復(fù)習(xí)參考題人教A版 新教材

復(fù)習(xí)參考題4一．解答題1.根據(jù)下列數(shù)列的通項公式，分別作出它們的圖象.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式求出它的前幾項，從而作出它們的圖象.【詳解】（1）的前5項分別為：，如下圖所示：（2）的前4項分別為：，如下圖所示：（3）的前5項分別為：3，，如下圖所示：（4）的前5項分別為：-1，，如下圖所示：2.根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式.（1），，，；（2），，，；（3）0，，0，．【答案】（1），；（2），；（3），．【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前四項特征，寫出符合條件的通項公式即可；（2）根據(jù)數(shù)列的前四項特征，寫出符合條件的通項公式即可；（3）根據(jù)數(shù)列的前四項特征，寫出符合條件的通項公式即可．【詳解】（1），，，，觀察每一項的分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母是，，；（2），，，，觀察每一項的組成是1加或減一個分?jǐn)?shù)的形式，分?jǐn)?shù)的分子是連續(xù)的奇數(shù)，分母是連續(xù)偶數(shù)的平方，，；（3），，0，，該數(shù)列可化為，，，；，．二．選擇題3.預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，k為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率，n為預(yù)測期間隔年數(shù)，如果在某一時期，那么在這期間人口數(shù)（）A.呈上升趨勢 B.呈下降趨勢 C.擺動變化 D.不變【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可知為預(yù)測期內(nèi)年增長率，當(dāng)，可知年增長率為負(fù)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，為預(yù)測期內(nèi)年增長率，如果在某一時期有，即年增長率為負(fù)，故這期間人口數(shù)呈下降趨勢.故選:B.4.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察圖形可得出為首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求出.【詳解】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，從第二個圖形開始，每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎(chǔ)上多了其周長的，即，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，.故選：B.三．填空題6.已知，，若a，b，c三個數(shù)成等差數(shù)列，則b=__________，若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列，則b=__________．【答案】①.5②.【解析】【分析】由等差中項與等比中項計算即可.【詳解】若a，b，c三個數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：5，.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_____________【答案】3【解析】【詳解】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點睛：本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力.四．解答題8.某中學(xué)的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動，共收到捐款1200元．他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元．這次募捐活動一共進(jìn)行了多少天？【答案】16【解析】【分析】由題意知每天得到的捐款成等差數(shù)列，寫出首項與公差，代入前項和公式，即可解出答案.【詳解】由題意知：每天得到的捐款成等差數(shù)列.且則化簡得：舍.故這次募捐活動一共進(jìn)行了16天.9.某同學(xué)利用暑假時間到一家商場勤工儉學(xué)，該商場向他提供了三種付款方式：第一種，每天支付38圓；第二種，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，以此類推：第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍），你會選擇哪種方式領(lǐng)取報酬呢？【答案】見解析【解析】【詳解】，，．下面考察，，的大?。梢钥闯鰰r，．因此，當(dāng)工作時間小于10天時，選用第一種付費方式，時，，，因此，選用第三種付費方式．10.非零實數(shù)a，b，c不全相等．（1）若a，b，c成等差數(shù)列，，，構(gòu)成等差數(shù)列嗎？你能用函數(shù)圖象解釋一下嗎？（2）若a，b，c成等比數(shù)列，，，能構(gòu)成等比數(shù)列嗎？為什么？【答案】（1）不構(gòu)成（2）構(gòu)成【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式為一次函數(shù)模型即可判斷.（2）根據(jù)等比中項判斷即可.【詳解】（1）不成等差數(shù)列.可以從圖像上解釋.a，b，c成等差數(shù)列.則通項公式為的形式，且a，b，c位于同一直線上，而，，的通項公式卻是的形式，，，不可能在同一直線上，故，，不是等差數(shù)列.（2）成等比數(shù)列.因為a，b，c成等比數(shù)列，有，又由于a、b、c不為0，兩邊同取倒數(shù)有：.所以，，為等比數(shù)列.11.小明的父母為了準(zhǔn)備小明將來考入大學(xué)的學(xué)費，于2017年元旦在某銀行存入10000元，并在后續(xù)每一年的元旦都在該銀行存入1200元，直到2022年存入最后一筆錢為止．如果銀行的存款年利率為2．75%，且以復(fù)利計息，那么小明的父母在2022年底將存款連本帶利全部取出時，能取到多少錢？【答案】元【解析】【分析】根據(jù)復(fù)利計算即可得出答案.【詳解】由題意得，小明的父母在2022年底將存款連本帶利全部取出的錢數(shù)為：（元）即能取到元.12.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），．（1）當(dāng)時，試確定使得需要多少步雹程；（2）若，求m所有可能的取值集合M．【答案】（1）12；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系逐步計算可得使得需要多少步雹程；（2）由，利用遞推關(guān)系，分類討論逆推出的不同取值，進(jìn)而可得答案.【詳解】當(dāng)時，即根據(jù)上述運(yùn)算法得出：故當(dāng)時，使得需要12步雹程；（2）若，根據(jù)上述運(yùn)算法進(jìn)行逆推，或；若，則或；當(dāng)時，或；若時，或；當(dāng)，則或；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故所有可能的取值集合．13.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項和公式與通項公式，即可解出,則可寫出其通項公式.（2）利用錯位相減，化簡解可得出答案.【詳解】（1）由題意知：，即：化簡得.所以數(shù)列的通項公式.（2）因為所以化簡得：.14.已知等比數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在【解析】【分析】（1）由題意知為等比數(shù)列，取代入等式即可解出，即可寫出.（2）根據(jù)題意結(jié)合第一問先寫出的通項公式，假設(shè)存在，解出m、k、p結(jié)果與題意矛盾,則不存在.【詳解】（1）由題意知：當(dāng)時：①當(dāng)時：②聯(lián)立①②，解得.所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，.所以.所以.設(shè)數(shù)列中存在3項，，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.則，所以，即.又因為m，k，p成等差數(shù)列,所以所以化簡得所以又，所以與已知矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項，，成等比數(shù)列.15.類比等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式、常用性質(zhì)等，發(fā)現(xiàn)它們具有如下的對偶關(guān)系：只要將等差數(shù)列的一個關(guān)系式中的運(yùn)算“＋”改為“×”，“-”改為“÷”，正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可得到等比數(shù)列中一個形式相同的關(guān)系式，反之也成立．（1）根據(jù)上述說法，請你參照下表給出的信息推斷出相關(guān)的對偶關(guān)系式；名稱等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式常用性質(zhì)①…②③④①②③若，則④（2）在等差數(shù)列中，若，則有．相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，請你類比推測出對偶的等式，并加以證明．【答案】（1）答案見下表；（2）等式見解析；證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)將等差數(shù)列的一個關(guān)系式中的運(yùn)算“＋”改為“×”，“-”改為“÷”，正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可得到等比數(shù)列中一個形式相同的關(guān)系式，反之也成立．類比推斷出相關(guān)的對偶關(guān)系式即可；（2）類比推測出對偶的等式，并根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）根據(jù)上述說法，參照給出的信息推斷出相關(guān)的對偶關(guān)系式如下表：名稱等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式常用性質(zhì)①…②③若，則④①②③若，則④（2）類比推測出對偶的等式知，在等比數(shù)列中，若，；證明如下：由等比數(shù)列性質(zhì)知；；故當(dāng)，即時，；則同理當(dāng)，即時，綜上所述：16.在2015年蘇州世乒賽期間，某景點用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球．記第n堆的乒乓球總數(shù)為．（1）求出；（2）試歸納出與的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式探求的表達(dá)式．參考公式：．【答案】（1）10；（2）；；證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形可直接求出；（2）觀察圖形的排列規(guī)律，歸納總結(jié)出與的關(guān)系式，并求得的表達(dá)式．【詳解】觀察圖形的排列規(guī)律可知，；；；（1）（2）由上知，則故又，則17.有理數(shù)都能表示成，且，m與n互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集且，m與n互質(zhì)}．任何有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．反之，任一有限小數(shù)也可以化為的形式，從而是有理數(shù)；那么無限循環(huán)小數(shù)是否為有理數(shù)？思考下列問題：（1）是有理數(shù)嗎？請說明理由．（2）是有理數(shù)嗎？請說明理由．【答案】（1）是，理由見解析；（2）是，理由見解析【解析】【分析】（1）由可判斷；（2）由可判斷.【詳解】無限循環(huán)小數(shù)也可以化成，且，m與n互質(zhì)）的形式，故無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，（1），可以化為的形式，故是有理數(shù)；（2），可以化為的形式，故是有理數(shù).18.平面上有個點，其中任何三點都不在同一條直線上．過這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有多少條？證明你的結(jié)論．【答案】；證明見解析；【解析】【分析】根據(jù)時的直線條數(shù)，歸納出有n個點時的直線條數(shù)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】當(dāng)時，過任意兩個點作直線，共有3條；當(dāng)時，設(shè)四個點為，過三點中的任意2點的直線有三條，過三點中的任意1點與D點相連的直線有3條，即共有條；當(dāng)時，設(shè)五個點為，同上，過中的任意2點的直線有6條，過中的任意1點與的連線共有4條，即共有條；假設(shè)當(dāng)，過k個點（任意三點不共線）中任意2點作直線，共有條；當(dāng)時，共有k+1個