《勾股定理的逆定理》1課件

勾股定理的逆定理教學(xué)目標(biāo)理解勾股定理的逆定理，經(jīng)歷“觀察－測(cè)量－猜想－論證”的定理探究的過(guò)程，體會(huì)“構(gòu)造法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想．

了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它的逆命題不一定為真命題．

應(yīng)用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)探索并證明勾股定理的逆定理．

應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題．勾股定理逆定理的應(yīng)用．知識(shí)回顧回憶勾股定理的內(nèi)容．勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么

．題設(shè)（條件）：直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．結(jié)論：

逆向思考提出問(wèn)題據(jù)說(shuō)，古埃及人曾用下面的方法畫直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角．這是為什么呢？這意味著，如果圍成的三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，它們滿足關(guān)系“

”，那么圍成的三角形是直角三角形．逆向思考提出問(wèn)題

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足

，那么這個(gè)三角形是否是直角三角形？原命題和逆命題

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么

．命題1命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足

，那么這個(gè)三角形是直角三角形．像命題1和命題2這樣，題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．原命題和逆命題說(shuō)出下列命題的逆命題．這些命題的逆命題是真命題嗎？

（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

（2）對(duì)頂角相等；

（3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．逆命題：相等的角是對(duì)頂角．逆命題：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．真命題假命題真命題精確驗(yàn)證提出猜想

實(shí)驗(yàn)操作：（1）畫一畫：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫出三角形（單位：cm），它們是直角三角形嗎？

①2.5，6，6.5；

②6，8，10．（2）量一量：用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角的度數(shù)．（3）想一想：請(qǐng)判斷這些三角形的形狀，并提出猜想．（3）13，11，9．如圖所示的三角形中，哪些是直角三角形，哪些不是，

說(shuō)說(shuō)你的理由．追問(wèn)1類似這樣的關(guān)系6，8，10；如圖，要修一個(gè)育苗棚，棚的橫截面是直角三角形，棚寬a=3m，高b=1.懷爾斯在童年時(shí)代就夢(mèng)想能證明費(fèi)馬大定理，后來(lái)為此作了長(zhǎng)期的努力和準(zhǔn)備.逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．如圖，要修一個(gè)育苗棚，棚的橫截面是直角三角形，棚寬a=3m，高b=1.如圖，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓的圓心O的平面截圓錐得截面SAB，其中SA=SB，AB是圓錐底面圓O的直徑。這些逆命題成立嗎?(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形：某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile．它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少平方米(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)邏輯推理證明結(jié)論∴以15，8，17為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．這意味著，如果圍成的三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，它們滿足關(guān)系“

”，那么圍成的三角形是直角三角形．（2）a=13，b=15，c=14．（2）對(duì)頂角相等；高于二次的方程

，…是否也有正整數(shù)解呢?這個(gè)問(wèn)題引起了法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬的研究興趣。(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；邏輯推理證明結(jié)論

已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足

求證：△ABC是直角三角形．△ABC是直角三角形∠C是直角三角形全等演繹推理形成定理

定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足

，那么這個(gè)三角形是直角三角形．作用：判定一個(gè)三角形三邊滿足什么條件時(shí)為直角三角形．定理與逆定理

一般地，如果一個(gè)定理的逆定理經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理.例題

判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=15，c=14．解：（1）∴以15，8，17為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．像15，17，8這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．例題判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=17，c=8；（2）a=13，b=15，c=14．解：（1）∴以13，14，15為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形．例題某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile．它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？解：根據(jù)題意，

PQ=16×1.5=24，

PR=12×1.5=18，

QR=30因?yàn)?/p>

，即

，所以∠QPR=90由¨“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1=45°。因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行例題如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．練習(xí)1.如果三條線段長(zhǎng)a，b，c滿足

，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形?為什么?練習(xí)2.說(shuō)出下列命題的逆命題。這些逆命題成立嗎?(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

練習(xí)3.A，B，C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向?練習(xí)設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形：（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9．練習(xí)下面以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？

練習(xí)已知：如圖,四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，

BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積．練習(xí)

如圖所示的三角形中，哪些是直角三角形，哪些不是，

說(shuō)說(shuō)你的理由．

代數(shù)變形與勾股定理若a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足

，試判斷這個(gè)三角形的形狀．勾股數(shù)擴(kuò)倍問(wèn)題

18，24，30；3，4，5這兩組都是勾股數(shù)，它們之間有什么關(guān)系嗎？追問(wèn)1類似這樣的關(guān)系6，8，10；9，12，15是否也是勾股數(shù)？如何驗(yàn)證？追問(wèn)2通過(guò)對(duì)以上勾股數(shù)的研究，你有什么樣的猜想？勾股數(shù)擴(kuò)倍問(wèn)題18，24，30；3，4，5這兩組都是勾股數(shù)，它們之間有什么關(guān)系嗎？追問(wèn)1類似這樣的關(guān)系6，8，10；9，12，15是否也是勾股數(shù)？如何驗(yàn)證？追問(wèn)2通過(guò)對(duì)以上勾股數(shù)的研究，你有什么樣的猜想？結(jié)論：若a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，bk，ck（k為正整數(shù))也是一組勾股數(shù)．總結(jié)

1.勾股定理逆定理：

2.原命題與逆命題：

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足

，那么這個(gè)三角形是直角三角形．題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．復(fù)習(xí)鞏固1.判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a=7,b=24,c=25;(2)a=3

,b=4，c=5；

(3)a=1

,b=1，c=2

；

(4)a=40,b=50,c=60.復(fù)習(xí)鞏固2.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題。這些逆命題成立嗎?(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(2)如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；(4)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等復(fù)習(xí)鞏固3.小明向東走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三個(gè)方向走100m回到原地。小明向東走80m后是向哪個(gè)方向走的?綜合運(yùn)用4.在△ABC中，AB=13,BC=10,BC邊上的中線AD=12，求AC.綜合運(yùn)用5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°，

求四邊形ABCD的面積.綜合運(yùn)用7.我們知道3,4,5是一組勾股數(shù)，那么,4k,5(是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)嗎?一般地，如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么ak，砍k，c(k是正整數(shù))也是一組勾股數(shù)嗎?

費(fèi)馬大定理

根據(jù)勾股定理，任意直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)a，b和斜邊長(zhǎng)c都是含三個(gè)未知數(shù)的方程x2+y2=z2的一組解，而每一組勾股數(shù)(例如,3,4,5；5,12,13；等)都是這個(gè)方程的正整數(shù)解。高于二次的方程

，…是否也有正整數(shù)解呢?這個(gè)問(wèn)題引起了法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬的研究興趣。費(fèi)馬在讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的《算術(shù)》一書時(shí)，在有方程

的那頁(yè)頁(yè)邊上，寫下了具有歷史意義的一段文字：“……將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，這是不可能的，關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！庇脭?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述，費(fèi)馬的結(jié)論就是：當(dāng)自然數(shù)n≥3時(shí)，方程

沒(méi)有正整數(shù)解。費(fèi)馬大定理上述命題被稱為“費(fèi)馬大定理”。它的證明引起了世界各國(guó)數(shù)學(xué)家的關(guān)注，包括歐拉、高斯、勒貝格在內(nèi)的許多著名數(shù)學(xué)家都對(duì)這個(gè)命題作了深入的研究，但一直沒(méi)能證明它。對(duì)費(fèi)馬大定理的研究給數(shù)學(xué)界帶來(lái)了很大的影響，很多數(shù)學(xué)成果、甚至數(shù)學(xué)分支在這個(gè)過(guò)程中誕生，費(fèi)馬大定理也因此被數(shù)學(xué)界稱為是一只“會(huì)下金蛋的鵝”。費(fèi)馬大定理費(fèi)馬大定理的證明最終由英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯完成。懷爾斯在童年時(shí)代就夢(mèng)想能證明費(fèi)馬大定理，后來(lái)為此作了長(zhǎng)期的努力和準(zhǔn)備.1986年，他發(fā)現(xiàn)了定理證明的一種可能的途徑，就開始全力以赴地投入到定理的證明中.1993年6月，懷爾斯在英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)術(shù)討論會(huì)上報(bào)告了他的研究成果，立即引起了全世界數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的關(guān)注，在這以后，他又用了一年多的時(shí)間補(bǔ)證了專家小組發(fā)現(xiàn)的證明中的疏漏，并最終于1995年徹底完成了證明。這個(gè)有300多年歷史的數(shù)學(xué)難題終于得到解決1996年3月，懷爾斯因?yàn)樗倪@一杰出數(shù)學(xué)成就榮獲沃爾夫獎(jiǎng)，并于1998年8月榮獲菲爾茲特別獎(jiǎng)。費(fèi)馬大定理的證明則被稱為“世紀(jì)性的成就”，并被列入1993年的世界科技十大成就.活動(dòng)1

如圖1，學(xué)校需要測(cè)量旗桿的高度。同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知。請(qǐng)你應(yīng)用勾股定理提出一個(gè)解決這個(gè)問(wèn)題的方案，并與同學(xué)交流.

活動(dòng)2用四張全等的直角三角形紙片拼含有正方形的圖案，要求拼圖時(shí)直角三角形紙片不能互相重疊。以下各圖是按要求拼出的幾個(gè)圖案，請(qǐng)你再給出幾種不同拼法.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，試用兩種不同方法計(jì)算圖2中大正方形(或小正方形)的面積。從中你發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明方法了嗎?在拼出的其他圖案中再試一試，看看在哪些圖案中能用類似的方法證明勾股定理.

請(qǐng)你從有關(guān)書籍或互聯(lián)網(wǎng)上再找一些證明勾股定理的方法，并與同學(xué)交流.復(fù)習(xí)鞏固1.兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一人以20m/min的速度向北直行，一人以30m/min的速度向東直行.10min后他們相距多遠(yuǎn)(結(jié)果取整數(shù))?復(fù)習(xí)鞏固2.如圖，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓的圓心O的平面截圓錐得截面SAB，其中SA=SB，AB是圓錐底面圓O的直徑。已知SA=7cm，AB=4cm，求截面△SAB的面積復(fù)習(xí)鞏固3.如圖，車床齒輪箱殼要鉆兩個(gè)圓孔，兩孔中心的距離是134mm，兩孔中心的水平距離是77mm。計(jì)算兩孔中心的垂直距離(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)費(fèi)馬大定理的證明最終由英國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾斯完成。下面以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？請(qǐng)你應(yīng)用勾股定理提出一個(gè)解決這個(gè)問(wèn)題的方案，并與同學(xué)交流.（3）13，11，9．逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．如圖1，學(xué)校需要測(cè)量旗桿的高度。如圖，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓的圓心O的平面截圓錐得截面SAB，其中SA=SB，AB是圓錐底面圓O的直徑。邏輯推理證明結(jié)論追問(wèn)2通過(guò)對(duì)以上勾股數(shù)的研究，你有什么樣的猜想？因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行下列各命題都成立，寫出它們的逆命題。如圖，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓的圓心O的平面截圓錐得截面SAB，其中SA=SB，AB是圓錐底面圓O的直徑。(4)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等題設(shè)（條件）：直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．如圖所示的三角形中，哪些是直角三角形，哪些不是，

說(shuō)說(shuō)你的理由．②6，8