解：設(shè)每個入口每小時進(jìn)車x輛，每個出口每小時出車y輛，該停車場能停放s輛車，依題意得：8×解得：x=0∴60%s3故答案為：2．3．甲、乙兩城相距1120千米，一列快車從甲城出發(fā)120千米后，另一列動車從乙城出發(fā)開往甲城，2個小時后兩車相遇．若快車平均每小時行駛的路程比動車平均每小時行駛的路程的一半還多5千米，動車與快車平均每小時各行駛多少千米？【解答】解：設(shè)動車平均每小時行駛x千米，快車平均每小時行駛y千米，依題意得：y=1解得：x=330答：動車平均每小時行駛330千米，快車平均每小時行駛170千米．4．在手工制作課上，老師組織班級同學(xué)用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學(xué)生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學(xué)每小時剪筒身40個或剪筒底120個．（1）求這個班男生、女生各有多少人？（2）原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，若要求一個筒身配兩個筒底，請說明每小時剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請說明如何調(diào)配人員，才能使每小時剪出的筒身與筒底剛好配套？【解答】解：（1）由題意得：x+y=50解得：x=24答：這個班有男生有24人，女生有26人；（2）男生剪筒底的數(shù)量：24×120＝2880（個），女生剪筒身的數(shù)量：26×40＝1040（個），因?yàn)橐粋€筒身配兩個筒底，2880：1040≠2：1，所以原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，每小時剪出的筒身與筒底不能配套，設(shè)男生應(yīng)向女生支援a(chǎn)人，由題意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，解得：a＝4，答：原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，每小時剪出的筒身與筒底不能配套；男生應(yīng)向女生支援4人時，才能使每小時剪出的筒身與筒底配套．5．開學(xué)前夕，小明去文具店購買學(xué)習(xí)用品，已知購買3本筆記本和5支簽字筆需花費(fèi)25元，購買4本筆記本和7支簽字筆需花費(fèi)34元．（1）求筆記本和簽字筆的單價(jià)分別為多少元？（2）恰逢甲、乙兩文具店“開學(xué)季”促銷活動，甲文具店所有商品均打九折；乙文具店購買超過30元的部分打8折．小明計(jì)劃購買筆記本和簽字筆共15個（筆記本和簽字筆都購買），則他在哪家店購買更劃算？【解答】解：（1）設(shè)筆記本的單價(jià)為x元，筆簽字筆的單價(jià)為y元，依題意有：3x+解得x=5故筆記本的單價(jià)為5元，筆簽字筆的單價(jià)為2元；（2）設(shè)小明計(jì)劃購買筆記本z個，則購買簽字筆（15﹣z）個，依題意有：甲文具店：0.9×5z+0.9×2（15﹣z）＝（2.7z+27）元，乙文具店：0.8[5z+2（15﹣z）﹣30]+30＝（2.4z+30）元，2.7z+27＝2.4z+30，解得z＝10．故當(dāng)0＜z＜10時，甲文具店購買更劃算；z＝10時，一樣劃算；10＜z＜15時，乙文具店購買更劃算．6．雜交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻(xiàn)，樂清某超市購進(jìn)A、B型兩種大米銷售，其中兩種大米的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：類型進(jìn)價(jià)（元/袋）售價(jià)（元/袋）A型大米2030B型大米3045（1）該超市在6月份購進(jìn)A、B型兩種大米共90袋，進(jìn)貨款恰好為2200元，①求這兩種大米各購進(jìn)多少袋？②據(jù)6月份的銷售統(tǒng)計(jì)，兩種大米的銷售總額為1200元，求該超市6月份已售出大米的進(jìn)貨款為多少元？（2）為刺激銷量，超市決定在進(jìn)貨款仍為2200元的情況下，7月份增加購進(jìn)C型大米作為贈品，進(jìn)價(jià)為每袋10元，并出臺了“買3袋A型大米送1袋C型大米，買3袋B型大米送2袋C型大米”的促銷方案，若7月份超市的購進(jìn)數(shù)量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時購進(jìn)3種大米各多少袋？【解答】解：（1）①設(shè)A型大米購進(jìn)x袋，B型大米購進(jìn)y袋，依題意得：x+y=9020x+30答：A型大米購進(jìn)50袋，B型大米購進(jìn)40袋．②設(shè)6月份售出A型大米m袋，B型大米n袋，依題意得：30m+45n＝1200，化簡得：2m+3n＝80，∴20m+30n＝10（2m+3n）＝10×80＝800．答：該超市6月份已售出大米的進(jìn)貨款為800元．（2）設(shè)7月份該超市購進(jìn)A型大米a袋，B型大米b袋，則購進(jìn)C型大米（13a+2依題意得：20a+30b+10（13a+23b化簡得：7a+11b＝660，∴b＝60-711又∵a，b，（13a+2∴a既是3的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，b是3的倍數(shù)，∴a=33b=39當(dāng)a＝33，b＝39時，13a+23b=13×33+23當(dāng)a＝66，b＝18時，13a+23b=13×66+23答：購進(jìn)A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或購進(jìn)A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋．7．學(xué)校提倡練字，小冬和小紅一起去文具店買鋼筆和字帖，小冬在文具店買1支鋼筆和3本字帖共花了38元，小紅買了2支鋼筆和4本字帖共花了64元．（1）每支鋼筆與每本字帖分別多少元？（2）帥帥在六一節(jié)當(dāng)天去買，正巧碰到文具店搞促銷，促銷方案有兩種形式：①所購商品均打九折②買一支鋼筆贈送一本字帖帥帥要買5支鋼筆和15本字帖，他有三種選擇方案：（Ⅰ）一次買5支鋼筆和15本字帖，然后按九折付費(fèi)；（Ⅱ）一次買5支鋼筆和10本字帖，文具店再贈送5本字帖；（Ⅲ）分兩次購買，第一次買5支鋼筆，文具店會贈送5本字帖，第二次再去買10本字帖，可以按九折付費(fèi)；問帥帥最少要付多少錢？【解答】解：（1）設(shè)每支鋼筆x元，每本字帖y元，依題意有x+3解得x=20故每支鋼筆20元，每本字帖6元；（2）方案（Ⅰ）：（20×5+6×15）×0.9＝171（元）；方案（Ⅱ）：20×5+6×10＝160（元）；方案（Ⅲ）：20×5+6×10×0.9＝154（元）；154＜160＜171，故帥帥最少要付154元錢．8．男女運(yùn)動員各一名，在環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，男運(yùn)動員比女運(yùn)動員速度快，如果他們從同一起跑點(diǎn)沿相反方向同時出發(fā)，那么每隔25秒相遇一次，現(xiàn)在他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時出發(fā)，男運(yùn)動員經(jīng)過15分鐘時追上女運(yùn)動員，并且比女運(yùn)動員多跑了4圈．求：（1）男運(yùn)動員的速度是女運(yùn)動員速度的多少倍？（2）男運(yùn)動員經(jīng)過15分鐘追上女運(yùn)動員時，女運(yùn)動員跑了多少圈？【解答】解：（1）設(shè)男運(yùn)動員的速度是v1米/秒，女運(yùn)動員的速度是v2米/秒，由題意得25（v1+v2）=154×60（v1﹣解得v1＝1.25v2．答：男運(yùn)動員的速度是女運(yùn)動員速度的1.25倍；（2）設(shè)女運(yùn)動員跑了x圈，那么男運(yùn)動員跑了（x+4）圈，由題意得x+x+4=15解得x＝16．故男運(yùn)動員經(jīng)過15分鐘追上女運(yùn)動員時，女運(yùn)動員跑了16圈．9．某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部，而女孩走了18級到達(dá)頂部．（1）扶梯露在外面的部分有多少級？（2）現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數(shù)與自動扶梯的級數(shù)相等，兩個孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓