2022-2023學(xué)年貴州省黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第第頁(yè)2022-2023學(xué)年貴州省黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年貴州省黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共12小題，共60分）

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得粒內(nèi)夾谷粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()

A.石B.石C.石D.石

3.設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是()

A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B.內(nèi)有兩條相交直線與平行

C.，平行于同一條直線D.，垂直于同一平面

4.正方體中，與平面所成角的余弦值為()

A.B.C.D.

5.甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為()

A.B.C.D.

6.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的周長(zhǎng)為()

A.B.C.D.

7.粽子古稱“角黍”，是中國(guó)傳統(tǒng)的節(jié)慶食品之一，由粽葉包裹糯米等食材蒸制而成因各地風(fēng)俗不同，粽子的形狀和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形狀可以看作所有棱長(zhǎng)均為的正四棱錐現(xiàn)在需要在粽子內(nèi)部放入一顆咸蛋黃，蛋黃的形狀近似地看成球，則當(dāng)這個(gè)蛋黃的體積最大時(shí)，蛋黃的半徑為()

A.B.C.D.

8.第屆世界博覽會(huì)于年月日至月日，在中國(guó)上海舉行，氣勢(shì)磅礴的中國(guó)館一一“東方之冠”令人印象深刻，該館以“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”為設(shè)計(jì)理念，代表中國(guó)文化的精神與氣質(zhì)．其形如冠蓋，層疊出挑，制似斗拱．它有四根高米的方柱，托起斗狀的主體建筑，總高度為米，上方的“斗冠”類似一個(gè)倒置的正四棱臺(tái)，上底面邊長(zhǎng)是米，下底面邊長(zhǎng)是米，則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為()

A.B.C.D.

9.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是()

A.B.是純虛數(shù)

C.若，則D.若，則的最大值為

10.某校進(jìn)行防疫知識(shí)問(wèn)卷測(cè)試，已知該校高一年級(jí)有學(xué)生人，高二年級(jí)有學(xué)生人，高三年級(jí)有學(xué)生人為了解全校學(xué)生問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的情況，按年級(jí)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣得到容量為的樣本若在高一年級(jí)中抽取了人，則下列結(jié)論一定成立的是()

A.樣本容量

B.在抽樣的過(guò)程中，女生甲被抽中的概率與男生乙被抽中的概率是不相等的

C.高二年級(jí)，高三年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為人，人

D.如果高一，高二，高三年級(jí)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分分別為分，分，分，那么估計(jì)該校全體學(xué)生本次問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分為分

11.在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是()

A.B.

C.D.

12.多選已知數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為

B.數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為

C.數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為

D.數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為

二、填空題（本題共4小題，共20分）

13.一個(gè)袋子中有質(zhì)地和大小相同的個(gè)球，其中有個(gè)紅色球，個(gè)綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出個(gè)球，則事件“第一次摸得紅球，第二次摸得綠球”的概率為．

14.已知向量，，，若，則______．

15.中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，，則______．

16.足球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)古老的體育活動(dòng)，眾多的資料表明，中國(guó)古代足球的出現(xiàn)比歐洲早，歷史更為悠久，如圖，現(xiàn)代比賽用足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成的共個(gè)面的多面體，著名數(shù)學(xué)家歐拉證明了凸多面體的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)滿足，那么，足球有______個(gè)正六邊形的面，若正六邊形的邊長(zhǎng)為，則足球的直徑為_(kāi)_____結(jié)果保留整數(shù)

參考數(shù)據(jù)．

三、解答題（本題共6小題，共70分）

17.為了解某校學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校的名學(xué)生，得到的頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前組的頻數(shù)和為，后組的頻數(shù)和為．

Ⅰ設(shè)最大頻率為，求的值；

Ⅱ從，中按分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)娜酥谐槿∪耍筮@人的視力都在內(nèi)的概率．

18.已知，，，

求與的夾角；

求；

若，，求的面積．

19.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，求證：

平面；

．

20.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．

；；的面積為．

在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，_____．

求；

求的值．

21.某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理，樹(shù)立企業(yè)形象，考慮在公司內(nèi)部對(duì)遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有人會(huì)遲到，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：

處罰金額單位：元

遲到的人數(shù)

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率．

Ⅰ當(dāng)處罰金定為元時(shí)，員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少？

Ⅱ?qū)⑦x取的人中會(huì)遲到的員工分為，兩類：類員工在罰金不超過(guò)元時(shí)就會(huì)改正行為；類是其他員工現(xiàn)對(duì)類與類員工按分層抽樣的方法抽取人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷，則前兩位均為類員工的概率是多少？

22.如圖在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上靠近的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)．設(shè)，．

用，表示；

過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于，設(shè)，，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．

【解答】

解：，

復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．

故選：．

2.【答案】

【解析】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，

故選：．

根據(jù)粒內(nèi)夾谷粒，可得比例，即可得出結(jié)論．

本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

3.【答案】

【解析】解：內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，不一定有，也可能相交，故A錯(cuò)誤；

內(nèi)有兩條相交直線與平行，則，反之成立，故B正確；

，平行于同一條直線，不一定有，也可能相交，故C錯(cuò)誤；

，垂直于同一平面，不一定有，也可能相交，故D錯(cuò)誤．

故選：．

由平面與平面平行的判定逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．

本題考查平面與平面平行的判定，考查充分必要條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查直線與平面所成的角．

正方體上下底面中心的連線平行于，則與平面所成角就是與平面所成角，在直角三角形中，利用邊角關(guān)系求出此角的余弦值．

【解答】

解：如圖，設(shè)上下底面的中心分別為，，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)等于，

易得，

則與平面所成角就是與平面所成角，即，

直角三角形中，，

故選：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了列表法求概率，屬于基礎(chǔ)題．

首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與兩人平局的情況，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】

解：甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：

甲，乙錘剪子包袱

錘錘，錘錘，剪子錘，包袱

剪子剪子，錘剪子，剪子剪子，包袱

包袱包袱，錘包袱，剪子包袱，包袱

由表格可知，共有種等可能情況．其中平局的有種：錘，錘、剪子，剪子、包袱，包袱．

甲和乙平局的概率為：．

故選：．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查斜二側(cè)畫(huà)法，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到三角形為直角三角形，，邊長(zhǎng)，，然后即可求三角形的周長(zhǎng)．

【解析】

解：根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法得到三角形為直角三角形，，

底邊長(zhǎng)，高，

所以，

直角三角形的周長(zhǎng)為．

故選A．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

由三角形面積公式求出側(cè)面積，再由正方形面積公式求得底面積，則表面積可求，求出正四棱錐的高，再由等體積法求內(nèi)切球的半徑．

【解答】

解：由粽子的形狀是所有棱長(zhǎng)均為的正四棱錐，

得每個(gè)側(cè)面三角形的面積為．

粽子的表面積為；

球的體積要達(dá)到最大，則需要球與四棱錐的五個(gè)面都相切，

正四棱錐的高為，設(shè)球的半徑為，

四棱錐的體積，解得．

故選：．

8.【答案】

【解析】解：依題意得“斗冠”的高為米，如圖，，

，

為“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角，

．

，，

，，

故選：．

求出“斗冠”的高為米，作出直觀圖，得，，為“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角，由此能求出“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角．

本題考查“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．

9.【答案】

【解析】解：設(shè)，，，

則，，故A選項(xiàng)正確，

當(dāng)為實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

若，

則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，

若，設(shè)，，，

即，則表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其最大值為，故D選項(xiàng)正確．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：對(duì)于，由題意可知，，解得，故A正確；

對(duì)于，在抽樣的過(guò)程中，女生甲被抽中的概率與男生乙被抽中的概率是相等的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于，高二年級(jí)抽取的人數(shù)為：人，

高三年級(jí)抽取的人數(shù)為：人，故C正確；

對(duì)于，高一，高二，高三年級(jí)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分分別為分，分，分，

則估計(jì)該校全體學(xué)生本次問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)的平均分為：，故D正確．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，以及平均數(shù)公式，即可依次求解．

本題主要考查分層抽樣的定義，以及平均數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：，是正確的，同理也正確，

對(duì)于答案可變形為，通過(guò)等積變換判斷為正確

故選：．

根據(jù)，是正確的，同理也正確，再由答案可變形為，通過(guò)等積變換判斷為正確，從而得到答案．

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義．要會(huì)巧妙變形和等積變換．

12.【答案】

【解析】解：對(duì)于，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)無(wú)法求出，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，

數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；

對(duì)于，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，故C正確；

對(duì)于，數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為，故D錯(cuò)誤．

故選：．

由平均數(shù)、方差的定義及公式，逐一判斷即可得結(jié)論．

本題考查了平均數(shù)及方差的定義，同時(shí)考查了化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查古典概型；考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力；考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

先求出從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出個(gè)球，再求出事件“第一次摸得紅球，第二次摸得綠球”的基本事件個(gè)數(shù)為，即可利用古典概型概率計(jì)算公式求出所求概率．

【解答】

解：由題意可知不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球的基本事件總數(shù)，

事件“第一次摸得紅球，第二次摸得綠球”的基本事件個(gè)數(shù)為，

所以所求概率為．

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：；

；

；

；

；

．

故答案為：．

根據(jù)即可求出，從而可求出，這樣即可求出的值．

考查向量平行時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系，以及向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)可求向量的長(zhǎng)度．

15.【答案】

【解析】解：，，

又，由余弦定理可得：，

，

，

．

故答案為：．

化簡(jiǎn)已知等式可得，又，由余弦定理可得：，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求，結(jié)合范圍，可求的值．

本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：由足球的表面為正六邊形和正五邊形構(gòu)成，且每塊正五邊形的周圍都是正六邊形，

可得每相鄰的多邊形都有一條公共邊，每個(gè)頂點(diǎn)處都有三條邊，且一個(gè)正五邊形，連接兩個(gè)正六邊形．

設(shè)正五邊形有塊，正六邊形有塊，可得

解得，所以足球表面有個(gè)正六邊形的面，

每個(gè)正六邊形的面積為，

每個(gè)正五邊形的面積為，

球的表面積

．

所以，

，所以足球的直徑為．

故答案為：；．

首先根據(jù)足球表面的特點(diǎn)，設(shè)正五邊形有塊，正六邊形有塊，可得，且，解得，，分別計(jì)算每個(gè)正六邊形和正五邊形的面積，進(jìn)而得到足球的表面積，再由球的表面積公式計(jì)算，可得球的直徑．

本題考查球的表面積公式的運(yùn)用，以及正多邊形的性質(zhì)和面積的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想、方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：Ⅰ由頻率分布直方圖知組距為，

前組頻數(shù)和為，

則第四組頻數(shù)為最大，

故最大頻率為；

Ⅱ由圖可得

第一組頻數(shù)為人，

第二組頻數(shù)為人，

則第三組頻數(shù)為人，

從，兩組中按分層抽樣的方法抽取人，

則中抽取人，

中抽取人，

再?gòu)倪@人中抽取人，基本事件總數(shù)，

則有人在組中包含的基本事件個(gè)數(shù)，

恰有人在組中的概率．

【解析】本題考查頻率、頻數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

Ⅰ由頻率分布直方圖知組距為，前組頻數(shù)和為，由到之間的頻數(shù)最大為，由此可得；

Ⅱ從，中按分層抽樣的方法抽取人，則抽取人，抽取人，再?gòu)倪@人中抽取人，基本事件總數(shù)，兩人都在組中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出概率．

18.【答案】解：，，

又，，，，

，

又，．

．

與的夾角，

又，

．

【解析】本題考查向量的夾角模長(zhǎng)和正弦定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于所給的表示式的整理，得到要用的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積的值，把這兩個(gè)向量展開(kāi)，寫(xiě)出有關(guān)向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積的表示式，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積，代入求夾角的公式得到夾角的余弦值，求出夾角；

利用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng)；

結(jié)合兩個(gè)向量的夾角，求出三角形的內(nèi)角，用正弦定理寫(xiě)出三角形的面積的表示形式，代入模長(zhǎng)和夾角得到結(jié)果．

19.【答案】證明：因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，

所以，

又因平面，平面，

從而平面．

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，且，

所以，

又因，平面，平面，

，

故AE平面，

因?yàn)槠矫妫?/p>

所以．

【解析】證明，利用直線與平面平行的判斷定理證明平面．

證明，結(jié)合，推出平面，然后證明．

本題考查直線與平面平行以及垂直的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．

20.【答案】解：方案一：選擇條件：，

，

，

由解得或舍去，

，

；

方案二：選擇條件：由解得或舍去，

；

方案三：選擇條件：，

，

，

由解得或舍，

，

；

，

，，

．

【解析】方案一：選擇條件