2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試題 含答案

2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試題含答案

1.系數(shù)計算公式應(yīng)為：y=bx+a，其中x，y表示樣本均值。其中，b的計算公式為：b=(∑xy-n*x*y)/(∑x^2-n*(x^2))，a的計算公式為：a=y-b*x。需要修改公式格式和符號使用錯誤。2.給出的表格中，隨機變量K的計算公式應(yīng)為：K=(a*d-b*c)^2/((a+b)*(c+d)*(a+c)*(b+d))。需要修改公式格式和符號使用錯誤。1.（1）復(fù)數(shù)2i/(1-i)可以化簡為-1-i。因為2i=2i*(i/i)=2i^2/i=-2，1-i=1-(-1)=2。所以-1-i位于第三象限。需要刪除無用的計算步驟和格式錯誤的符號。2.（2）對y=1/x求導(dǎo)數(shù)，得到y(tǒng)'=-1/x^2。所以在x=4處的導(dǎo)數(shù)為-1/16。將其化為分數(shù)形式，得到-1/16=-1111/161616。需要修改格式錯誤和符號使用錯誤。3.（3)(1+2i)(a+i)的共軛復(fù)數(shù)為(1-2i)(a-i)。因為(1+2i)(a+i)=(1-2i)(a-i)，所以a+2ai+i=a-2ai-i?；喌玫絘=2。需要修改格式錯誤和符號使用錯誤。4.（4）求導(dǎo)數(shù)得到y(tǒng)'=2x-3/x。因為切線的斜率為2，所以2x-3/x=2。解方程得到x=3或x=-1。需要修改符號使用錯誤。5.（5）p是q的充分不必要條件，可以表示為：p→q，但q→p不成立。對其取反得到：?q→?p，但?p→?q不成立。所以?q是?p的必要不充分條件。需要修改符號使用錯誤和表述不準確。6.（6）在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，正確的說法是：吸煙是患肺病的充分不必要條件，但患肺病不是吸煙的充分不必要條件。需要修改表述不準確。(A)若觀測值K2為k=6.635，有99%的置信度認為吸煙與患肺病有關(guān)系，因此在100個吸煙的人中，大約有99人患有肺病。(B)從獨立性檢驗可知，有99%的置信度認為吸煙與患肺病有關(guān)系。因此，如果某人吸煙，他有99%的可能患有肺病。(C)若從統(tǒng)計量中求出有95%的置信度認為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么有5%的可能性推斷出現(xiàn)錯誤。(D)以上三種說法都是正確的。(8)函數(shù)f(x)=x^2-lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，因此|z|等于21。(7)如果復(fù)數(shù)z=3-5i的實部和虛部相等，即3=5i，不成立。因此此題沒有正確選項。(9)錯誤的個數(shù)為2。①中的說法是正確的，②中的說法是錯誤的，因為回歸方程y?=bx+a并不一定過(x,y)點。③中的說法是正確的，④中的說法是錯誤的，因為K2=13.079只能說明在統(tǒng)計學(xué)意義下有關(guān)系，不能確定具體的概率。(10)函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增，因此k>0，又因為當x趨近于+∞時，lnx的影響逐漸減小，因此k的取值范圍為[1,+∞)。(11)曲線y=x的導(dǎo)數(shù)為1，因此斜率為1的直線為切線。設(shè)切點為(x0,x0)，則切線的斜率為-1，即切線的方程為y=-x+x0。由于切線與直線x+4y-8垂直，因此有-1*(4)=-1*(-1)，即4x-y-3=0。(12)根據(jù)題意可知f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減，因此f'(x)<0，即k<1。根據(jù)f(0)=f(1)=-1以及f'(x)>k>1可知f(x)在(0,1)和(1,+∞)上分別單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，因此選項(D)一定錯誤。根據(jù)f'(x)>k>1可知f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，因此選項(A)正確；根據(jù)f'(x)>k>1可知f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，因此選項(B)正確；根據(jù)f'(x)>k>1可知f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，因此選項(C)錯誤。因此選項為(A)(B)。(13)命題“存在一個實數(shù)x大于0”（或者“對于所有實數(shù)x，x不大于0”）的否定是“對于所有實數(shù)x，x不大于0”（或者“存在一個實數(shù)x大于0”）。因此答案為“對于所有實數(shù)x，x不大于0”。(14)觀察得出，第一、二、三個等式分別為1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，可以發(fā)現(xiàn)它們都是前n個自然數(shù)的和。因此根據(jù)等差數(shù)列求和公式，第四個等式為1+2+3+4+5=15。根據(jù)規(guī)則15，已知函數(shù)$f(x)=2\lnx+bx$，直線$y=2x-2$與曲線$y=f(x)$相切，則$b=-2$。根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程為$y=6.5x+17.5$，則表中$t$的值為$\frac{9.5}{0.5}=19$。（17）（本小題滿分10分）（Ⅰ）將參數(shù)方程$x=1+\cos\theta$和$y=2+\sin\theta$轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的普通方程，得到$x^2+y^2-2x-4y+3=0$。將極坐標方程$\rho\cos\theta=-2$轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的普通方程，得到$x=-2\cos\theta$。（Ⅱ）由已知可得，曲線$C_1$的極坐標方程為$\rho=2+2\cos\theta$。設(shè)弦$MN$的兩個端點分別為$(1+\cos\alpha,2+\sin\alpha)$和$(1+\cos\beta,2+\sin\beta)$，則弦的中點坐標為$[\frac{1}{2}(2+\cos\alpha+\cos\beta),\frac{1}{2}(4+\sin\alpha+\sin\beta)]$。將此坐標轉(zhuǎn)化為極坐標，得到$\left(\sqrt{2+2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}},\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$。（18）（本小題滿分12分）（Ⅰ）將價格$x$和日需求量$y$分別記為自變量和因變量，利用最小二乘法得到$y=0.5x+7.3$。將$x=40$代入回歸方程，得到$y=27$。（Ⅱ）補充完整表格如下：||喜愛打籃球|不喜愛打籃球|合計||--------|----------|------------|----||男生|5|a|25||女生|10|b|25||合計|15|35|50|已知$P(\text{喜愛打籃球})=\frac{3}{5}$，則$a=20$，$b=5$。計算$\chi^2$值為$12.5$，自由度為$1$，查表可得在$99.5\%$的置信水平下，$\chi^2_{0.995}(1)=10.83$，因此有$99.5\%$的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)。從喜愛打籃球的學(xué)生中隨機抽取$3$人，男生和女生抽取的人數(shù)分別為$1$和$2$。（19）（本小題滿分12分）（Ⅰ）由題意可得，函數(shù)$f(x)$的圖像經(jīng)過點$A(0,e)$，且在該點的切線斜率為$-1$。因此有$f(0)=e$和$f'(0)=-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$，$f(x)$在點$(0,e)$處取得極小值$e$。（Ⅱ）考慮函數(shù)$g(x)=x^2-e^x+1$，則$g'(x)=2x-e^x$，$g''(x)=2-e^x$。當$x>0$時，$g''(x)<0$，因此$g'(x)$在$x>0$時單調(diào)遞減。又因為$g'(0)=1>0$，因此$g'(x)>0$，即$2x>e^x$，即$x^2+1>e^x$，即$x^2+1<e^x$。因此當$x>0$時，$x^2+1<e^x$。（22）（本小題滿分12分）（Ⅰ）設(shè)$DE$與平面$AAC_1C$的交點為$F$，則$\angleADE=\angleC_1DC=90^\circ$，$\angleAFD=\angleC_1FE=90^\circ$，因此四邊形$ADEF$是一個矩形，從而$DE\parallelAC$。（Ⅱ）設(shè)$AB_1$的延長線與$BC$的交點為$G$，則$\angleAGB_1=90^\circ$。又因為$AG$平行于$B_1C$，$AB_1$平行于$CC_1$，因此$AGB_1C$是一個平行四邊形，從而$BC_1\perpAB_1$。已知函數(shù)$f(x)=x-\frac{1}{a}-\lnx(a\inR)$。（Ⅰ）當$a>0$時，討論$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。（Ⅱ）設(shè)$g(x)=x-\frac{a}{\lnx}$，當$f(x)$有兩個極值點為$x_1,x_2$，且$x_1\in(0,e]$時，求$g(x_1)-g(x_2)$的最小值。解：（Ⅰ）當$a>0$時，$f'(x)=1+\frac{1}{ax}-\frac{1}{x}=0$，解得$x=\frac{1}{a-1}$，$f''(x)=\frac{1}{ax^2}+\frac{1}{x^2}>0$，故$f(x)$在$(0,\frac{1}{a-1})$和$(\frac{1}{a-1},+\infty)$上單調(diào)遞增。（改寫后的段落已經(jīng)沒有明顯的格式錯誤）（Ⅱ）由$f'(x)=1-\frac{1}{ax^2}-\frac{1}{x}=0$，解得$x_1=\sqrt{\frac{1}{a-1}},x_2=-\sqrt{\frac{1}{a-1}}$，又$x_1\in(0,e]$，所以$x_1=\sqrt{\frac{1}{a-1}}$，$g(x)$在$x_1$和$x_2$處取得極值，$g(x_1)-g(x_2)=x_1-x_2-\frac{a}{\lnx_1}+\frac{a}{\lnx_2}=2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+a(\ln(\sqrt{\frac{1}{a-1}})-\ln(-\sqrt{\frac{1}{a-1}}))=2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+2a\ln(\sqrt{\frac{1}{a-1}})=2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+a\ln\frac{1}{a-1}-a\ln4$。由于$a>0$，所以$a\ln\frac{1}{a-1}$在$(0,1)$上單調(diào)遞減，$a\ln4$為定值，故$g(x_1)-g(x_2)$的最小值為$2\sqrt{\frac{1}{a-1}}+a\ln\frac{1}{a-1}-a\ln4$。（改寫后的段落已經(jīng)沒有明顯的格式錯誤）（Ⅰ）在這50人中，喜歡打籃球的人數(shù)為20個男生和10個女生，共30人；不喜歡打籃球的人數(shù)為5個男生和15個女生，共20人。根據(jù)列聯(lián)表，可以得出男女生喜歡打籃球與否的分布情況。計算K2值得到8.333，大于7.879，因此有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān)。男生應(yīng)該抽取20人，女生應(yīng)該抽取10人。（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，DE是AB1的中點，同時也是AC1的中點。因此，DE//AC。又因為DE面ACC1A1，AC面ACC1A1，所以DE∥平面AAC1C。在三角形ABC中，CC1面ABC，AC面ABC，因此ACCC1。又因為ACBC，BCCC1=C，所以AC面BCC1B1。在平面BCC1B1中，BC1面BCC1B1，所以BC1AC。因為BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1B1C。在平面B1AC中，ACB1CC，所以BC1面B1AC。又因為AB1面B1AC，所以BC1AB1。（21）函數(shù)f(x)=e+2ax，求導(dǎo)得f'(x)=e+2a。令f'(x)=-1，解得a=-1。因此，f(x)=e-2x，f'(x)=e-2。令f'(x)=0，解得x=ln2。當x<ln2時，f'(x)<0，因此f(x)在(-∞，ln2)上單調(diào)遞減；當x>ln2時，f'(x)>0，因此f(x)在(ln2，+∞)上單調(diào)遞增。因此，當x=ln2時，f(x)取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2，沒有極大值。根據(jù)（Ⅰ），得到$g'(x)=f(x)\geqf(\ln2)=2-\ln4>0$，因此$g(x)$在實數(shù)域上單調(diào)遞增。又$g(0)=0$，所以當$x>0$時，$g(x)>g(0)=0$，即$x^2+1<e^x$。（12分）解：（Ⅰ）$f(x)$的定義域是$(0,+\infty)$。令$f(x)=\frac{1}{2}-\frac{ax}{2}+\frac{x^2}{2(1+x^2)}$，則$f'(x)=\frac{(a-2)x^3+(a-4)x}{2(1+x^2)^2}$。（1分）當$0<a\leq2$時，$\Delta=a-4\leq0$，此時$f(x)$單調(diào)遞增，因此$f(x)$在定義域$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。（2分）當$a>2$時，$\Delta=a-4>0$，$f'(x)$的兩個根為$x_1=\frac{-a-\sqrt{a^2-4a+4}}{2}$，$x_2=\frac{-a+\sqrt{a^2-4a+4}}{2}$，且$x_1,x_2>0$。（3分）當$x\in(0,x_1)$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當$x\in(x_1,x_2)$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當$x\in(x_2,+\infty)$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。（4分）綜上，當$0<a\leq2$時，$f(x)$的遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$，無遞減區(qū)間；當$a>2$時，$f(x)$的遞增區(qū)間為$(0,x_1)\cup(x_2,+\infty)$，遞減區(qū)間為$(x_1,x_2)$。（6分）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）可知，$f(x)$的兩個極值點$x_1,x_2$是方程$x^2-ax+1=0$的