利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解“恒成立”問題的參數(shù)范圍

PAGE6-利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解“恒成立”求參數(shù)范圍問題（1）恒成立問題求參數(shù)范圍：例1已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的取值范圍；練習(xí)1.設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（1）求a,b的值,(2)若對(duì)于任意的［0,3］都有成立,求c的取值范圍答案：1.解:(1)a=-3,b=4(2)9+8c<c2,解得c<-1或c>9（2）恒成立問題求參數(shù)范圍：分離參數(shù)法。例2.已知函數(shù)(1)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，(2)若函數(shù)在［1，4］是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解得：(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（，極小值是（2）由得依題意所以即又在［1，4］上是減函數(shù)，故（4）min=所以練習(xí)1.已知（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（2）求證：解：（1）(2)構(gòu)造函數(shù)且則由（1）知當(dāng)a=-1時(shí)，故h(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，h(x)<h(0)=0即(3)恒成立問題求參數(shù)范圍—構(gòu)造新函數(shù)法的單調(diào)性或利用原函數(shù)的單調(diào)性例3.設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解法：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(i)當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，又g(0)＝0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是減函數(shù)，又g(0)＝0，所以對(duì)0＜x＜ea－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．例4.設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解(1)若則列表如下+0--單調(diào)增極大值單調(diào)減單調(diào)減(2)在兩邊取對(duì)數(shù),得,由于所以(1)2.已知函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．參考答案1.（1解：當(dāng)所以曲線處的切線斜率為1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）解：，令，得到因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解：由題設(shè)，所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿?，而，不合題意若則對(duì)任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對(duì)任意的，恒成立的充要條件是,解得w.w.w.k.綜上，m的取值范圍是2.（Ⅰ）解：．當(dāng)時(shí)，．令，解得，，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：02－0＋0－0＋↘極小值↗極大值↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．為使僅在處有極值，必須成立，即有．解些不等式，得．這時(shí)，是唯一極值．因此滿足條件的的取值范圍是．（Ⅲ）解：由條件，可知，從而恒成立．當(dāng)時(shí)