第四節(jié)：重積分的應(yīng)用B

第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、立體體積二、曲面的面積三、質(zhì)心四、轉(zhuǎn)動慣量五、引力六、小結(jié)1.能用重積分解決的實際問題的特點:所求量是對區(qū)域具有可加性——

用微元分析法(元素法)建立積分式分布在有界閉域上的整體量3.解題要點:畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法:平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力等．定積分元素法的一般步驟：元素法這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力等．平面薄片的質(zhì)量把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計算的某個量U對于xoy面上的閉區(qū)域D具有可加性，（1）設(shè)想將D

分成n

個小區(qū)域，并任取其中一小區(qū)域

d。

（2）將相應(yīng)于小區(qū)域d的部分量U

近似表達為

（3）即當(dāng)閉區(qū)域D

分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U

等于部分量之和。已知的重積分應(yīng)用二重積分（1）曲頂柱體的體積

（3）平面薄片的質(zhì)量（2）曲面的面積解1、二重積分一、立體體積作業(yè)：１設(shè)曲面S的方程為：二、曲面的面積１設(shè)曲面S的方程為：曲面

S

的面積元素曲面

S

的面積計算公式由元素法３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解解方程組得兩曲面的交線為在平面上的投影域為解解課練:P175;3作業(yè):1,2學(xué)生求S2P178：3.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍體的表面積.解:設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,三、物體的質(zhì)心設(shè)平面區(qū)域D有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心設(shè)物體占有平面域D

,有連續(xù)密度函數(shù)則質(zhì)心公式,分別位于為坐標(biāo)為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其將D分成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點,同理此在第k塊上任取一點則得形心坐標(biāo)：常數(shù)時A為閉區(qū)域D的面積例1.求位于兩圓和的質(zhì)心.解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片三、轉(zhuǎn)動慣量一個質(zhì)點對某條軸的轉(zhuǎn)動慣量等于它的質(zhì)量與它到該軸距離的平方的乘積。問題：如何求該薄片對x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量？利用元素法解五、引力（略）D幾何應(yīng)用：平面的面積,空間體體積，曲面塊的面積物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、