向量及其線性運算課件2

1數(shù)量關系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點,線,面基本方法

—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)

2第一節(jié)向量及其線性運算教學內(nèi)容

1向量的概念與向量的線性運算;2空間直角坐標系;3利用坐標作向量的線性運算;4向量的模，方向角，投影;本節(jié)考研要求

1理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示;2掌握向量的線性運算，理解單位向量，方向角與方向余弦，向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算方法.

3向量（矢量）：既有大小又有方向的量.模長為1的向量。零向量：模長為0的向量||向量的模：向量的大小單位向量：一、向量的概念或或向量的記法：（方向任意）。向量的表示：4規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;5二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加

.672.向量的減法三角不等式8*例1

試證：任一個三角形的三條中線向量可以構成一個三角形。證ABCDEF93.向量與數(shù)的乘法是一個數(shù),規(guī)定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結(jié)合律分配律因此10定理1.設

a

為非零向量,則(為唯一實數(shù))證:“”.,?。健狼以僮C數(shù)的唯一性.則a∥b設a∥b取正號,反向時取負號,,a,b

同向時則b

與a

同向,設又有b＝

a,11“”則例1.

設M

為解:ABCD對角線的交點,已知

b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b12ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念Ⅰ13向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點

M特殊點的坐標:有序數(shù)組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);14坐標軸:坐標面:152.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點

M

則沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量

r

的坐標分解式

,任意向量r

可用向徑OM

表示.16向徑OM有序數(shù)組稱為(x,y,z)向徑OM的坐標,點M點M的坐標。xyz向量AB的坐標=向徑OM的坐標A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)M(x2-x1,y2-y1,z2-z1)=AB的終點坐標(x2,y2,z2)-起點坐標(x1,y1,z1)=(x2-

x1,y2-

y1,z2-z1)17——按基本單位向量的分解式.18四、利用坐標作向量線性運算19即：平行向量對應坐標成比例:20例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:

①②2×①－3×②,得代入②得1.什么是傳統(tǒng)機械按鍵設計？傳統(tǒng)的機械按鍵設計是需要手動按壓按鍵觸動PCBA上的開關按鍵來實現(xiàn)功能的一種設計方式。傳統(tǒng)機械按鍵設計要點：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關按鍵和塑膠按鍵設計間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機械按鍵結(jié)構層圖：按鍵開關鍵PCBA22例3.

已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數(shù)得即23說明:

由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:24五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與25例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點26例5.

在z

軸上求與兩點等距解:

設該點為解得故所求點為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?離的點.27提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.已知兩點和解:求282.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作29方向余弦的性質(zhì):30例7.

已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量31例8.

設點A

位于第一卦限,解:

已知角依次為求點A

的坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標為向徑OA

與x

軸y軸的夾32所求向量有兩個，一個與同向，一個反向?；蚪?3(1)空間一點在軸上的投影3、向量在軸上的投影與投影定理34(2)空間向量(向徑)在軸上的投影過Ｍ點作u軸給定的垂直平面交u軸于則向量稱為向量在u軸上的分向量．設則數(shù)稱為向量在u軸上的投影,記為由此定義,向量在坐標系中的坐標就是在三坐標軸上的投影,即35注空間向量在軸上的投影36關于向量的投影定理(1)證37定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)

相等向量在同一軸上投影相等；3