曲線擬合的最小二乘法一般的最小二乘逼近曲線擬合的最小二乘法課件

曲線擬合的最小二乘法一般的最小二乘逼近曲線擬合的最小二乘法§5曲線擬合的最小二乘法般的最小二乘逼近(曲線擬合的最小二乘法)的一般提法是:對給定的一組數(shù)據(jù)(x,y)(=01…,m),要求在函數(shù)類9={93,…,}中找個函數(shù)y=S(x),使誤差平方和|2=∑82=∑S(x)-y=min∑[S(x)-y2其中S(x)=a090(x)+a192(x)+…+an9(x)(n<m)帶權的最小二乘法:(x)S(x)-f(x其中o(x)≥0是[a,b]上的權函數(shù)。用最小二乘法求曲線擬合的問題,就是在S(x)中求一函數(shù)y=S(x),使|2取的最小。它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)/(o,a1,…,an)o(xD∑a9(x1)-f(x)的極小點(an,a1,…an)問題。由求多元函數(shù)極值的必要條件,有(x)∑a,(x)-f(x)2(x)=0若記(q,9)=∑(x)(x)92(x)f,q)=2o(x)f(x厘(x)≡dk(k=0,1則上式可改寫為∑(9,9)1=4(k=0這個方程稱為法方程,矩陣形式Ga=d其中(q0,90)(q,9)…(q,pn)G,)(,91)…(,9(qn,90)(qn,91)9n,9由于9,1,…n線性無關,故(G≠0,方程組存在唯一解(k=0,1,…,n)從而得到函數(shù)f(x)的最小二乘解為S(x)=a09(x)+a191(x)+…+ann(x)可證O(xS(x)-f(x)2≤∑o(x)S(x)-f(x)故S(x)是所求最小二乘解。=74(q,f)=O,f=4(q,)=∑x=1455由方程組+22c12.7722a0+74a1=145.51.13所求擬合曲線為S1(x)=2.77+1.13x例:在某化學反應里,根據(jù)實驗所得生成物的濃度與時間關系如下表,求濃度y與時間t的擬合曲線y=F(1時間12345678910111213141516t(分)濃度4.6.8.8.9.9.9.9.10.10.10.10.10.10.10.10.×10300400098022507086002032425055560解:將數(shù)據(jù)標在坐標紙上,可發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)符合雙曲線函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。1)雙曲線函數(shù)擬合雙曲線型:即(at+b)為了確定a,b,令y由數(shù)據(jù)表1y生成數(shù)據(jù)表x,y.于是可用x的線性函數(shù)S(x)=y=a+bx擬合數(shù)據(jù)(x,y;)(=1,…,16)。方法與上例一樣解方程組16a+3.38073b=1.8372×103.38073+1.58435b=0.52886×10,得a=80.6621.b=161.6822.(at+b)從而有(80.621+161.6822)≈F(,其各點誤差為(1)=yi2)指數(shù)函數(shù)擬合擬合曲線形如y=ae兩邊取對數(shù)hy=ha+為了確定ab,令j=y,A=ma,x=1,由(t,y)計算出x,),擬合數(shù)據(jù)的曲線仍為S,(x)=y=A+bx用上例的方法計算出A=-4.48072,b=-1.0567,從而11.3253×10最后求得y=113253×103c100=F2各點誤差為y-F2(1)(i=1…,16)3)兩個模型的比較本例經(jīng)計算可得nax6=0568×103,max2=027710均方誤差為1.19×1062)2=0.34×103由此可知|2及=都比較小,所以用y=F2(t)作擬合曲線較好。確定擬合曲線的數(shù)學模型需要選擇比較。66、節(jié)制使快樂增加并使享受加強。——德謨克利特

67、今天應做的事沒有做，明天再早也是耽誤了?！崴固┞妪R

68、決