廣東省梅州市五華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

廣東省梅州市五華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.二項(xiàng)式的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 A．3項(xiàng)

B．4項(xiàng)

- C．5項(xiàng)

D．6項(xiàng)參考答案：C2.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有一道這樣的題：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為

A． B．

C．

D．參考答案：C

【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．D2解析：易得中間的那份為20個(gè)面包，設(shè)最小的一份為，公差為，根據(jù)題意，于是有[20+()+()]()，解得=．故選C.【思路點(diǎn)撥】易得中間的那份為20個(gè)面包，設(shè)最小的一份為a1，公差為d，由題意可得a1和d的方程，解方程可得．3.若=﹣，且α∈（，），則tan2α的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號求得sin2α、cos2α的值，可得tan2α的值．【解答】解：∵==（cosα﹣sinα）=﹣，且α∈（，），∴cosα﹣sinα=﹣，∴平方可得sin2α=．結(jié)合2α∈（，π），可得cos2α=﹣=﹣，則tan2α==﹣，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D拋物線的開口向左,且,.選D.5.等差數(shù)列中，則（

）A．45

B．42

C.21

D．84參考答案：A6.直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A.

B.C.

D.參考答案：A略7.“”是“函數(shù)的最小正周期為π”的

（

）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：A8.“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)橢圓的定義判斷． 【解答】解：將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為， 根據(jù)橢圓的定義，要使焦點(diǎn)在y軸上必須滿足，且，即m＞n＞0 反之，當(dāng)m＞n＞0，可得出＞0，此時(shí)方程對應(yīng)的軌跡是橢圓 綜上證之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查橢圓的定義，難度不大，解題認(rèn)真推導(dǎo)． 9.設(shè)aR，則“a2＞1”是“a3＞1”的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件參考答案：B10.若等差數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系an+1=﹣an+n，則a5等于（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，令n=4或n=5，建立方程組進(jìn)行求解即可．【解答】解：令n=4，則a5+a4=4，令n=5，則a6+a5=5，兩式相加2a5+a4+a6=9，∴a5=．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)；直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】連接AF1，根據(jù)△F2AB是等邊三角形可知∠AF2B=30°，F(xiàn)1F2是圓的直徑可表示出|AF1|、|AF2|，再由雙曲線的定義可得c﹣c=2a，即可得到離心率的值．【解答】解：連接AF1，則∠F1AF2=90°，∠AF2B=30°∴|AF1|=，|AF2|=|F1F2|=c，∴c﹣c=2a，∴e==1+故答案為1+12.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，則2+3=

．參考答案：（﹣4，7）【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，則2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，則2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案為：（﹣4，7）．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．13.在區(qū)間（0，1）上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)m，n，則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實(shí)根的概率為

．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（m，n）對應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實(shí)根”的點(diǎn)對應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：如下圖所示：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（圖中矩形所示）．其面積為1．構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實(shí)根”的區(qū)域?yàn)閧{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如圖陰影所示）．所以所求的概率為==．故答案為：．14.若方程組無解，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：±2【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】根據(jù)題意，若方程組無解，則直線ax+2y=3與直線2x+2y=2平行，由直線平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，方程組無解，則直線ax+2y=3與直線2x+2y=2平行，則有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案為：±2．15.設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為____________.參考答案：4

略16.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是,若,,=45°,則角A=__參考答案：略17.若，則的值是

。參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，△RBC中，RB=BC=2，點(diǎn)A、D分別是RB、RC的中點(diǎn)，且2BD=RC，邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連結(jié)PB、PC．（1）求證：BC⊥PB；（2）求二面角A﹣CD﹣P的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）由已知得點(diǎn)B在以點(diǎn)D為圓心，RC為半徑的圓上，∠RBC=90°，∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°由此能證明BC⊥PB．（2）取RD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、PF，推導(dǎo)出∠AFP是二面角A﹣CD﹣P的平面角，由此能求出二面角A﹣CD﹣P的平面角的余弦值．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是RC的中點(diǎn)，且2BD=RC，所以點(diǎn)B在以點(diǎn)D為圓心，RC為半徑的圓上，所以∠RBC=90°，…又因?yàn)辄c(diǎn)A是RB的中點(diǎn)，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠PAD=∠RAD=∠RBC=90°，∴PA⊥AD，∴PA⊥BC，∵BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，…∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB．…（2）解：取RD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、PF，∵RA=AD=1，∴AF⊥RC，∵AP⊥AR，AP⊥AD，∴AP⊥平面RBC，∵RC?平面RBC，∴RC⊥AP，∵AF∩AP=A，∴RC⊥平面PAF，∵PF?平面PAF，∴RC⊥PF，∴∠AFP是二面角A﹣CD﹣P的平面角，…在Rt△RAD中，AF==，在Rt△PAF中，PF=，cos∠AFP===．∴二面角A﹣CD﹣P的平面角的余弦值是．…【點(diǎn)評】本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.如圖：直三棱柱（側(cè)棱⊥底面）ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=1，BC=，CD⊥AB,垂足為D.⑴求證：BC∥平面AB1C1;⑵求點(diǎn)B1到面A1CD的距離.參考答案：即點(diǎn)到面的距離為．略20.（12分）

已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設(shè){}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說明理由.參考答案：解析：(Ⅰ)由題意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=(Ⅱ)若q=1,則.當(dāng)n≥2時(shí),,故若q=,則,當(dāng)n≥2時(shí),,故對于n∈N+,當(dāng)2≤n≤9時(shí),Sn>bn；當(dāng)n=10時(shí),Sn=bn；當(dāng)n≥11時(shí),Sn<bn21.通過對某城市一天內(nèi)單次租用共享自行車的時(shí)間50分鐘到100鐘的n人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照租車時(shí)間[50，50），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分組做出頻率分布直方圖如圖1，并作出租用時(shí)間和莖葉圖如圖2（圖中僅列出了時(shí)間在[50，60），[90，100）的數(shù)據(jù)）．

圖1

圖2（1）求n的頻率分布直方圖中的x，y（2）從租用時(shí)間在80分鐘以上（含80分鐘）的人數(shù)中隨機(jī)抽取4人，設(shè)隨機(jī)變量X表示所抽取的4人租用時(shí)間在[80，90）內(nèi)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）由題意可知，樣本容量n==50，y==0.004，即可得出z．（2）由題意可知，租用時(shí)間在[80，90）內(nèi)的人數(shù)為5，租用時(shí)間在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為2，共7人．抽取的4人中租用時(shí)間在[80，90）內(nèi)的人數(shù)X的可能取值為2，3，4，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．【解答】解：（1）由題意可知，樣本容量n==50，y==0.004，z=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（2）由題意可知，租用時(shí)間在[80，90）內(nèi)的人數(shù)為5，租用時(shí)間在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為2，共7人．抽取的4人中租用時(shí)間在[80，90）內(nèi)的人數(shù)X的可能取值為2，3，4，則P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==．X234P故EX=2×+3×+4×=．22.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方