數(shù)學(xué)新課標(biāo)下原有表達(dá)與統(tǒng)計(jì)意義：以《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》教學(xué)為例

數(shù)學(xué)新課標(biāo)下原有表達(dá)與統(tǒng)計(jì)意義：以《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》教學(xué)為例首先是微觀層面，能夠深度的挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，我們都知道教什么優(yōu)先于怎么教，學(xué)什么優(yōu)先于怎么學(xué)，如果我們對(duì)于學(xué)科的本質(zhì)把握不夠通透的話，那有的時(shí)候我們付出的大量的努力都是在淺表層面，很難給到學(xué)生更加深刻的數(shù)學(xué)理解，進(jìn)而去發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維與核心素養(yǎng)。中觀層面的，我們希望構(gòu)建學(xué)歷生長(zhǎng)的課堂，我們都知道教是為了不教，而如何實(shí)現(xiàn)不久，只有讓學(xué)生自己生產(chǎn)出更強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力把這樣的話，我們的孩子才有自我學(xué)習(xí)的意愿，動(dòng)力和素養(yǎng)。最后，宏觀層面，希望能夠幫助大家通過梳理把握全景的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，我們都知道數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性很強(qiáng)的學(xué)科，現(xiàn)在我們也非常強(qiáng)調(diào)大概念，大觀念這樣的一些課堂的教學(xué)主張。也希望通過一期又一期的齊華備課室，讓老師們能夠透過這一粒沙看到整個(gè)沙漠，透過這一滴水看到整片的海洋。這一講，我們給大家?guī)?lái)的課例又是一個(gè)非常經(jīng)典的課例《認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)》，我們?cè)噲D通過這個(gè)課例和大家傳遞出的教學(xué)的基本的思考是:原有的表達(dá)與統(tǒng)計(jì)的意義，一個(gè)老師可能會(huì)覺得有點(diǎn)蒙圈，什么叫原有的表達(dá)與統(tǒng)計(jì)的意義呢？這里請(qǐng)?jiān)试S我和大家稍微走一點(diǎn)劇透，我估計(jì)有些老師應(yīng)該已經(jīng)有所心理的準(zhǔn)備了，在即將頒布的2022版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》當(dāng)中，百分?jǐn)?shù)這個(gè)內(nèi)容已經(jīng)從原來(lái)的數(shù)與代數(shù)進(jìn)入到統(tǒng)計(jì)與概率的這個(gè)維度里頭來(lái)，因此未來(lái)我們?cè)僬勥@個(gè)百分?jǐn)?shù)的時(shí)候，我們不再把它當(dāng)做一個(gè)分?jǐn)?shù)啊，小數(shù)啊具有差不多同等地位的一個(gè)數(shù)的概念來(lái)理解，而是更多的把它當(dāng)做一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)理解，也正是基于這樣的一個(gè)基本的變化，因此未來(lái)我們?cè)賮?lái)討論百分?jǐn)?shù)的時(shí)候，可能會(huì)更加關(guān)注他的統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義。那么,進(jìn)入今天的分享。首先是教材的速覽，我們會(huì)呈現(xiàn)三個(gè)主流的版本的教材，幫助大家捋一捋這幾個(gè)不同版本的教材當(dāng)中有什么相通的地方，也有什么差異的地方。當(dāng)然這里面特別要和大家說(shuō)明的是，我們目前手頭還沒有最新版本的教材，所以這個(gè)時(shí)候我們比較的仍然是原有的三個(gè)版本的老教材，也許等新的教材出來(lái)以后，老師們可能對(duì)于統(tǒng)計(jì)的視角看百分?jǐn)?shù)會(huì)有更加新的一些認(rèn)識(shí)和理解，那么這一講我們也算是做一個(gè)預(yù)熱。然后是數(shù)學(xué)洞察，能夠希望幫助大家就百分?jǐn)?shù)這么一個(gè)數(shù)學(xué)概念，這么一個(gè)數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)量有一個(gè)學(xué)科層面的深度的把握。最后是教學(xué)建議，我們經(jīng)常把它叫做學(xué)習(xí)的規(guī)劃。小學(xué)教學(xué)教師為了學(xué)服務(wù)，因此我們很多時(shí)候，所謂的教學(xué)路徑本質(zhì)上應(yīng)該把它轉(zhuǎn)換成學(xué)習(xí)路徑，讓學(xué)生能夠給予我們的學(xué)習(xí)路徑更好的去實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理解，對(duì)于百分?jǐn)?shù)這樣的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它背后所承載的統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義的一個(gè)更深的把握和領(lǐng)悟。第一部分——教材速覽

首先進(jìn)入教材的速覽，我們來(lái)看一下這是蘇教版教材所呈現(xiàn)的這個(gè)樣貌，蘇教版教材它是從學(xué)校籃球參加了三場(chǎng)比賽，來(lái)看看這三場(chǎng)比賽的投籃情況，這里面呈現(xiàn)了一個(gè)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表，第一場(chǎng)投籃的次數(shù)25投中16，第二場(chǎng)，第三場(chǎng)依次給出了數(shù)據(jù)，然后老師是這么說(shuō)的，可以怎樣比較這三場(chǎng)比賽的投籃情況呢？你看這里面其實(shí)就有一些統(tǒng)計(jì)和數(shù)據(jù)分析的意味兒在這里頭了。首先不是把它當(dāng)做直接當(dāng)做數(shù)來(lái)呈現(xiàn)，而是呈現(xiàn)了一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，而且還是一個(gè)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表。你看，蘇教版教材在上一個(gè)版本的編寫當(dāng)中，實(shí)際上已經(jīng)有意無(wú)意的同這個(gè)百分?jǐn)?shù)放到了這樣的一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的背景當(dāng)中，進(jìn)行一個(gè)設(shè)計(jì)和教學(xué)的建議。當(dāng)然后面怎么去比較，毫無(wú)疑問我們就需要對(duì)這些數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行一個(gè)分析，來(lái)進(jìn)行一個(gè)判斷。首先第一輪的分析，我們發(fā)現(xiàn)光比投中次數(shù)肯定是不夠的，還得要參考投籃的這個(gè)總次數(shù)，然后通過小蘿卜和小番茄的對(duì)話和討論，開始意識(shí)到要想去比較3場(chǎng)比賽的投籃的情況，我們僅看投中次數(shù)不行，僅看投籃次數(shù)也不行，得看看每一場(chǎng)當(dāng)中投中的次數(shù)和投籃次數(shù)之間到底具有怎樣的一個(gè)關(guān)系，然后用分?jǐn)?shù)表征出來(lái)，進(jìn)而體會(huì)到用分?jǐn)?shù)表達(dá)的這樣的一個(gè)關(guān)系不利于展開比較，因此我們是否可以通過通分將分母統(tǒng)一為100，進(jìn)而引申出了百分?jǐn)?shù)。你看這個(gè)蘇教版教材，它整體的編排的思路就是基于一個(gè)統(tǒng)計(jì)的背景，讓學(xué)生在對(duì)一些原始的具體的數(shù)據(jù)，進(jìn)行一個(gè)基于決策的需要，進(jìn)行一個(gè)數(shù)據(jù)的比較，進(jìn)行一個(gè)數(shù)據(jù)的分析，然后最終做出決策和決斷，而在決策和決斷的時(shí)候，我們需要依賴一種新的概念，那就是百分?jǐn)?shù)，也就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。平均數(shù)早些年也是把它當(dāng)做一種解決問題去思考的，后來(lái)我們發(fā)現(xiàn)平均數(shù)它是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，因此我們后來(lái)在新改版的課標(biāo)的教材當(dāng)中，我們?cè)賮?lái)處理這個(gè)平均數(shù)的時(shí)候，我們經(jīng)常會(huì)把它置身于一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的背景，然后不斷地去分析。這個(gè)平均數(shù)意味著什么？這個(gè)平均數(shù)它的波動(dòng)性，一些大數(shù)據(jù)對(duì)于平均數(shù)的一個(gè)極值的一個(gè)影響等等。包括A班的平均分比B班高，不代表A班的張三同學(xué)一定比B班的李四要來(lái)的高，因?yàn)檫@里邊平均數(shù)只代表整體的水平，但不代表其中的某一個(gè)個(gè)體的水平。你看后來(lái)課標(biāo)版的教材，因?yàn)榘哑骄鶖?shù)從原來(lái)的解決實(shí)際問題重新改到統(tǒng)計(jì)學(xué)的領(lǐng)域當(dāng)中來(lái)，因此我們的整個(gè)教學(xué)就發(fā)生了翻天覆地的變化，所以我也非常的期待這一輪這個(gè)百分?jǐn)?shù)，能夠從原來(lái)的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域遷過來(lái)以后，看看給我們的教學(xué)又會(huì)帶來(lái)怎樣的一個(gè)調(diào)整，然后在此基礎(chǔ)之上揭示百分?jǐn)?shù)的概念，百分?jǐn)?shù)又叫做百分比和百分率，給出了百分?jǐn)?shù)的讀法和寫法等等。我們來(lái)看一下人教版，人教版跟蘇教版是不太一樣的，如果說(shuō)蘇教版更多的是有了那么一點(diǎn)兒統(tǒng)計(jì)學(xué)的意味兒，另外蘇教版走的更多的是看看5%它是怎么一步一步的產(chǎn)生的，從對(duì)原始數(shù)據(jù)的這樣的一個(gè)比較和分析，然后為了決策一路過來(lái)。你看統(tǒng)計(jì)學(xué)的這個(gè)百分?jǐn)?shù)，他之所以產(chǎn)生，實(shí)際上是基于我們樣的一個(gè)需求，蘇教版教材的編排能夠非常清楚地看到這個(gè)平均數(shù)是怎么一步一步產(chǎn)生的，因此蘇教版教材特別關(guān)注的是數(shù)學(xué)自身的發(fā)展邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)是怎么一步一步的產(chǎn)生出來(lái)的。但是人教版教材走的是另一種思路，你看上來(lái)直接給出了三幅圖，對(duì)吧？電量只剩了14%，中間的這個(gè)標(biāo)簽應(yīng)該是一個(gè)衣服上的吊牌，里邊會(huì)大量涉及到，比如棉的含量，纖維的含量，還有其他的晴綸的含量等等。第三個(gè)是一個(gè)汽車的銷量，它涉及到的是一個(gè)增長(zhǎng)量等等，你看他的邏輯是什么？他的邏輯是現(xiàn)實(shí)世界當(dāng)中學(xué)生其實(shí)是隨處都能看到百分?jǐn)?shù)的，對(duì)吧？無(wú)論是自己所穿的衣服還是自己所喝的牛奶，甚至自己平時(shí)每天的一些學(xué)習(xí)等等，包括期末的考試，你看百分?jǐn)?shù)其實(shí)在在孩子們的現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中是廣泛存在著的。人教版教材他選擇的思路是直接呈現(xiàn)這樣的一些百分?jǐn)?shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生去理解，那這些百分?jǐn)?shù)他要到底表示什么意思，然后發(fā)現(xiàn)14%表示的是剩余的電量占總電量的14%，原來(lái)百分?jǐn)?shù)表示的是一個(gè)量和另一個(gè)量之間通過比較以后所形成的率或者比的關(guān)系。如果說(shuō)蘇教版走的是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展，最終慢慢自我建構(gòu)的這么一個(gè)過程，而人教版教材他走的是學(xué)習(xí)的邏輯，他相信學(xué)生在生活中是經(jīng)常見過百分?jǐn)?shù)，而且對(duì)百分?jǐn)?shù)是有一些初步感受的，因此他就沒有再引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)是怎么一步步產(chǎn)生發(fā)展過來(lái)的，而是直接給到百分?jǐn)?shù)，然后引導(dǎo)學(xué)生基于原有的一些現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)，你想一個(gè)孩子看到自己的手機(jī)上只剩14%的電量，它多少是能夠?qū)@個(gè)百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生一些感覺的，然后在此基礎(chǔ)之上引導(dǎo)學(xué)生通過思考辨析，最后發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)的意義，你看他走的是一個(gè)另外的一條路。那我們?cè)賮?lái)看看北師大版本教材的這個(gè)百分?jǐn)?shù)，它的內(nèi)容編排更加接近于蘇教版的教材，也是基于統(tǒng)計(jì)。例題里面說(shuō)的很清楚，右面是這三名隊(duì)員近期罰點(diǎn)球情況的統(tǒng)計(jì)，給出的也是一個(gè)復(fù)式統(tǒng)計(jì)表。所以說(shuō)北師版和蘇教版它的整個(gè)思路是比較接近，里邊有意無(wú)意當(dāng)中蘊(yùn)含了統(tǒng)計(jì)學(xué)的意味。以上就是對(duì)這三個(gè)不同版本的教材的一個(gè)呈現(xiàn)。第二板塊——數(shù)學(xué)洞察接下來(lái)我們進(jìn)入第二個(gè)重要的板塊就是數(shù)學(xué)的洞察。既然百分?jǐn)?shù)已經(jīng)從原來(lái)的數(shù)與代數(shù)當(dāng)中的一種數(shù)開始轉(zhuǎn)換到一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)與概率當(dāng)中的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，那么我們對(duì)于這個(gè)概念的內(nèi)核應(yīng)該會(huì)有一些新的體會(huì)，所以我想從這樣的幾個(gè)維度和大家做一個(gè)梳理。第一個(gè)溯源，看看我在之前的百分?jǐn)?shù)的教學(xué)當(dāng)中，我們更多的從哪些維度來(lái)理解百分?jǐn)?shù)的，首先第一個(gè)產(chǎn)生，方便進(jìn)行比較啊，在剛才的蘇教版和北師版教材的這個(gè)解讀當(dāng)中啊，我已經(jīng)把這個(gè)意味和大家做了一個(gè)呈現(xiàn)。這張圖是在若干年前，山東的一位骨干老師代表山東參加全國(guó)的課堂教學(xué)大賽的時(shí)候，當(dāng)時(shí)用的就是這么一個(gè)素材，老師有興趣可以暫停一下，看一看，我覺得味道還是很濃的，他走的路子基本上是跟他們的山東青島版的教材是非常一致的，那么也跟蘇教版和北師版的思路是比較相似的，只不過它里邊給出的數(shù)據(jù)更加的多元，更加的復(fù)雜。那么留給學(xué)生根本的理解也會(huì)更加的深刻，當(dāng)然這是基于一個(gè)大賽，老師對(duì)教材中原有素材的一種再加工和深刻的解讀。大家看一下這幅圖應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)，姚曉明，王小志，易小聯(lián)，郭小倫，朱小雨和丁小航，六位同學(xué)投中的次數(shù)和投籃的次數(shù)，六個(gè)人到底選誰(shuí)去代表這個(gè)班級(jí)來(lái)參加投籃比賽比較合適呢？那這時(shí)候就需要對(duì)投中的次數(shù)和投籃的次數(shù)來(lái)進(jìn)行一個(gè)比較分析，當(dāng)然前三組數(shù)據(jù)，細(xì)心的老師應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了啊，9:20，二十分之九，11:25

，二十五分之十一

，23:50

，五十分之二十三，這三個(gè)分?jǐn)?shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較容易比較，它們的公分母是100。二十分之九，二十五分之十一和五十分之二十三通分還是比較容易的。然后你看一下到了郭小倫，朱曉宇和丁曉航的時(shí)候你看他們的分?jǐn)?shù)分母從30到45到47，尤其到47的時(shí)候很多老師已經(jīng)意識(shí)到了因?yàn)?7要試圖把它和100再去通分，起步公分母就到4700，那你還有45，還有30，還有其他的一些，因此最終通分以后的達(dá)到了42300，這實(shí)際上已經(jīng)讓學(xué)生體會(huì)到，如果這樣無(wú)休無(wú)止的通分顯然是不利于我們解決問題的，因此能不能把分母統(tǒng)一簡(jiǎn)化為100，甚至在不得已的情況下，分子可以用小數(shù)來(lái)呈現(xiàn)，這樣顯然就更便于比較了。第二個(gè)，百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)它是一種關(guān)系，所以我們經(jīng)常會(huì)說(shuō)百分?jǐn)?shù)又叫百分比或者百分率，它的道理就在這。百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)它既可以表示一個(gè)量，又可以表示一個(gè)率。但是百分?jǐn)?shù)只能表示一個(gè)率，因此老師們?cè)诮虒W(xué)的過程當(dāng)中經(jīng)常會(huì)拿出百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較，看看他們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別，再一次引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到百分?jǐn)?shù)作為一種倍比的關(guān)系，它的獨(dú)特的內(nèi)涵。這是一位老師的板書。你看，原來(lái)百分?jǐn)?shù)，比，倍，份，分?jǐn)?shù)，這些其實(shí)本質(zhì)上反映都是兩個(gè)量之間的一種關(guān)系。第三，抽象的概括。百分?jǐn)?shù)的教學(xué)過程當(dāng)中一般會(huì)比方說(shuō)，奶粉中的蛋白質(zhì)占奶粉的百分之多少;衣服，會(huì)說(shuō)棉占整件衣服的百分之多少，再比如說(shuō)酒精，酒精占酒的總量的百分之多少？然后通過大量的素材，最終引導(dǎo)學(xué)生去觀察比較發(fā)現(xiàn)百分?jǐn)?shù)各不相同，有沒有什么相似的地方。結(jié)果孩子們發(fā)現(xiàn):一都表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，第二個(gè)都表示的是一個(gè)量占另一個(gè)量的百分之幾這樣一個(gè)關(guān)系，最終抽象概括出百分?jǐn)?shù)的定義，第四，我們的教學(xué)到后面的時(shí)候通常也會(huì)有一個(gè)延伸，到了十分?jǐn)?shù)，到了一個(gè)千分?jǐn)?shù)，因?yàn)槲覀兌贾劳ǚ挚梢员阌诒容^。可以通分，那為什么非得要通成100呢？分母改成10行嗎？改成1000行嗎？其實(shí)都可以。改成10的時(shí)候，在一些相對(duì)來(lái)說(shuō)比較粗獷一點(diǎn)的數(shù)據(jù)的情況下，是可以改成十。比如說(shuō)打折，七折，八折，九折，本質(zhì)上就是十分之七，十分之八，十分之九……但是在一些精度要求更高的情況下，那我們有的時(shí)候需要得到千分?jǐn)?shù)，因?yàn)榍Х謹(jǐn)?shù)分母的擴(kuò)大以后，因此他的刻畫的精度就會(huì)得到更大的這個(gè)提升，從百分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，百分?jǐn)?shù)背后蘊(yùn)含的倍比關(guān)系，到百分?jǐn)?shù)的教學(xué)過程當(dāng)中通常的抽象概括，最后的是十分?jǐn)?shù)和千分?jǐn)?shù)的拓展，這些都是百分?jǐn)?shù)教學(xué)原有的一些表達(dá)，在這算是幫助大家做了一個(gè)系統(tǒng)對(duì)比梳理和回顧。重建百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義到底該如何去重建呢？第一，了解到它在領(lǐng)域的維度已經(jīng)從數(shù)以代數(shù)進(jìn)入到了統(tǒng)計(jì)與概率的這個(gè)維度。最新版本的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，建議大家看看百分?jǐn)?shù)到底出現(xiàn)了多少次，以及每一次出現(xiàn)的時(shí)候到底是放在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的，還是放在統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域的。如果放在統(tǒng)計(jì)概率領(lǐng)域的，他又是怎么去刻畫表達(dá)百分?jǐn)?shù)的意義價(jià)值和它的應(yīng)用場(chǎng)景。第二個(gè)內(nèi)涵，他從原來(lái)的一種數(shù)變成了一種統(tǒng)計(jì)量，而且這個(gè)統(tǒng)計(jì)量跟平均數(shù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)量還不太一樣。平均數(shù)有的時(shí)候刻畫的是它是某種影響，它是一個(gè)絕對(duì)量，比如說(shuō)假設(shè)投十次球，第一次我投中8個(gè)，第二次投中6個(gè)，第三投中7個(gè)，第四從8個(gè)，第五次投中6個(gè)，那最后我的平均投中的這個(gè)值應(yīng)該是7，這個(gè)7它是一個(gè)絕對(duì)數(shù)量。只不過這個(gè)7不是某一次的投中的個(gè)數(shù)，而是這五次整體投中的這個(gè)值，但它終究是一個(gè)絕對(duì)意義上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，但是百分?jǐn)?shù)他就不再是一個(gè)絕對(duì)意義上的統(tǒng)計(jì)量，它是一個(gè)相對(duì)意義上的統(tǒng)計(jì)量。比如說(shuō)，張老師投籃的命中率是70%啊，這個(gè)70%并不代表張老師投了100個(gè)中了70個(gè)，還有可能只是投了十個(gè)中了七個(gè)，也有可能是投了20個(gè)中了14個(gè)，大概可能是投了200個(gè)中了140個(gè)，它是一種反應(yīng)投中的個(gè)數(shù)和投的總個(gè)數(shù)之間的一個(gè)相對(duì)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)量，所以這一點(diǎn)希望老師們能夠有一個(gè)更好的把握。第三點(diǎn)可能也是更加重要的，也就是我們的整個(gè)百分?jǐn)?shù)的這個(gè)學(xué)習(xí)的價(jià)值將從原來(lái)的百分?jǐn)?shù)更加便于比較，遷入到了數(shù)據(jù)的意識(shí)這個(gè)維度。我們以往的十大核心詞里面，有一個(gè)叫數(shù)據(jù)分析觀念，新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)里面，我們已經(jīng)把它從原來(lái)的數(shù)據(jù)分析觀念調(diào)整成了數(shù)據(jù)的意識(shí)，那為什么從觀念調(diào)成為意識(shí)的。一來(lái)是為了和高中還有初中的相關(guān)的核心素養(yǎng)的表達(dá)保持統(tǒng)一性。在整個(gè)的這個(gè)高中領(lǐng)域當(dāng)中，關(guān)于數(shù)據(jù)這塊實(shí)際上是應(yīng)該是有數(shù)據(jù)分析的，數(shù)據(jù)分析是一種素養(yǎng)，是一種關(guān)鍵能力，然后到了小學(xué)不能說(shuō)數(shù)據(jù)分析呀，因?yàn)樾W(xué)生的對(duì)數(shù)據(jù)的這種理解，這種把握，它的水平層次顯然是和高中生不可同日而語(yǔ)的，可是為了保持統(tǒng)一性，我們?cè)诔潭壬献隽艘粋€(gè)區(qū)分，高中的叫數(shù)據(jù)分析，到了這個(gè)小學(xué)就把它叫數(shù)據(jù)意識(shí)。也就是小學(xué)生并不需要比較系統(tǒng)的深刻的數(shù)據(jù)分析觀念，我們要的是面對(duì)一個(gè)話題，能夠養(yǎng)成一種傾向的性能意識(shí)就是一種傾向性，比如我在琢磨著是不是需要有一些數(shù)據(jù)來(lái)支持我的判斷呢？你是需要更多的數(shù)據(jù)判斷就有說(shuō)服力呀，你看這些就叫數(shù)據(jù)的意識(shí)。怎么在百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中能夠豐富和發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，讓大家體會(huì)到百分?jǐn)?shù)它應(yīng)用的場(chǎng)景是統(tǒng)計(jì)，在統(tǒng)計(jì)的過程中怎么能夠結(jié)合百分?jǐn)?shù)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，能夠?qū)λ澈笏[含的數(shù)據(jù)有更多的感悟，更多的理解，更透徹的這樣一種把握，你看這就從原來(lái)單一的方面比較進(jìn)入到了更加豐富和飽滿的數(shù)據(jù)意識(shí)的這個(gè)維度。第三，警惕百分?jǐn)?shù)的語(yǔ)言陷阱。百分?jǐn)?shù)在生活當(dāng)中因?yàn)閺V泛存在，因此我們一不留神就會(huì)掉進(jìn)百分?jǐn)?shù)的坑里，舉幾個(gè)例子:第一個(gè)這是真實(shí)發(fā)生一個(gè)故事，是在《統(tǒng)計(jì)學(xué)的本質(zhì)》這本書里邊所找到的，這個(gè)在戰(zhàn)爭(zhēng)的過程當(dāng)中有一個(gè)部隊(duì)，這支部隊(duì)的負(fù)責(zé)人向總部發(fā)出了求救說(shuō):我們14%的人員因?yàn)楣ぷ髫?fù)擔(dān)實(shí)在是太重，陷入精神恍惚的這個(gè)狀態(tài)，總部一聽不得了，14%的這個(gè)人員也就是戰(zhàn)士都出現(xiàn)了這么嚴(yán)重的情況，那顯然需要給出一些人力資源，還有其他的一些彈藥的支持和援助？我相信大家看到這個(gè)數(shù)據(jù)是不是也是這種感覺？但是如果我告訴你真相是什么呢？這支小分隊(duì)，一共七個(gè)人，而這七個(gè)人當(dāng)中有一個(gè)年輕人，因?yàn)榭赡軐?duì)戰(zhàn)爭(zhēng)不是特別適合，因此他表現(xiàn)出了一些精神的保護(hù)，你看如果你直接上報(bào)說(shuō)兩報(bào)告總部，我們這邊這是小分隊(duì)里面有一名這戰(zhàn)士出現(xiàn)了這樣的一個(gè)狀況，你覺得總部會(huì)給出積極的回應(yīng)嗎？顯然不會(huì)改成目前的表達(dá)，你看我方，我司啊，我部隊(duì)有14%的人員因工作嚴(yán)重超超出負(fù)荷而精神恍惚，你看他感覺是不是完全就不一樣了？，所以我們可以說(shuō)這是百分?jǐn)?shù)的語(yǔ)言的陷阱。這個(gè)小分隊(duì)的這個(gè)領(lǐng)導(dǎo)來(lái)說(shuō)，他剛才是應(yīng)用了這樣的一個(gè)陷阱啊，發(fā)揮出來(lái)他的一個(gè)智慧，最終求得了援助。我們?cè)賮?lái)看一下數(shù)據(jù)，這是我在這教的另外一節(jié)課《數(shù)說(shuō)淘寶》的過程當(dāng)中，曾經(jīng)用我的一個(gè)素材在淘寶里面有兩家店，賣的是同樣的一個(gè)商品，哎，A店的這個(gè)商品的好評(píng)率是百分之百，B店的同樣這款商品它的好評(píng)率是97%。我想大家你覺得哪家可能更是我有可能去購(gòu)買這個(gè)物品的一家店呢？或者我更加會(huì)傾向于到哪家店去買呢，我相信啊，在座的老師應(yīng)該是有感覺的，也就是你光看兩個(gè)百分?jǐn)?shù)，毫無(wú)疑問100%要比97.52%要更高，對(duì)吧？你要絕大多數(shù)，而我是每一件產(chǎn)品都獲得了好評(píng)的，當(dāng)然是我這兒的這個(gè)好評(píng)率會(huì)更高啊，可真相真的是如此嗎？我們前面說(shuō)過了，百分?jǐn)?shù)給出的是忽略具體量只去刻畫一個(gè)量下的這個(gè)比的關(guān)系，所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，如果A這個(gè)商店它只賣出了兩件商品，這兩件給出的都是好評(píng)，而B商店賣出的是1萬(wàn)件商品，它其中有9752件商品獲得了好評(píng)，請(qǐng)問你更加愿意相信或者到哪家店鋪去采購(gòu)這些商品呢，我相信每個(gè)老師應(yīng)該會(huì)有自己的意見和洞察。我個(gè)人一定會(huì)選擇第二家，因?yàn)樗脑诿鎸?duì)以萬(wàn)件的講了一個(gè)巨大的銷量的情況下，仍然有9752位消費(fèi)者就這個(gè)產(chǎn)品出了好評(píng)，那么看來(lái)這產(chǎn)品的質(zhì)量真的是非常非常過硬的。而A這家店雖然是百分之百好評(píng)，可是只賣出兩件，兩個(gè)人好評(píng)，那萬(wàn)一到了第三件是差評(píng)呢，你看他一下子掉到66.7%，也就是你只看這兩件顯然是不夠的，那更不要說(shuō)，我們以小人之心去奪君子之腹，那么以這兩個(gè)好評(píng)啊，都是他們水軍打的呢，他們自己想辦法去打的呢，對(duì)吧？但是你指望水軍去打出1萬(wàn)份的這樣的一個(gè)評(píng)價(jià)，那這個(gè)成本也太大了，也是一個(gè)極小概率的這個(gè)事情，所以有的時(shí)候百分?jǐn)?shù)他給出的只是兩個(gè)量之間的一種關(guān)系，他忽略了這個(gè)原始的這個(gè)實(shí)際的量，因此我們不要輕易的掉進(jìn)這樣的一個(gè)百分?jǐn)?shù)的語(yǔ)言的陷阱當(dāng)中去。我們?cè)賮?lái)看一下——決策。王剛的點(diǎn)球率成功率排第一，有沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)跟剛才的第二個(gè)數(shù)據(jù)是有點(diǎn)相似的？那如果王剛一共就罰了五次球，他進(jìn)了4次，那他的確實(shí)進(jìn)球率是80%是非常高的，但是如果另外的幾個(gè)，他比如說(shuō)在100個(gè)當(dāng)中，他進(jìn)了38個(gè)。那雖然最后他的百分率可能達(dá)不到40%，只有38.5%，39.6%，37.8%，但是從剛才第二條這個(gè)信息的分析當(dāng)中，我能夠得出王剛點(diǎn)球率成功率排第一，未必會(huì)影響我們的決策，也就是我們未必會(huì)因?yàn)樗诺谝痪湍J(rèn)王剛一定可以成為勝出的選手，這里顯然不完全是這樣。專業(yè):老師們只要平時(shí)稍微留意一下這樣的報(bào)紙，新聞，你經(jīng)常會(huì)刷到，比如說(shuō)新房銷售量同比增長(zhǎng)了8%，環(huán)比增長(zhǎng)了8%，那這里面要涉及到什么量呢，就是百分?jǐn)?shù)有的時(shí)候他還會(huì)存在一個(gè)百分?jǐn)?shù)的百分?jǐn)?shù)，換句話來(lái)說(shuō)就是這個(gè)百分?jǐn)?shù)的背后的單位一到底是個(gè)什么？有的時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)率上添率這么一個(gè)概念，因此我們?cè)诳创俜謹(jǐn)?shù)的時(shí)候，你需要把它背后隱藏著的這個(gè)單位一給找到，單位一如果是個(gè)具體量，那他是一回事，如果是一個(gè)百分率，那又是另外一回事，所以你看百分?jǐn)?shù)，當(dāng)它從原來(lái)的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域遷入到了統(tǒng)計(jì)與概率這個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中來(lái)的時(shí)候，你看我們的很多的認(rèn)知都要發(fā)生一些變化。第三板塊——教學(xué)建議最后給出我們的教學(xué)建議，第一個(gè)創(chuàng)設(shè)情境，在統(tǒng)計(jì)分析當(dāng)中感受需要。簡(jiǎn)單直白的來(lái)說(shuō)，也就是我們得重新回到蘇教版北師版，包括青島版這些教材當(dāng)中來(lái)，因?yàn)檫@樣的教學(xué)的線索更加容易讓孩子們體會(huì)到，百分?jǐn)?shù)他原來(lái)是源自于在統(tǒng)計(jì)的背景當(dāng)中，對(duì)數(shù)據(jù)的分析過程當(dāng)中的某種實(shí)際的需要，比如說(shuō)到底選哪個(gè)人去參加投籃比賽會(huì)比較合適呢？在這種情況下如何去選擇？數(shù)據(jù)應(yīng)該怎么去收集？收集什么數(shù)據(jù)？是收集投中的個(gè)數(shù)，還是只收集投籃的次數(shù)，還是這兩種數(shù)據(jù)都要收集，是指收集這一周的數(shù)據(jù)，還是收集這一個(gè)月的數(shù)據(jù)，還是收集這一個(gè)季度的這個(gè)數(shù)據(jù)？你看，要收集數(shù)據(jù)，這本身就是數(shù)據(jù)意識(shí)的一個(gè)重要表現(xiàn)，對(duì)吧？用數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)話，用數(shù)據(jù)幫助我們進(jìn)行決策和判斷，這就是數(shù)據(jù)意識(shí)的一個(gè)重要的內(nèi)涵，另外采集多大的樣本?。渴潜局苓€是本月還是本季度？你看當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越大的時(shí)候，那么對(duì)應(yīng)的這個(gè)百分?jǐn)?shù)所呈現(xiàn)出來(lái)的這個(gè)理，他的可信度，它的效度就會(huì)越來(lái)越高。然后完了以后有了百分?jǐn)?shù)，以后我們又該如何去進(jìn)行分析呢？我們還要看看它的整個(gè)分?jǐn)?shù)變化的發(fā)展的趨勢(shì)等等。所以，如何選擇，如何收集數(shù)據(jù)，收集怎樣的數(shù)據(jù)以及對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行怎么樣的分析？在這樣的一個(gè)思辨的場(chǎng)景當(dāng)中，那么百分?jǐn)?shù)它的意義和價(jià)值也有可能會(huì)得到一個(gè)更好彰顯。第二個(gè)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，在分析比較中建構(gòu)意義。具體比如說(shuō)姚小明，王小志和易小聯(lián)他們?nèi)齻€(gè)人投籃以及投中數(shù)據(jù)已經(jīng)出來(lái)了，那現(xiàn)在的問題一定是我們?cè)撛趺粗庇^的來(lái)表現(xiàn)出刻畫出這三個(gè)人他們到底誰(shuí)的水平更高一點(diǎn)的，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候你去直接運(yùn)用投中的次數(shù)，這樣的一個(gè)絕對(duì)數(shù)值是沒有任何意義的，你去僅僅分析投籃的次數(shù)，這個(gè)絕對(duì)數(shù)值也是沒有意義的。那真正有意義的是什么？是投中的次數(shù)和投籃的次數(shù)，這兩個(gè)絕對(duì)量之間的相對(duì)的關(guān)系，每一個(gè)相對(duì)的關(guān)系得到的這個(gè)分?jǐn)?shù)闕值越大，那么可能這個(gè)人的水平就會(huì)越高，所以面對(duì)這樣的一組數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生去通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析，讓孩子們體會(huì)到啊，光看這個(gè)數(shù)據(jù)不夠，光看那個(gè)數(shù)據(jù)也不夠，只有將這兩個(gè)數(shù)據(jù)放在一起進(jìn)行比較，借助比和除法的運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，他才有可能會(huì)更有用一些。當(dāng)然得到分?jǐn)?shù)以后還設(shè)計(jì)了一個(gè)比較的問題，因此我們要進(jìn)一步去通分，然后進(jìn)而引出了改分?jǐn)?shù)，你看在對(duì)這樣的一個(gè)數(shù)據(jù)的比較分析，甄別，篩選運(yùn)算以后，以及最終的這樣的一個(gè)加工以后，百分?jǐn)?shù)他就應(yīng)運(yùn)而生，它的產(chǎn)生，它的意義，它的價(jià)值就在這個(gè)過程當(dāng)中得到了更好突顯。在這個(gè)常規(guī)的設(shè)計(jì)之后，我呈現(xiàn)了幾個(gè)補(bǔ)充的思考。第一個(gè)，朱小雨他的投籃的命中率只有45.6%，顯然在這四個(gè)人當(dāng)中并沒有排在第一，可是教練卻選擇了他，這到底是為什么呢？一開始如果不出示這個(gè)朱小雨的數(shù)據(jù)，讓孩子們自己去思考，我估計(jì)很多孩子可能會(huì)覺得很奇怪，明明他的投中率不是排在第一名，那怎么會(huì)選他呢？教練到底會(huì)有怎樣的一些思考呢？等到孩子們各種假設(shè)，各種推理都完成以后。老師出示了最下面的一組數(shù)據(jù)，我相信很多孩子一定會(huì)恍然大悟，哦，原來(lái)是這樣，因?yàn)橐仔÷?lián)，姚小明和王小志，雖然他們的這投籃的命中率都不低，尤其是易小聯(lián)高達(dá)46%，但是它只是在50次當(dāng)中投中了23次，這個(gè)整體的樣本和數(shù)據(jù)還是比較小的，而朱小雨雖然他的命中率比易小聯(lián)略低那么0.4%，對(duì)吧？但是它是在750次這個(gè)堪稱海量的投籃活動(dòng)當(dāng)中，最終實(shí)現(xiàn)了342次投中的這個(gè)優(yōu)異的成績(jī)，我們可以看出朱小雨的他的整體的穩(wěn)定性有可能會(huì)更高，因?yàn)橐仔÷?lián)這個(gè)成績(jī)實(shí)話實(shí)說(shuō)，如果再投一次，萬(wàn)一不中，也許他的投籃的命中率就會(huì)迅速的下滑，對(duì)吧？因?yàn)樗恼w的樣本數(shù)量比較小，那么一次成績(jī)的這個(gè)不確定性就有可能會(huì)影響整體成績(jī)的這樣一個(gè)百分?jǐn)?shù)或者百分比，而朱小雨雨他在大量的數(shù)據(jù)當(dāng)中，它的這個(gè)45.6%已經(jīng)趨于某種穩(wěn)定性，就算你第751次沒有投中，那么估計(jì)最終的百分率仍然會(huì)穩(wěn)定在45.6%的下面一丟丟。大數(shù)據(jù)以后所得出的百分比，他會(huì)具有更強(qiáng)的說(shuō)服力和更大的穩(wěn)定性。剛才這一段描述，老師你沒發(fā)現(xiàn)其實(shí)我們?cè)谶@個(gè)數(shù)據(jù)的大與小，樣本的多與少數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與浮動(dòng)，在進(jìn)行各種比較，各種分析，各種刻畫，而這不正是數(shù)據(jù)意識(shí)需要我們?nèi)?shí)現(xiàn)的一個(gè)基本的目標(biāo)嗎？我這兒給大家梳理出這三句話，一、大數(shù)據(jù)更可靠，精確度更可信，什么意思呢？大家看一下，你看易小蓮46%，而到朱小雨是45.6%啊，在我們成年人的世界當(dāng)中啊，我們都知道當(dāng)你的百分號(hào)前面一旦出現(xiàn)了小數(shù)，甚至于兩位三位小數(shù)的時(shí)候，一種推斷是數(shù)據(jù)樣本會(huì)比較大，另外一個(gè)的話就是你的小數(shù)保留的位數(shù)越多，那么它的精確度就越高，當(dāng)你要刻畫一個(gè)人的這個(gè)百分比的精確度達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后兩位，三位的時(shí)候，我們通常都會(huì)覺得這個(gè)數(shù)據(jù)的可信度會(huì)更高，第三個(gè)穩(wěn)定性更重要，對(duì)吧？數(shù)值高固然好，但是穩(wěn)定性更重要，啥意思呢？比如說(shuō)你投籃，下次你讓我去投兩次，說(shuō)不定我那一天運(yùn)氣特別好，兩次一中一不中，難不成你們認(rèn)為我這么一個(gè)小白，這么一個(gè)菜鳥也會(huì)比姚小明，王小志，易小聯(lián)和朱小雨更強(qiáng)嗎？你看他們只有百分之四十幾，而我高達(dá)50%。顯然不是這樣的，因?yàn)槲业臄?shù)據(jù)樣本太小，所以它是不夠穩(wěn)定的，只有達(dá)到更大的數(shù)據(jù)，它的穩(wěn)定性才呈現(xiàn)出來(lái)，而穩(wěn)定性它現(xiàn)在是更加重要。再比一次排名還會(huì)這樣嗎？我相信很多老師都會(huì)有感覺，這里設(shè)計(jì)的其實(shí)是感悟隨機(jī)。這請(qǐng)?jiān)试S我敲個(gè)黑板，即將出來(lái)的課程標(biāo)準(zhǔn)，我們當(dāng)時(shí)拿到的是一個(gè)討論稿，在討論考核標(biāo)準(zhǔn)里面，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)百分?jǐn)?shù)和隨機(jī)這兩個(gè)詞好像經(jīng)常會(huì)放在一起出現(xiàn)，一開始我也是不太明白，因?yàn)檫@里面我也給老師們留下一個(gè)任務(wù)，留下一個(gè)為什么百分?jǐn)?shù)他要跟隨機(jī)放在一起，當(dāng)然肯定是跟統(tǒng)計(jì)學(xué)是有關(guān)的，對(duì)吧？當(dāng)然在這個(gè)問題當(dāng)中，其實(shí)，隨機(jī)的味道就出來(lái)了，因?yàn)槿绻阍俳o一次同樣姚小明，王小志，易小聯(lián)各投20，25和50，你確定最終得到的百分?jǐn)?shù)還是原來(lái)的45%44%和46%這三個(gè)百分?jǐn)?shù)嗎？不一定，因?yàn)槿说耐痘@它是帶有隨機(jī)性的，你根本不知道每一次你能不能投中，投完這一次以后，你也不確定下一次是否投中，就算你前面連續(xù)投中三次，你都沒法斷定第四次到底是中還是不中，這就是隨機(jī)性。而百分?jǐn)?shù)它是可以動(dòng)態(tài)的去刻畫隨機(jī)性的。所以結(jié)論是，如果再比一次排億，名未必是這樣的。在這個(gè)過程中，我們可以感悟隨機(jī)的現(xiàn)象，能夠體會(huì)百分?jǐn)?shù)他會(huì)隨著你的投籃次數(shù)的不斷的增多，它會(huì)有個(gè)動(dòng)態(tài)的變化的這個(gè)過程，當(dāng)然我們也知道這個(gè)動(dòng)態(tài)的變化，越往后，當(dāng)總樣本數(shù)越來(lái)越大的時(shí)候，那么他整體的投籃的水平，他會(huì)漸漸趨于一個(gè)穩(wěn)定的趨勢(shì)，這個(gè)地方跟那個(gè)平均數(shù)還是有一點(diǎn)點(diǎn)的相似的。思考三，如何選擇優(yōu)秀的代表呢？假設(shè)，姚小明，王小志和易小聯(lián)這時(shí)到底該選誰(shuí)呢？所以這個(gè)時(shí)候?qū)ξ覀兝蠋熀秃⒆觼?lái)說(shuō)，我們應(yīng)該相信這樣的東西一有更長(zhǎng)的時(shí)間尺度去觀察和采集數(shù)據(jù)，比如說(shuō)如果姚小明，王小志，易小聯(lián)，我們只看他一天的數(shù)據(jù)，這是不夠的，不穩(wěn)定，要很少，如果看一個(gè)月的數(shù)據(jù)還行，但是如果數(shù)據(jù)所采集的時(shí)間越長(zhǎng)，那么這個(gè)時(shí)候每一個(gè)百分?jǐn)?shù)所刻畫的一個(gè)人的相比較的水平就更加有說(shuō)服力，所以叫更長(zhǎng)時(shí)間，更大數(shù)據(jù)，更持續(xù)性，這個(gè)往往是在幫助我們進(jìn)行決策的時(shí)候是有參照意義的，說(shuō)到這里再次強(qiáng)調(diào)，百分?jǐn)?shù)當(dāng)它成為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的時(shí)候，它往往成為我們進(jìn)行決策的時(shí)候一個(gè)非常重要的一個(gè)參照。最后拓展延伸環(huán)節(jié)，在思辯透析當(dāng)中深挖本質(zhì)。第一個(gè)在大于小之間思辨。啥意思呢？我們來(lái)看兩組數(shù)據(jù)，每年全球0.04%的土地被沙漠侵吞。孩子一看到0.04%都知道這是相當(dāng)于一萬(wàn)分之四，這是一個(gè)非常小的百分?jǐn)?shù)，但是真的是這樣嗎？極小的百分?jǐn)?shù)，他刻畫的卻是一個(gè)讓人感到非常震驚的量，我們測(cè)算過，全球0.04%的土地被沙漠傾吞，這個(gè)被侵吞的土地的面積約等于張老師所在的這個(gè)千萬(wàn)級(jí)規(guī)模的人口的大都市江蘇的省會(huì)城市——南京，他的整個(gè)的這個(gè)占地面積。所以你看，每年如果我們的這個(gè)全球的這個(gè)氣候，全球的生態(tài)沒有能夠更好的去進(jìn)行一個(gè)控制的話，有可能每一年都會(huì)有一個(gè)接近于南京這樣的一個(gè)城市的地皮在被沙漠了。這是一個(gè)多么可怕的這么一個(gè)量。我們?cè)賮?lái)看另外一個(gè)，另外一個(gè)是一個(gè)非常大的百分?jǐn)?shù)，希望小學(xué)女教師的人數(shù)是男教師的100%，看起來(lái)是不是很大？其實(shí)它背后的結(jié)論是什么？女教師和男