矢量分析和場論基礎(chǔ)

矢量分析和場論基礎(chǔ)第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量和標(biāo)量電磁學(xué)中的各種物理量可分為兩類標(biāo)量矢量標(biāo)量（Scalar）：選定單位后僅用一個數(shù)值就可以表示其大小的物理量，稱為標(biāo)量，如電位、能量等矢量（Vector）：不僅有大小，還有方向的物理量，稱為矢量，如電磁力、電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等矢量在印刷體中常用黑體字，如A

第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.1矢量及運(yùn)算1、矢量的表示方法單位矢量：長度為一個單位的矢量稱為單位矢量。在正交坐標(biāo)系，矢量可以用坐標(biāo)來表示。如：直角坐標(biāo)系中，從O指向終點(diǎn)P的矢量A可以表示為：、、表示x、y、z三個坐標(biāo)軸方向上的單位矢量。第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月2、矢量運(yùn)算矢量標(biāo)積(點(diǎn)乘):在直角坐標(biāo)系中，其解析式為矢量矢積(叉乘):在直角坐標(biāo)系中，其解析式為

第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.2標(biāo)量場和矢量場

場是一個標(biāo)量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點(diǎn)都有一個確定的標(biāo)量值或矢量。例如，在直角坐標(biāo)系下，標(biāo)量場如溫度場，電位場，高度場等；矢量場如流速場，電場，渦流場等。第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月形象描繪場分布的工具—場線矢量場—矢量線標(biāo)量場—等值線(面)其方程為其方程為三維場在直角坐標(biāo)下(矢量線):二維場矢量線等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？過點(diǎn)P等值面的法線方向n方向(垂直于等高線，斜率最大)—梯度方向。第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.3標(biāo)量場的梯度當(dāng)，即與方向一致時，最大。1、梯度

設(shè)一個標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)，若函數(shù)

在點(diǎn)P可微，則在點(diǎn)P沿任意方向l的方向?qū)?shù)為(沿方向l對距離的變化率)：梯度(gradient)哈密(爾)頓算子式中則有：設(shè)式中，，，分別是與x,y,z軸的夾角，el為方向l的單位矢量第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例1高度場的梯度h=f(x,y)例2電位場的梯度(金屬球在正電荷產(chǎn)生的場中—電場線)高度場的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。電位場的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；指向電位增加的方向。數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；2、梯度的物理意義標(biāo)量場的梯度是一個矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù);梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。

梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù);三維高度場的梯度電位場的梯度第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.4矢量場的通量與散度1、通量

通量：矢量E

沿有向曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)矢量場的通量矢量場的通量

若S為閉合曲面，可以根據(jù)凈通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月2、散度如果包圍點(diǎn)P的閉合面S所圍區(qū)域V以任意方式縮小為點(diǎn)P時，通量與體積之比的極限存在，即散度(divergence)計(jì)算公式3、散度的物理意義散度代表矢量場的通量源的分布特性。?

A=0(無源）?

A=0(負(fù)源)?

A=0(正源)在矢量場中，若?A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0，稱之為無源場。矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月4、高斯(Gauss)公式(散度定理)高斯公式該公式表明了區(qū)域V中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。散度定理由于是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對體積分后，為穿出閉合面S的通量第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.5矢量場的環(huán)量與旋度1、環(huán)量該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運(yùn)動流體做渦旋運(yùn)動0，有產(chǎn)生渦旋的源矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環(huán)量例：流速場流速場環(huán)量的計(jì)算第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月2、旋度(1)環(huán)量密度過點(diǎn)P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S點(diǎn)P時，存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。(2)旋度—最大環(huán)量密度

旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。旋度(curl)它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)系下第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月3、旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。

點(diǎn)P的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值。在矢量場中，若A=J0，稱之為旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源(或渦旋源)；點(diǎn)P的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向。4、斯托克斯(Stockes)定理A是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為Stockes定理在電磁場理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個非常重要的公式。

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換。該公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。斯托克斯定理第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理(HelmholtzTheorem)：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場的性質(zhì)=0=0=000=0第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月0.7三種特殊形式的場1.平行平面場：如果在一族平行平面上，場F的分布都相同，即F=f(x,y)，則稱這個場為平行平面場。2.軸對稱場：如果在經(jīng)過某一軸線(設(shè)為Z軸)的一族子午面上，場F的分布都相同，即F=f(r,)，則稱這個場為軸對稱場。3.球面對稱場：如果在一族同心球面上(設(shè)球心在原點(diǎn))，場F的分布都相同，即F=f(r)，則稱這個場為球面對稱場。第16頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月算子(直角坐標(biāo)系)一、哈密(爾)頓算子1定義：矢量