運(yùn)籌學(xué)2對偶問題課件

運(yùn)籌學(xué)2對偶問題6、法律的基礎(chǔ)有兩個(gè)，而且只有兩個(gè)……公平和實(shí)用?！?、有兩種和平的暴力，那就是法律和禮節(jié)。——歌德8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序?！獊喞锸慷嗟?、上帝把法律和公平湊合在一起，可是人類卻把它拆開。——查·科爾頓10、一切法律都是無用的，因?yàn)楹萌擞貌恢鼈儯鴫娜擞植粫?huì)因?yàn)樗鼈兌兊靡?guī)矩起來。——德謨耶克斯運(yùn)籌學(xué)2對偶問題運(yùn)籌學(xué)2對偶問題6、法律的基礎(chǔ)有兩個(gè)，而且只有兩個(gè)……公平和實(shí)用?！?、有兩種和平的暴力，那就是法律和禮節(jié)?！璧?、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序?！獊喞锸慷嗟?、上帝把法律和公平湊合在一起，可是人類卻把它拆開。——查·科爾頓10、一切法律都是無用的，因?yàn)楹萌擞貌恢鼈?，而壞人又不?huì)因?yàn)樗鼈兌兊靡?guī)矩起來?！轮円怂笴hapter2對偶問題DualProblem1.線性規(guī)劃的對偶模型DualModelofLP2.對偶性質(zhì)Dualproperty3.對偶單純形法DualSimplexMethod4.靈敏度分析SensitivityAnalysis運(yùn)籌學(xué)OperationsResearch在線性規(guī)劃問題中，存在一個(gè)有趣的問題，即每一個(gè)線性規(guī)劃問題都伴隨有另一個(gè)線性規(guī)劃問題，稱它為對偶線性規(guī)劃問題?！纠?.1】某企業(yè)用四種資源生產(chǎn)三種產(chǎn)品，工藝系數(shù)、資源限量及價(jià)值系數(shù)如下表：建立總收益最大的數(shù)學(xué)模型。1.發(fā)掘生活素材、運(yùn)用直觀教具與實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生直觀地理解幾何概念在課堂教學(xué)中，借助直觀教具，聯(lián)系生活實(shí)際，充分利用有價(jià)值的生活素材來補(bǔ)充教材，重組教材內(nèi)容，以便更好地組織學(xué)生學(xué)習(xí)"空間與圖形"的知識。1.1通過直觀的工具，為學(xué)生理解幾何概念提供幫助。小學(xué)生在思維方面，多是以形象思維和直觀思維為主。因此，教師在幾何圖形的教學(xué)期間，借助一些直觀的工具，對學(xué)生理解幾何圖形的概念可起到一定的幫助。以"長方體"的教學(xué)為例，在教學(xué)期間教師可對一些相關(guān)的道具加以利用，如書本、長方體紙盒等，通過演示道具，使學(xué)生直接觀察到幾何圖像的特征。在實(shí)踐操作的過程中，教師可借由長方體的模型讓學(xué)生直接觀察到長方體在面與面之間的特征，接著，由此引出正方體中的"棱"，進(jìn)而通過"棱"將"頂點(diǎn)"引出。通過模型，學(xué)生可更快速地理解長方體的概念。在選擇教具時(shí)，教師要注意選擇具有典型性的實(shí)物或者模型，它們要能明顯地體現(xiàn)學(xué)習(xí)對象的本質(zhì)，減少非本質(zhì)屬性的干擾。同時(shí)還要注意教具的大小及演示的高度，要做到讓全班學(xué)生都看得到，看得清楚。1.2通過直觀操作，促進(jìn)學(xué)生理解概念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：動(dòng)手操作、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。幾何形體概念需要理解它的本質(zhì)，只借助看、聽、說等方法是不夠的，在教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合實(shí)例，聯(lián)系學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)，采用直觀操作等實(shí)踐活動(dòng)的形式，幫助學(xué)生理解概念。給學(xué)生創(chuàng)設(shè)動(dòng)手操作、自主探究的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和空間，讓學(xué)生在操作中從抽象到概括，獲取數(shù)學(xué)知識和體驗(yàn)。在指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、自主探究的過程中，注意操作的可行性和有效性。我的具體做法是：制定明確的目標(biāo)；選擇合適的時(shí)機(jī)；留有適當(dāng)?shù)目臻g；加強(qiáng)方法的指導(dǎo)。例如：教學(xué)"長方形的認(rèn)識"的教學(xué)，在學(xué)生掌握圖形名稱的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生借助自己動(dòng)手制作的長方形實(shí)物模型，通過折一折，量一量，進(jìn)一步觀察、分析、對比，自己說出長方形的特征（對邊相等四個(gè)角都是直角），在此基礎(chǔ)上，再擴(kuò)展到生活中去，答出哪些物體的形狀是長方形的。這樣讓學(xué)生在操作中思維，在思維中操作，在頭腦中形成清晰的表象。2.緊緊圍繞幾何圖像的特點(diǎn)，使學(xué)生更迅速地理解幾何概念在解決幾何圖像問題的過程中，學(xué)生通常會(huì)聯(lián)想到相應(yīng)的幾何圖像，所以在幾何圖形的教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意將幾何圖形的概念與相關(guān)的幾何圖像聯(lián)系到一起。2.1加強(qiáng)變式，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)。變式是指概念的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化。變式用以說明同一個(gè)概念的本質(zhì)特征相同、非本質(zhì)特征不同的一組實(shí)例。這些實(shí)例都是概念的正例，但是它們在概念的非本質(zhì)特征方面有變化。由于概念所指的對象除了具有相同的本質(zhì)屬性以外，還會(huì)在非本質(zhì)屬性方面有不同的表現(xiàn)，在幾何形體概念的教學(xué)中，我們可以充分運(yùn)用變式來幫助學(xué)生獲得更精確、更穩(wěn)定的概念。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)"互相垂直"的概念時(shí)，常常習(xí)慣于豎著理解，過直線外一線作垂線也習(xí)慣于向水平方向畫。當(dāng)變化了直線的方向、位置，就會(huì)受標(biāo)準(zhǔn)方向的定勢影響，發(fā)生錯(cuò)誤，以至后來在位置或形狀有了變化的三角形（平行四邊形、梯形）中找錯(cuò)、畫錯(cuò)高，影響面積的正確計(jì)算，其原因就在于"互相垂直"這個(gè)概念的形成階段未能為學(xué)生提供充分的變式材料，學(xué)生沒能在"兩條直線相交成直角"這一本質(zhì)意義上對"互相垂直"實(shí)行抽象概括。其實(shí)，在學(xué)生開始學(xué)習(xí)"互相垂直"時(shí)，教師不僅要提供互相垂直的標(biāo)準(zhǔn)式，而且要提供互相垂直的各種變式的練習(xí)。在認(rèn)識和畫出三角形（平行四邊形、梯形）的高時(shí)，不僅在標(biāo)準(zhǔn)圖形中進(jìn)行，而且要在變式圖形中進(jìn)行。然后引導(dǎo)學(xué)生分析、比較，找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而幫助學(xué)生從不同方面理解"三角形的高"，明確"三角形的高"的本質(zhì)特征。2.2通過表象作用，為學(xué)生理解幾何概念提供幫助。首先，在教學(xué)期間為學(xué)生準(zhǔn)備相應(yīng)的幾何圖形直觀感知材料，使學(xué)生通過材料直接取得幾何圖像的表象。其次，適當(dāng)對形成表象采取加工處理，為學(xué)生建立起表象。在教學(xué)的過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過想象來描寫直觀材料所具有的特征。在建立起幾何圖形的表象后，將會(huì)為學(xué)生在今后的幾何學(xué)習(xí)與解題中提供很大的幫助。3.建立幾何圖像概念網(wǎng)絡(luò)體系，使學(xué)生更精確地掌握幾何概念在教學(xué)前，教師可對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了解，進(jìn)而對新舊知識、生活與知識等之間的相關(guān)點(diǎn)進(jìn)行探索，從而設(shè)計(jì)出合理有效的教學(xué)方案，為學(xué)生建立起當(dāng)中的關(guān)系網(wǎng)。3.1分清概念的不同之處。幾何圖像的概念學(xué)習(xí)中，存在不少相近概念，若學(xué)生未能正確區(qū)分，極易發(fā)生混淆現(xiàn)象。因此教師需教會(huì)學(xué)生如何分清與辨別各個(gè)概念，此時(shí)，教師可通過對比相近的事物，幫助學(xué)習(xí)正確分析相近幾何圖像的概念。3.2巧妙結(jié)合圖示和意義。一般情況下，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何圖像的概念時(shí)，均是通過具體至表象至抽象這一個(gè)過程認(rèn)識并建立起的。所以，在教學(xué)期間，教師應(yīng)注意結(jié)合圖示和意義，引導(dǎo)學(xué)生整理與歸納幾何圖形的概念，加深學(xué)生對幾何圖形概念的理解?？傊?，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展是幾何形體概念教學(xué)永恒不變的追求！教師只有根據(jù)概念的本質(zhì)屬性，從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用各種有效地嘗試教學(xué)方法、策略，以發(fā)展的觀點(diǎn)開展嘗試教學(xué)，在概念的系統(tǒng)中教學(xué)概念，建立起概念之間的聯(lián)系，緊扣概念本質(zhì)，幫助學(xué)生在觀察、探索、體驗(yàn)、實(shí)踐中深入剖析理解概念本質(zhì)，才能收到良好的嘗試教學(xué)效果和享受。2011版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)的正式頒行，意味著課程改革又進(jìn)入了一個(gè)新的階段。新課標(biāo)明確指出：“義務(wù)教育物理課程應(yīng)體現(xiàn)物理學(xué)的本質(zhì)，反映物理學(xué)對社會(huì)發(fā)展的影響；應(yīng)注重學(xué)生的全面發(fā)展，關(guān)注學(xué)生應(yīng)對未來社會(huì)挑戰(zhàn)的需求；應(yīng)發(fā)揮在培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)方面的重要作用”，這為初中物理教學(xué)指明了方向。這次修訂，為減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，在“知識與技能”方面作了適當(dāng)調(diào)整，但由于“過程”和“情感”目標(biāo)對學(xué)生基本素質(zhì)的形成具有關(guān)鍵意義，在“過程與方法”和“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”方面，不僅沒有弱化，而且有一定程度的加強(qiáng)，它更突出能力為重、強(qiáng)化能力培養(yǎng)。下面通過分析新課標(biāo)中課程內(nèi)容的變化及特點(diǎn)，思考對初中物理教學(xué)和考試評價(jià)帶來的影響，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。課標(biāo)的第三部分原名為“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”，現(xiàn)改為“課程內(nèi)容”，其中包含科學(xué)探究和科學(xué)內(nèi)容兩部分；原主題欄目“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”現(xiàn)改為“內(nèi)容要求”。筆者認(rèn)為名詞更改后用詞更準(zhǔn)確，對教學(xué)的指導(dǎo)更確切，它規(guī)定的是義務(wù)教育物理課程的基本學(xué)習(xí)內(nèi)容和應(yīng)達(dá)到的基本要求，也就是我們常說教學(xué)中的最低要求，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際能力分層次要求，防止個(gè)別教師誤解為“到此為止”。一、科學(xué)探究的變化1.“科學(xué)探究要素”名稱變化科學(xué)探究第三個(gè)要素名稱由原“制定計(jì)劃與設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)”改為“設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)與制訂計(jì)劃”，更加突出了對學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ呐囵B(yǎng)。因此，在平時(shí)教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生依據(jù)實(shí)驗(yàn)原理設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，學(xué)會(huì)選擇研究方法和測量器材，制訂出較科學(xué)的實(shí)驗(yàn)計(jì)劃和步驟。2.“科學(xué)探究能力基本要求”的修訂新課標(biāo)對科學(xué)探究七個(gè)要素的具體能力要求在水平層次和內(nèi)容上適度微調(diào)和整合。（1）各要素的認(rèn)知目標(biāo)均由“認(rèn)識”改為“了解”，即把“認(rèn)識……的意義（重要性、作用）”的表述統(tǒng)一改為“了解……的意義”，適當(dāng)降低了對學(xué)生認(rèn)知目標(biāo)的水平層次。（2）刪去“嘗試評估有關(guān)信息的科學(xué)性”、“能注意假設(shè)與探究結(jié)果間的差異”，增加了“能對收集的信息進(jìn)行簡單的歸類”。個(gè)別要求在文字上作了調(diào)整和整合，如將“嘗試對問題的成因提出猜想”中“成因”改為“可能答案”，將“會(huì)閱讀簡單儀器的說明書，能按書面說明進(jìn)行操作”中“書面說明”改為“要求”，將“能寫出簡單的探究報(bào)告”改為“能表述探究的問題、過程和結(jié)果”，對學(xué)生能力要求的可操作性增強(qiáng)。3.“科學(xué)探究案例”的修訂原課標(biāo)有兩個(gè)課外科學(xué)探究案例，修訂后刪去了其中一個(gè)案例，補(bǔ)充了兩個(gè)課內(nèi)探究實(shí)例。原課標(biāo)的探究案例對教師認(rèn)識科學(xué)探究要素起了很大幫助，修訂后的三個(gè)案例有較合理的內(nèi)容結(jié)構(gòu)：既有課內(nèi)探究，也有課外探究，且在每一個(gè)案例后增寫了一段“評析”。目的在引導(dǎo)教師認(rèn)識：課內(nèi)的探究和課外的探究有什么區(qū)別？案例是怎樣處理課堂時(shí)間少和探究過程多的矛盾？怎樣處理學(xué)生“自主”和教師“指導(dǎo)”的矛盾？解決以上矛盾的辦法是：側(cè)重部分探究要素的教學(xué)。在教學(xué)中，教師應(yīng)明確本課要培養(yǎng)的探究能力目標(biāo)是什么？重點(diǎn)要訓(xùn)練的探究要素是什么？屬于本課題能力目標(biāo)的要素，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，讓他們獨(dú)立完成；不屬于本課題的過程目標(biāo)，可以大膽發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓學(xué)生把主要精力放在教師事先設(shè)計(jì)需要強(qiáng)化的要素上。實(shí)際上，由于不同的課題分別突出了不同的探究要素，學(xué)生探究能力得到的是深入和全面的發(fā)展。二、科學(xué)內(nèi)容的調(diào)整課標(biāo)中科學(xué)內(nèi)容含“物質(zhì)”、“運(yùn)動(dòng)與相互作用”及“能量”三大一級主題，在每個(gè)一級主題下有若干二級主題，每個(gè)二級主題下又有若干三級主題。此次修訂保留了原課標(biāo)中的一級、二級主題，主要針對三級主題內(nèi)容進(jìn)行了修改。原有“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”68條，修訂后有“內(nèi)容要求”63條。具體有如下變化、特點(diǎn)：1.刪減或整合內(nèi)容，以減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)（1）刪去的條目*“能從生活或社會(huì)應(yīng)用的角度，對物質(zhì)進(jìn)行分類”。在化學(xué)學(xué)科已有類似條目，課標(biāo)對此不再單列，將對生活和社會(huì)的關(guān)注在其它條目中予以重視。*在“比較色光混合與顏料混合的不同現(xiàn)象”中，刪去了“顏料混合”的內(nèi)容，改為“了解色光混合的現(xiàn)象”。*“知道波長、頻率和波速的關(guān)系”，改為“知道波長、頻率和波速”。這些知識進(jìn)入高中后將會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)，刪去后并不影響初中知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)和完整，因此關(guān)于計(jì)算問題就可以不考慮。*“探究光在同種均勻介質(zhì)中的傳播特點(diǎn)”。此知識小學(xué)科學(xué)課已學(xué)，初中又沒有進(jìn)一步提升，沒有必要列入條目重復(fù)提出要求。但學(xué)生若對此知識不夠清晰，教學(xué)中還是有必要提醒的。（2）降低要求的條目課標(biāo)是通過行為動(dòng)詞的調(diào)整，適當(dāng)降低內(nèi)容要求。*原“理解機(jī)械效率”的要求，現(xiàn)下調(diào)為“知道”。機(jī)械效率問題本來就是教學(xué)難點(diǎn)，修訂后機(jī)械效率的簡單計(jì)算可以要求，較復(fù)雜的問題能力高的學(xué)生可以選擇面對。*原“理解物體的慣性”要求，現(xiàn)為“能用物體的慣性解釋生活和自然中的有關(guān)現(xiàn)象”，側(cè)重于解釋現(xiàn)象。*關(guān)于“不可再生能源和可再生能源”，修訂后只要求“列舉”，不再強(qiáng)調(diào)“說出特點(diǎn)”。值得注意的是“知道白光是由色光組成的”改為“了解白光的組成”；“解釋機(jī)械功的含義”調(diào)為“說明”；“認(rèn)識機(jī)械的使用對社會(huì)發(fā)展的作用”調(diào)為“了解”；“嘗試用比熱容解釋簡單的自然現(xiàn)象”中“解釋”調(diào)為“說明”。這些基本上是在同一水平層次的規(guī)范表述，但從行為動(dòng)詞改變看，似乎也隱含著一點(diǎn)微調(diào)。（3）整合的條目課標(biāo)將半導(dǎo)體、超導(dǎo)體、納米材料等有關(guān)條目合并為“通過收集信息，了解一些新材料的應(yīng)用和發(fā)展前景，了解新材料的發(fā)展對人類生活和社會(huì)發(fā)展帶來的影響”，而原來相關(guān)的三個(gè)條目則作為例子列入，這樣既降低了難度，又為教材編寫和教學(xué)留下了更多空間。2.明確和細(xì)化內(nèi)容要求，以利于教學(xué)和評價(jià)（1）認(rèn)知領(lǐng)域只設(shè)了解、認(rèn)識、理解三個(gè)水平層次。修訂后規(guī)范了行為動(dòng)詞，不再使用“初步認(rèn)識”、“大致了解”等介于兩者之間的說法，使各認(rèn)知水平更加統(tǒng)一和簡潔。（2）細(xì)化條目，使教學(xué)和評價(jià)要求進(jìn)一步明確。原課標(biāo)中有些內(nèi)容條目比較原則，不便于評價(jià)，修訂后做了進(jìn)一步細(xì)化，詳見下表。（3）明確列出了學(xué)生實(shí)驗(yàn)具體項(xiàng)目課標(biāo)對具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的要求有31條，哪些是演示實(shí)驗(yàn)，哪些應(yīng)作為學(xué)生實(shí)驗(yàn)，過去不明確。本次修訂明確列出了20個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目作為學(xué)生實(shí)驗(yàn)，也就是說學(xué)生至少要?jiǎng)邮植僮鬟@20個(gè)實(shí)驗(yàn)，對于其他實(shí)驗(yàn)，如果可能，教師也可以創(chuàng)造條件讓學(xué)生做分組實(shí)驗(yàn)。3.適當(dāng)增加內(nèi)容，優(yōu)化三維目標(biāo)（1）增加了優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)容“觀察摩擦起電現(xiàn)象，探究并了解同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引?！贝藯l目在小學(xué)科學(xué)、高中物理課程中皆未明確要求，此內(nèi)容與生產(chǎn)生活聯(lián)系密切且對后續(xù)學(xué)習(xí)有一定影響。除此外還增加了“知道原子是由原子核和電子組成的”，“知道噪聲的危害”，“知道地磁場”，“了解熱機(jī)的工作原理”，“知道電壓、電流和電阻”，“了解串、并聯(lián)電路電流和電壓的特點(diǎn)”，“理解電功”等知識點(diǎn)。（2）增加了探究過程的內(nèi)容“通過實(shí)驗(yàn)測量物體運(yùn)動(dòng)的速度”，“通過實(shí)驗(yàn)，探究液體壓強(qiáng)與哪些因素有關(guān)”，“通過實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識磁場”，“通過實(shí)驗(yàn)，了解電流周圍存在磁場”。（3）增加了注重情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)落實(shí)的內(nèi)容“運(yùn)用物體的浮沉條件說明生產(chǎn)、生活中的一些現(xiàn)象”，“知道大氣壓強(qiáng)及其與人類生活的關(guān)系”，“了解提高機(jī)械效率的途徑和意義”，“了解電磁感應(yīng)在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用”，“用焦耳定律說明生產(chǎn)、生活中的一些現(xiàn)象”，“能在個(gè)人力所能及的范圍內(nèi)對社會(huì)的可持續(xù)發(fā)展有所作為”，“有節(jié)約用電的意識”等，這些內(nèi)容強(qiáng)化了物理知識與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，更加關(guān)注知識的實(shí)踐應(yīng)用，是教學(xué)聯(lián)系實(shí)際的好素材。值得注意的是：課標(biāo)看似刪去了“了解測量大氣壓強(qiáng)的方法”，其實(shí)在“知道大氣壓強(qiáng)及其與人類生活的關(guān)系”中已體現(xiàn)?？此苿h去了“了解物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因”，其實(shí)在“認(rèn)識力的作用效果”中體現(xiàn)了物體受到力時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何改變，在“通過實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識牛頓第一定律”中體現(xiàn)了物體不受力時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何。課標(biāo)刪去這兩條，是為了使行文的含義準(zhǔn)確，避免重復(fù)陳述，并沒有刪去這兩方面的內(nèi)容要求。再如，看似刪了“能用實(shí)驗(yàn)證實(shí)電磁相互作用”，實(shí)則在“通過實(shí)驗(yàn)，了解電流周圍存在磁場”、“通過實(shí)驗(yàn)，了解通電導(dǎo)線在磁場中會(huì)受到力的作用”中已有體現(xiàn)，不需再重復(fù)?？此苿h了“有評估某些物質(zhì)對人和環(huán)境的積極和消極影響的意識”，實(shí)則在其他條目中有“關(guān)注環(huán)境、保護(hù)環(huán)境”的要求?？此苿h了“能簡單描述溫度和內(nèi)能的關(guān)系”，其實(shí)在“了解分子熱運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)”中已包含。Chapter2對偶問題DualProblem1.線性規(guī)劃的對偶模型

DualModelofLP2.對偶性質(zhì)

Dualproperty3.對偶單純形法

DualSimplexMethod4.靈敏度分析

SensitivityAnalysis運(yùn)籌學(xué)OperationsResearch在線性規(guī)劃問題中，存在一個(gè)有趣的問題，即每一個(gè)線性規(guī)劃問題都伴隨有另一個(gè)線性規(guī)劃問題，稱它為對偶線性規(guī)劃問題?！纠?.1】某企業(yè)用四種資源生產(chǎn)三種產(chǎn)品，工藝系數(shù)、資源限量及價(jià)值系數(shù)如下表：產(chǎn)品資源ABC資源限量Ⅰ986500Ⅱ547450Ⅲ832300Ⅳ764550每件產(chǎn)品利潤1008070

建立總收益最大的數(shù)學(xué)模型?！窘狻吭O(shè)x1，x2，x3分別為產(chǎn)品A，B，C的產(chǎn)量，則線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：現(xiàn)在從另一個(gè)角度來考慮企業(yè)的決策問題。假如企業(yè)自己不生產(chǎn)產(chǎn)品，而將現(xiàn)有的資源轉(zhuǎn)讓或出租給其它企業(yè)，那么資源的轉(zhuǎn)讓價(jià)格是多少才合理？價(jià)格太高對方不愿意接受，價(jià)格太低本單位收益又太少。合理的價(jià)格應(yīng)是對方用最少的資金購買本企業(yè)的全部資源，而本企業(yè)所獲得的利潤不應(yīng)低于自己用于生產(chǎn)時(shí)所獲得的利潤。這一決策問題可用下列線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型來表示。設(shè)y1，y2，y3及y4分別表示四種資源的單位增殖價(jià)格（售價(jià)＝成本＋增殖），總增殖最低可用minw=500y1+450y2+300y3+550y4

表示。企業(yè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A用了四種資源的數(shù)量分別是9，5，8和7個(gè)單位，利潤是100,企業(yè)出售這些數(shù)量的資源所得的利潤不能少于100，即同理，對產(chǎn)品B和C有價(jià)格不可能小于零，即有yi≥0,i=1,…,4.從而企業(yè)的資源價(jià)格模型為這是一個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，稱這一線性規(guī)劃問題是前面生產(chǎn)計(jì)劃問題的對偶線性規(guī)劃問題或?qū)ε紗栴}。生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃問題稱為原始線性規(guī)劃問題或原問題?！纠?.2】某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補(bǔ)充A、B、C三種營養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位，C不少于180單位。此人準(zhǔn)備每天從六種食物中攝取這三種營養(yǎng)成分。已知六種食物每百克的營養(yǎng)成分含量及食物價(jià)格如下表，試建立此人在滿足健康需要的基礎(chǔ)上花費(fèi)最少的數(shù)學(xué)模型。

營養(yǎng)成分

一

二

三

四

五

六需要量80B24930251215≥150C1872134100≥180食物單價(jià)（元/100g）0.50.40.80.90.30.2

含量食物【解】設(shè)xj為每天第j種食物的用量，數(shù)學(xué)模型為現(xiàn)有一制藥廠要生產(chǎn)一種包含A、B、C三種營養(yǎng)成分的合成藥，如何制定價(jià)格，使得此藥既要暢銷又要產(chǎn)值最大。設(shè)yi（i=1，2，3）為第i種營養(yǎng)成分的單價(jià)，則影子價(jià)格(Shadowprice):

上面兩個(gè)線性規(guī)劃有著重要的經(jīng)濟(jì)含義。原始線性規(guī)劃問題考慮的是充分利用現(xiàn)有資源，以產(chǎn)品的數(shù)量和單位產(chǎn)品的收益來決定企業(yè)的總收益，沒有考慮到資源的價(jià)格，但實(shí)際在構(gòu)成產(chǎn)品的收益中，不同的資源對收益的貢獻(xiàn)也不同，它是企業(yè)生產(chǎn)過程中一種隱含的潛在價(jià)值，經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為影子價(jià)格，即對偶問題中的決策變量yi的值。由后面的對偶性質(zhì)可知：原問題和對偶問題的最優(yōu)值相等，故有即yi是第i種資源的變化率，說明當(dāng)其它資源供應(yīng)量bk(k≠i)不變時(shí)，bi增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)值Z增加yi個(gè)單位。例如，第一種資源的影子價(jià)格為y1=2，第二種資源的影子價(jià)格為y2=2，即當(dāng)?shù)谝环N資源增加一個(gè)單位時(shí)，Z增加2個(gè)單位，當(dāng)?shù)诙N資源增加一個(gè)單位時(shí)，Z增加2個(gè)單位。企業(yè)可利用影子價(jià)格調(diào)節(jié)生產(chǎn)規(guī)模。例如，目標(biāo)函數(shù)Z表示利潤（或產(chǎn)值），當(dāng)?shù)趇種資源的影子價(jià)格大于零（或高于市場價(jià)格）時(shí)，表示有利可圖，企業(yè)應(yīng)購進(jìn)該資源擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，當(dāng)影子價(jià)格等于零（或低于市場價(jià)格），企業(yè)不能增加收益，這時(shí)應(yīng)將資源賣掉或出讓，縮小生產(chǎn)規(guī)模。應(yīng)當(dāng)注意，是在最優(yōu)基B不變的條件下有上述經(jīng)濟(jì)含義，當(dāng)某種資源增加或減少后，最優(yōu)基B可能發(fā)生了變化，這時(shí)yi的值也隨之變化。在例2.1中，原問題的最優(yōu)解X＝（24.24，0，46.96）對偶問題的最優(yōu)解Y＝（10.6，0.91，0，0）最優(yōu)值z=w=5712.12分析：1.y1=10.6說明在現(xiàn)有的資源限量的條件下，增加一個(gè)單位第一種資源可以給企業(yè)帶來10.6元的利潤；如果要出售該資源，其價(jià)格至少在成本價(jià)上加10.6元。2.y3=0說明增加第三種資源不會(huì)增加利潤，因?yàn)榈谌N資源還有沒有用完。問題：1.第三、四種資源的售價(jià)是多少，是否不值錢？2.如果要增加利潤，企業(yè)應(yīng)增加哪幾種資源，各增加多少后再進(jìn)行調(diào)整？上面兩種形式的線性規(guī)劃稱為對稱形式。原問題和對偶問題是互為對偶的兩個(gè)線性規(guī)劃問題，已知一個(gè)問題就可寫出另一個(gè)問題。對稱形式的定義是：目標(biāo)函數(shù)求極大值時(shí)，所有約束條件為≤號，變量非負(fù)；

目標(biāo)函數(shù)求極小值時(shí)，所有約束條件為≥號，變量非負(fù)。

對稱形式的線性規(guī)劃的對偶問題亦是對稱形式。以上是依據(jù)經(jīng)濟(jì)問題推導(dǎo)出對偶問題，還可以用代數(shù)方法推導(dǎo)出對偶問題?！纠?.3】寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題【解】這是一個(gè)對稱形式的線性規(guī)劃，設(shè)Y=（y1，y2），則有從而對偶問題為對偶變量yi也可寫成xi的形式?！纠?.4】寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題【解】這是一個(gè)對稱形式的線性規(guī)劃，它的對偶問題求最小值，有三個(gè)變量且非負(fù)，有兩個(gè)“≥”約束，即若給出的線性規(guī)劃不是對稱形式，可以先化成對稱形式再寫對偶問題。也可直接按表2－1中的對應(yīng)關(guān)系寫出非對稱形式的對偶問題。將上述原問題與對偶問題的對應(yīng)關(guān)系列于表2－1例如，原問題是求最小值，按表2-1有下列關(guān)系：1.第i個(gè)約束是“≤”約束時(shí)，第i個(gè)對偶變量yj≤02．第i個(gè)約束是“=”約束時(shí)，第i個(gè)對偶變量yi無約束；3．當(dāng)xj≤0時(shí)，第j個(gè)對偶約束為“≥”約束，當(dāng)xj無約束時(shí)，第j個(gè)對偶約束為“=”約束。原問題（或?qū)ε紗栴}）對偶問題（或原問題）目標(biāo)函數(shù)（max）目標(biāo)函數(shù)系數(shù)（資源限量）約束條件系數(shù)矩陣A（AT）目標(biāo)函數(shù)（min）資源限量（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)）約束條件系數(shù)矩陣ATA）變

量n個(gè)變量第j個(gè)變量≥0第j個(gè)變量≤0第j個(gè)變量無約束約

束n個(gè)約束第j個(gè)約束為≥第j個(gè)約束為≤第j個(gè)約束為=約

束m個(gè)約束第i個(gè)約束≤第i個(gè)約束≥第i個(gè)約束為=變

量m個(gè)變量第i個(gè)變量≥0第i個(gè)變量≤0第i個(gè)變量無約束表2－1【例2.5】寫出下列線性規(guī)劃的對偶問題【解】目標(biāo)函數(shù)求最小值，應(yīng)將表2－1的右邊看作原問題，左邊是對偶問題，原問題有3個(gè)約束4個(gè)變量，則對偶問題有3個(gè)變量4個(gè)約束，對照表2－1的對應(yīng)關(guān)系，對偶問題為：本節(jié)以實(shí)例引出對偶問題;介紹了如何寫對稱與非對稱問題的對偶問題;1.您應(yīng)該會(huì)寫任意線性規(guī)劃的對偶問題；2.深刻領(lǐng)會(huì)影子價(jià)格的含義，學(xué)會(huì)用影子價(jià)格作經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析。作業(yè)：教材P74T2.3（1）（2）TheEndofSection2.1對偶性質(zhì)Exit返回首頁設(shè)原問題是（記為LP）：對偶問題是（記為DP）：這里A是m×n矩陣X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假設(shè)Xs與Ys分別是（LP）與（DP）的松馳變量?！拘再|(zhì)1】對稱性對偶問題的對偶是原問題。【證】設(shè)原問題是7/16/2023它與下列線性規(guī)劃問題是等價(jià)的：再寫出它的對偶問題。它與下列線性規(guī)劃問題是等價(jià)的即是原問題。由表2－1知，它的對偶問題是7/16/2023【性質(zhì)2】弱對偶性設(shè)X°、Y°分別為（LP）與（DP）的可行解，則【證】因?yàn)閄°、Y°是可行解，故有AX°≤b,X°≥0及Y°A≥C，Y°≥0,將不等式AX°≤b兩邊左乘Y°得Y°AX°≤Y°b再將不等式Y(jié)°A≥C兩邊右乘X°，故CX°≤Y°AX≤Y°b這一性質(zhì)說明了兩個(gè)線性規(guī)劃互為對偶時(shí)，求最大值的線性規(guī)劃的任意目標(biāo)值都不會(huì)大于求最小值的線性規(guī)劃的任一目標(biāo)值，不能理解為原問題的目標(biāo)值不超過對偶問題的目標(biāo)值。得CX°≤Y°AX°7/16/2023由這個(gè)性質(zhì)可得到下面幾個(gè)結(jié)論：（1）（LP）的任一可行解的目標(biāo)值是（DP）的最優(yōu)值下界；（DP）的任一可行解的目標(biāo)是（LP）的最優(yōu)值的上界；（2）在互為對偶的兩個(gè)問題中，若一個(gè)問題可行且具有無界解，則另一個(gè)問題無可行解；(3）若原問題可行且另一個(gè)問題不可行，則原問題具有無界解。注意上述結(jié)論（2）及（3）的條件不能少。一個(gè)問題有可行解時(shí)，另一個(gè)問題可能有可行解（此時(shí)具有無界解）也可能無可行解。7/16/2023例如：無可行解，而對偶問題有可行解，由結(jié)論（3）知必有無界解。7/16/2023【性質(zhì)3】最優(yōu)準(zhǔn)則定理設(shè)X°與Y°分別是（LP）與（DP）的可行解，則當(dāng)X°、Y°是（LP）與（DP）的最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)CX°=Y°b.【證】若X°、Y°為最優(yōu)解，B為（LP）的最優(yōu)基，則有Y°=CBB－1，并且當(dāng)CX°=Y°b時(shí)，由性質(zhì)1，對任意可行解有即Y°b是（DP）中任一可行解的目標(biāo)值的下界，CX°是（LP）中任一可行解的目標(biāo)值的上界，從而X°、Y°是最優(yōu)解。7/16/2023【性質(zhì)4】還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個(gè)問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解?！咀C】設(shè)（LP）有最優(yōu)解X°，那么對于最優(yōu)基B必有C－CBB-1A≤0與－CBB-1≤0，即有Y°A≥C與Y°≥0，這里Y°=CBB-1，從而Y°是可行解，對目標(biāo)函數(shù)有由性質(zhì)3知Y°是最優(yōu)解。由性質(zhì)4還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個(gè)問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。7/16/2023【性質(zhì)5】互補(bǔ)松弛定理設(shè)X°、Y°分別為（LP）與（DP）的可行解，XS和YS是它的松弛變量的可行解，則X°和Y°是最優(yōu)解當(dāng)且僅當(dāng)YSX°=0和Y°XS=0【證】設(shè)X°和Y°是最優(yōu)解，由性質(zhì)3，CX°=Y°b，由于XS和YS是松弛變量，則有AX°＋XS＝bY°A－YS=C將第一式左乘Y°，第二式右乘X°得Y°AX°＋Y°XS＝Y(jié)°bY°AX°－YSX°=CX°7/16/2023顯然有Y°XS=－YSX°又因?yàn)閅°、Xs、Ys、X°≥0，所以有Y°XS=0和YSX°=0成立。反之，當(dāng)Y°XS=0和YSX°=0時(shí)，有Y°AX°＝Y(jié)°bY°AX°=CX°顯然有Y°b=CX°,由性質(zhì)3知Y°與X°是（LP）與（DP）的最優(yōu)解。證畢。7/16/2023性質(zhì)5告訴我們已知一個(gè)問題的最優(yōu)解時(shí)求另一個(gè)問題的最優(yōu)解的方法，即已知Y°求X°或已知X°求Y°。Y°XS=0和YSX°=0兩式稱為互補(bǔ)松弛條件。將互補(bǔ)松弛條件寫成下式由于變量都非負(fù)，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關(guān)系：7/16/2023（1）當(dāng)yi°>0時(shí)，，反之當(dāng)時(shí)yi°=0；注意：對于非對稱形式，性質(zhì)5的結(jié)論仍然有效?！纠?.6】已知線性規(guī)劃的最優(yōu)解是，求對偶問題的最優(yōu)解。7/16/2023的最優(yōu)解是，求對偶問題的最優(yōu)解?！窘狻繉ε紗栴}是因?yàn)閄1≠0，X2≠0，所以對偶問題的第一、二個(gè)約束的松弛變量等于零，即解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對偶問題的最優(yōu)解為Y=（1，1），最優(yōu)值w=26。7/16/2023【例2.7】已知線性規(guī)劃的對偶問題的最優(yōu)解為Y=（0,-2），求原問題的最優(yōu)解?！窘狻繉ε紗栴}是由y2≠0得=0，由得x2=0，原問題的約束條件變?yōu)?解此方程組得原問題最優(yōu)解：X=(-5,0,-1)T，minZ=-12。7/16/2023【例2.8】證明下列線性規(guī)劃無最優(yōu)解：【證】容易看出X=（4，0，0）是一可行解，故問題可行。對偶問題將三個(gè)約束的兩端分別相加得，而第二個(gè)約束有y2≥1，矛盾，故對偶問題無可行解，因而原問題為無界解，即無最優(yōu)解。7/16/2023【性質(zhì)6】（LP）的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)對應(yīng)于（DP）的一組基本解.其中第j個(gè)決策變量xj的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)對應(yīng)于（DP）中第j個(gè)松弛變量的解，第i個(gè)松弛變量的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)對應(yīng)于第i個(gè)對偶變量yi的解。反之，（DP）的檢驗(yàn)數(shù)（注意：不乘負(fù)號）對應(yīng)于（LP）的一組基本解。證明略。7/16/2023【例2.9】線性規(guī)劃（1）用單純形法求最優(yōu)解；（2）寫出每步迭代對應(yīng)對偶問題的基本解；（3）從最優(yōu)表中寫出對偶問題的最優(yōu)解；（4）用公式Y(jié)=CBB-1求對偶問題的最優(yōu)解?！窘狻浚?）加入松弛變量x4、x5后，單純形迭代如表2－2所示。7/16/2023表2－2XBx1x2x3x4x5b(1)x4x52*1-102410012→4λj6↑-2100

(2)x1x510-1/21/2*131/2-1/20113→λj01↑-5-30

(3)x1x21001460-11246λj00-11-2-2

7/16/2023最優(yōu)解X=（4，6，0），最優(yōu)值Z=6×4－2×6=12；（2）設(shè)對偶變量為y1、y2,松弛變量為y3、y4、y5,Y=（y1、y2、y3、y4、y5），由性質(zhì)6得到對偶問題的基本解（y1、y2、y3、y4、y5）=（－λ4，－λ5，－λ1，－λ2，－λ3），即表2－2（1）中λ=（6，－2，1，0，0），則Y（1）=（0，0，-6，2，－1）表2－2（2）中λ=（0，1，－5，－3，0），則Y（2）=（3，0，0，－1，5）表2－2（3）中λ=（0，0，－11，－2，－2），則Y（3）=（2，2，0，0，11）7/16/2023（1）因?yàn)楸?－2（3）為最優(yōu)解，故

Y（3）=（2，2，0，0，11）為對偶問題最優(yōu)解；（1）表2－2（3）中的最優(yōu)基

B-1為表2－2（3）中x4，x5兩列的系數(shù)，即CB=（6，－2），因而7/16/2023本節(jié)您學(xué)了六個(gè)對偶性質(zhì)；這些性質(zhì)是研究原問題與對偶問題解的對應(yīng)關(guān)系；表2－3也許對您了解這些性質(zhì)有幫助。表2－3一個(gè)問題max另一個(gè)問題min有最優(yōu)解有最優(yōu)解性質(zhì)4無最優(yōu)解無最優(yōu)解無最優(yōu)解性質(zhì)4無界解（有可行解）無可行解性質(zhì)2無可行解無界解（有可行解）應(yīng)用已知最優(yōu)解通過解方程求最優(yōu)解性質(zhì)5已知檢驗(yàn)數(shù)檢驗(yàn)數(shù)乘以－1求得基本解性質(zhì)67/16/2023試一試：判斷下列結(jié)論是否正確，如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？1．任何線性規(guī)劃都存在一個(gè)對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃.2．原問題第i個(gè)約束是“≤”約束，則對偶變量yi≥0.3．互為對偶問題，或者同時(shí)都有最優(yōu)解，或者同時(shí)都無最優(yōu)解.4．對偶問題有可行解，則原問題也有可行解.5．原問題有多重解，對偶問題也有多重解.6．對偶問題有可行解，原問題無可行解，則對偶問題具有無界解.7．原問題無最優(yōu)解，則對偶問題無可行解.8．若某種資源影子價(jià)格為零，則該資源一定有剩余.9．對偶問題不可行，原問題可能無界解.10．原問題與對偶問題都可行，則都有最優(yōu)解.11．原問題具有無界解，則對偶問題不可行.12．對偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解.13．若X*、Y*是原問題與對偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.14．在資源優(yōu)化的線性規(guī)劃問題中，若某一資源有剩余，則該資源影子價(jià)格為零.

7/16/2023作業(yè)：教材P75T2.4、2.6、2.5TheEndofSection2.2對偶單純形法Exit7/16/2023設(shè)原問題是（記為LP）：對偶問題是（記為DP）：根據(jù)對偶性質(zhì)6，可以構(gòu)造一個(gè)求線性規(guī)劃的另一種方法，即對偶單純形法。對偶單純形法的計(jì)算步驟：對偶單純形法的條件是：初始表中對偶問題可行，即極大化問題時(shí)λj≤0，極小化問題時(shí)λj≥0。7/16/2023（1）將線性規(guī)劃的約束化為等式，求出一組基本解，因?yàn)閷ε紗栴}可行，即全部檢驗(yàn)數(shù)λj≤0（max）或λj≥0（min）,當(dāng)基本解可行時(shí)，則達(dá)到最優(yōu)解；若基本解不可行，即有某個(gè)基變量的解bi<0，則進(jìn)行換基計(jì)算；（2）先確定出基變量。行對應(yīng)的變量xl出基；（3）再選進(jìn)基變量。求最小比值（4）求新的基本解，用初等變換將主元素alk化為l,k列其它元素化為零，得到新的基本解，轉(zhuǎn)到第一步重復(fù)運(yùn)算。7/16/2023【例2.10】用對偶單純形法求解【解】先將約束不等式化為等式，再兩邊同乘以（－1），得到用對偶單純形法，迭代過程如下頁或看演示(請啟用宏)。7/16/2023表2－47/16/2023應(yīng)當(dāng)注意：（1）用對偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對偶問題的最優(yōu)解；（2）初始表中一定要滿足對偶問題可行，也就是說檢驗(yàn)數(shù)滿足最優(yōu)判別準(zhǔn)則；（3）最小比值中的絕對值是使得比值非負(fù)，在極小化問題時(shí)λj≥0，分母aij<0這時(shí)必須取絕對值。在極大化問題中，λ≤j0分母aij<0，總滿足非負(fù)，這時(shí)絕對值符號不起作用，可以去掉。如在本例中將目標(biāo)函數(shù)寫成這里λj≤0在求θk時(shí)就可以不帶絕對值符號。7/16/2023（4）對偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進(jìn)基變量后確定出基變量，對偶單純形法是先確定出基變量后確定進(jìn)基變量；（5）普通單純形法的最小比值是其目的是保證下一個(gè)原問題的基本解可行，對偶單純形法的最小比值是其目的是保證下一個(gè)對偶問題的基本解可行；（6）對偶單純形法在確定出基變量時(shí)，若不遵循規(guī)則，任選一個(gè)小于零的bi對應(yīng)的基變量出基，不影響計(jì)算結(jié)果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。7/16/2023【例2.12】用對偶單純形法求解求解過程見演示（鏈接到Excel文件，需啟用宏）。7/16/2023例2.12可用性質(zhì)6及性質(zhì)2來說明，表（2）的第2行對應(yīng)于對偶問題的第2列（相差一個(gè)負(fù)號），檢驗(yàn)數(shù)行對應(yīng)于對偶問題的常數(shù)項(xiàng)（相差一個(gè)負(fù)號），比值對應(yīng)于對偶問題的比值失效也說明即對偶問題具有無界解，由性質(zhì)2知原問題無可行解。7/16/2023本節(jié)利用對偶性質(zhì)6：原問題的檢驗(yàn)數(shù)與對偶問題的基本解的對應(yīng)關(guān)系，介紹了一種特殊線性規(guī)劃的求解方法—對偶單純形法。1.對偶單純形法的應(yīng)用條件；2.出基與進(jìn)基的順序；3.如何求最小比值；4.最優(yōu)解、無可行解的判斷。作業(yè)：教材P76T2.7TheEndofSection3靈敏度分析Exit7/16/2023線性規(guī)劃的靈敏度分析也稱為敏感性分析，它是研究和分析參數(shù)（cj，bi，aij）的波動(dòng)對最優(yōu)解的影響程度，主要研究下面兩個(gè)方面：（1）參數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，原最優(yōu)解或最優(yōu)基不變；（2）當(dāng)參數(shù)已經(jīng)變化時(shí)，最優(yōu)解或最優(yōu)基有何變化。當(dāng)模型的參數(shù)發(fā)生變化后，可以不必對線性規(guī)劃問題重新求解，而用靈敏度分析方法直接在原線性規(guī)劃取得的最優(yōu)結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析或求解，既可減少計(jì)算量，又可事先知道參數(shù)的變化范圍，及時(shí)對原決策作出調(diào)整和修正。2.4.1價(jià)值系數(shù)cj的變化分析為使最優(yōu)解不變，求cj的變化范圍。7/16/2023設(shè)線性規(guī)劃其中Am×n，線性規(guī)劃存在最優(yōu)解，最優(yōu)基的逆矩陣為檢驗(yàn)數(shù)為要使最優(yōu)解不變，即當(dāng)cj變化為后，檢驗(yàn)數(shù)仍然是小于等于零，即這時(shí)分cj是非基變量和基變量的系數(shù)兩種情況討論。7/16/2023一、cj是非基變量xj的系數(shù)即cj的增量不超過cj的檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，最優(yōu)解不變，否則最優(yōu)解就要改變。所以7/16/2023二、ci是基變量xi的系數(shù)因ci∈CB，所以每個(gè)檢驗(yàn)數(shù)λj中含有ci,當(dāng)ci變化為ci＋后λj同時(shí)變化，這時(shí)令令7/16/2023要使得所有，則有【例2.13】線性規(guī)劃（1）求最優(yōu)解；（2）分別求c1,c2,c3的變化范圍，使得最優(yōu)解不變。7/16/2023【解】（1）加入松弛變量x4,x5,x6，用單純形法求解，最優(yōu)表如表2－6所示。表2－6Cj113000bCBXBx1x2x3x4x5x60x40－201－1－151x111001－153x301100115λj0－300－1－2

最優(yōu)解X=（5，0，15）;最優(yōu)值Z=50。7/16/2023（2）x2為非基變量，x1、x3為基變量，則c2變化范圍是：對于c1：表2－6是x1對應(yīng)行的系數(shù)只有一個(gè)負(fù)數(shù),有兩個(gè)正數(shù)c1的變化范圍是：7/16/2023對于c3：表2－6中x3對應(yīng)行Δc3無上界，即有Δc3≥－2，c3的變化范圍是。7/16/2023對c3的變化范圍，也可直接從表2－6推出，將c3=3寫成分別計(jì)算非基變量的檢驗(yàn)數(shù)并令其小于等于零。7/16/2023得Δc3≥－2，同理，用此方法可求出c2和c1的變化區(qū)間。，要使、同時(shí)小于等于零，解不等式組2.4.2資源限量bi變化分析為了使最優(yōu)基B不變，求bi的變化范圍。設(shè)br的增量為Δbr，b的增量為原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為X，基變量為XB=B－1b，要使最優(yōu)基B不變，即要求，7/16/2023因?yàn)?/16/2023所以當(dāng)令7/16/2023因而要使得所有必須滿足這個(gè)公式與求的上、下限的公式類似，比值的分子都小于等于零，分母是B－1中第r列的元素，大于等于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小值。當(dāng)某個(gè)時(shí)，可能上界或無下界?！纠?.14】求例2.13的b1,b2,b3分別在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，原最優(yōu)基不變。7/16/2023【解】解：由表2－6知，最優(yōu)基B、B－1及分別為對于b1：比值的分母取B－1的第一列，這里只有β11=1，而β21=β31=0，則7/16/2023Δb1無上界，即Δb1≥－5，因而b1在內(nèi)變化時(shí)最優(yōu)基不變。對于b2：比值的分母取B－1的第二列，，則即b2在[15，25]上變化時(shí)最優(yōu)基不變。7/16/2023對于b3：比值的分母取B－1的第三列，有故有在[0，20]上變化時(shí)最優(yōu)基不變。靈敏度分析方法還可以分析工藝系數(shù)aij的變化對最優(yōu)解的影響，對增加約束、變量或減少約束、變量等情形的分析，下面以一個(gè)例子來說明這些分析方法。若線性規(guī)劃模型是一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃模型，當(dāng)求出cj或bi的最大允許變化范圍時(shí)，就可隨時(shí)根據(jù)市場的變化來掌握生產(chǎn)計(jì)劃的調(diào)整。7/16/2023【例2.15】考慮下列線性規(guī)劃求出最優(yōu)解后，分別對下列各種變化進(jìn)行靈敏度分析，求出變化后的最優(yōu)解。（1）將目標(biāo)函數(shù)改為；（1）改變右端常數(shù)為:7/16/2023（3）改變目標(biāo)函數(shù)x3的系數(shù)為c3=1;（4）改變目標(biāo)函數(shù)中x2的系數(shù)為c2=2；（5）改變x2的系數(shù)為（6）改變約束（1）為（7）增加新約束（8）增加新約束7/16/2023【解】加入松弛變量x4、x5、x6，用單純形法計(jì)算，最優(yōu)表如2－7所示。表2－7Cj2-14000bCBXBx1x2x3x4x5x64x305/711/73/7022x112/70－1/74/7010x60－200－111λj0－31/70－2/7－20/70

7/16/2023最優(yōu)解X=（1，0，2，0，0，1），最優(yōu)值Z=10，最優(yōu)基（1）等價(jià)于，即將cj改變?yōu)椋ǎ?，1，－4），其中c1=－2、c3=－4是基變量的系數(shù)，c2=1是非基變量的系數(shù)，求得檢驗(yàn)數(shù)7/16/2023這里表2－7的解不是最優(yōu)，將上述檢驗(yàn)數(shù)代替表2－7的檢驗(yàn)數(shù)，再單純形法繼續(xù)迭代，計(jì)算結(jié)果如表2－8所示。7/16/2023表2－8cj－21－4000bCBXBx1x2x3x4x5x6－4x305/711/73/702－2x112/70－1/74/7010x60－200－111λj031/702/720/70

1x2017/51/53/5014/5－2x110－2/5－1/52/501/50x60014/52/51/5033/5λj00－31/5－3/51/50

1x2－3/2121/2005/20x55/20－1－1/2101/20x6－1/2031/20113/2λj－1/20－6－1/200

7/16/2023最優(yōu)解（2）基變量的解為基本解不可行，將求得的XB代替表2－7中的常數(shù)項(xiàng)，用對偶單純形法求解，其結(jié)果見表2－9所示。7/16/2023表2－9Cj2－14000bCBXBx1x2x3x4x5x64x305/711/73/7022/72x112/70－1/74/706/70x60－200－11－2λj0－31/70－2/7－20/70

4x30011/71/145/1417/72x1100－1/73/71/74/7－1x201001/2－1/21λj000－2/7－9/14－31/14

7/16/2023最優(yōu)解（3）由表2－7容易得到基變量x3的系數(shù)c3的增量變化范圍是，而c3=1在允許的變化范圍之外，故表2－7的解不是最優(yōu)解。非基變量的檢驗(yàn)數(shù)x4進(jìn)基，用單純形法計(jì)算，得到表2－10。7/16/2023表2－10XBx1x2x3x4x5x6

bx305/711/73/702x112/70－1/74/701x60－200－111λj0－16/