新教材21版數(shù)學必修1人A新教材學習方略2課件

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時不等關(guān)系與比較大小必備知識·自主學習導思1.用什么來表示實際問題中的不等關(guān)系？2.如何比較兩個實數(shù)的大??？1.不等式與不等關(guān)系(1)不等式的概念我們用數(shù)學符號“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的_________.含有這些不等號的式子叫做不等式.不等關(guān)系(2)不等式中文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于或等于，至少，不低于小于或等于，至多，不多于，不超過符號語言><≥≤(3)本質(zhì)：現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系在數(shù)量關(guān)系上的反映，這種不等關(guān)系可以用不等式來表示.應用：描述現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系.【思考】3≤3成立嗎？提示：成立.不等式“a≤b”的含義是：或者“a<b”或者“a=b”，即當“a<b”與“a=b”一個成立時，該不等式就成立.2.比較兩個實數(shù)a，b大小的依據(jù)文字語言符號表示如果a>b，那么a-b是正數(shù)，反之亦然a>b?______如果a<b，那么a-b是負數(shù)，反之亦然a<b?______如果a=b，那么a-b等于0，反之亦然a=b?______a-b>0a-b<0a-b=0【思考】你能否由比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)得出兩個實數(shù)比較大小的方法？提示：能.通過兩個實數(shù)作差，判斷差的正負比較大小.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)不等式a≥b等價于“a不小于b”. (

)(2)若x-2≤0，則x<2. (

)(3)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種. (

)提示：(1)√.不等式a≥b的含義是a>b或a=b，等價于“a不小于b”，即若a>b或a=b中有一個正確，則a≥b正確.(2)×.若x-2≤0，則x<2或者x=2，即x≤2.(3)√.任意兩數(shù)之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種，沒有其他大小關(guān)系.2.某路段豎立的的警示牌，是指示司機通過該路段時，車速vkm/h應滿足的關(guān)系式為 (

)

A.v<60 B.v>60C.v≤60 D.v≥36【解析】選C.限速就是速度不超過，可以直接建立不等式v≤60.3.(教材二次開發(fā)：練習改編)已知x≠2，則x2+4與4x的大小關(guān)系為_______.

【解析】x2+4-4x=(x-2)2，而x≠2，所以(x-2)2>0，所以x2+4-4x>0，所以x2+4>4x.答案：x2+4>4x關(guān)鍵能力·合作學習類型一利用不等式(組)表示不等關(guān)系(數(shù)學抽象、邏輯推理)

角度1利用不等式表示不等關(guān)系

【典例】1.2019年10月5日14時18分，京張高鐵聯(lián)調(diào)聯(lián)試正式啟動.此條線路是2022年北京冬奧會的重要交通保障設(shè)施，設(shè)計最高時速350公里.用一個數(shù)學式子表示高鐵時速v為_______.

2.中國“神舟七號”宇宙飛船的飛行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示為_______.

【思路導引】讀懂題意，找出不等關(guān)系，用不等式表示出來.【解析】1.“最高”即“不超過”，即小于或等于，故用數(shù)學式子表示為：v≤350.答案：v≤3502.“不小于”即大于或等于，故用不等式表示為：7.9≤v<11.2.答案：7.9≤v<11.2【變式探究】本例1條件若改為：“如圖是高速公路上一個最低限速的指示標志，限制行駛時速v不得低于50千米”，試用不等式表示.【解析】“不低于”即大于或等于，故用不等式表示為：v≥50.角度2利用不等式組表示不等關(guān)系

【典例】用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為xm.試用不等式組表示其中的不等關(guān)系.【思路導引】讀懂題意，找出不等關(guān)系，用不等式組表示出來.【解析】由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18，這時菜園的另一條邊長為

(m).因此菜園面積S=x·

，依題意有S≥110，即x≥110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為

【解題策略】用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、大于等.(2)適當?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式.此類問題的難點是如何正確地找出題中的隱性不等關(guān)系，如由變量的實際意義限制的范圍.【題組訓練】1.如圖是公路上一個限制寬度的指示標志，要求裝載寬度a不得超過3米，用不等式表示為_______.

【解析】“不超過”即小于或等于，故用不等式表示為：a≤3.答案：a≤32.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm的兩種鋼管.按照生產(chǎn)的要求，600mm的鋼管數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組呢？【解析】設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應有如下的不等關(guān)系：(1)截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm.(2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍.(3)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負.要同時滿足上述的三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：【補償訓練】某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法，增加利潤.已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就相應減少10件，若把提價后商品的售價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？【解析】由題知提價后商品的售價為x元，則銷售量減少×10件，因此每天的利潤為(x-8)[100-10(x-10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可用不等式表示為(x-8)[100-10(x-10)]≥300(x>10).類型二作差法比較大小(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】已知a≠1且a∈R，試比較與1+a的大小.四步內(nèi)容理解題意條件：a≠1，a∈R結(jié)論：比較與1+a的大小思路探求作差?化簡?判定差的符號?確定大小關(guān)系四步內(nèi)容書寫表達因為-(1+a)=-=，①(1)當a=0時，=0，所以=1+a.(2)當a<1，且a≠0時，>0，所以

>1+a.(3)當a>1時，<0，所以<1+a.注意分類討論思想方法的應用：①當作差化簡后的結(jié)果不能直接判定符號時，要討論.

題后反思作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方法是配方或通分，因式分解為積商的形式.【解題策略】作差法比較大小的步驟【跟蹤訓練】1.已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，試比較P，Q的大小.【解析】因為P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0，所以P≥Q.2.已知a，b均為正實數(shù).試比較a3+b3與a2b+ab2的大小.【解析】因為a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).當a=b時，a-b=0，a3+b3=a2b+ab2；當a≠b時，(a-b)2>0，a+b>0，a3+b3>a2b+ab2.綜上所述，a3+b3≥a2b+ab2.【拓展延伸】中間值法比較大小如果所給式子作差后無法因式分解，不能判斷差的符號，可嘗試中間值法比較大小.利用中間值法比較大小的關(guān)鍵在于尋找中間值，通過它們的有界性來尋找中間值作媒介，以達到傳遞的目的.【拓展訓練】已知x∈R，試比較2x2-3x+3與的大小.【解析】因為2x2-3x+3=≥>1，2x+2-x=()2+2≥2，所以≤1，所以2x2-3x+3>.類型三比較大小在實際問題中的應用(數(shù)學抽象、數(shù)學建模)【典例】2019年12月26日某單位職工去瞻仰毛澤東紀念館需包車前往.甲車隊說：“如果領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”，乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠.”這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠.【思路導引】先設(shè)出變量表示出兩車隊的車票花費，再通過作差法比較.【解析】設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價為x元，坐甲車隊的車需花y1元，坐乙車隊的車需花y2元.由題意，得y1=x+x·(n-1)=x+nx，y2=nx.因為y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x，當n=5時，y1=y2；當n>5時，y1<y2；當n<5時，y1>y2.所以，當單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠.【解題策略】現(xiàn)實生活中的許多問題能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問題轉(zhuǎn)化成不等關(guān)系，利用作差法比較大小，進而解決實際問題.【跟蹤訓練】甲、乙兩家飯館的老板一同去超市購買兩次大米，這兩次大米的價格不同，兩家飯館老板購買的方式也不同，其中甲每次購進100千克大米，而乙每次用去100元錢.問：誰的購買方式更合算？【解析】設(shè)兩次大米的價格分別為a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)，則甲兩次購買大米的平均價格(元/千克)是：

乙兩次購買大米的平均價格(元/千克)是：

因為所以>.所以乙飯館的老板購買大米的方式更合算.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.下列說法正確的是 (

)A.x為非正數(shù)可表示為“x≥0”B.小華的實際年齡n不足18歲，表示為“n≤18”C.兩數(shù)x，y的平方和不小于2，表示為“x2+y2≥2”D.甲數(shù)a比乙數(shù)b大，表示為“a≥b”【解析】選C.x為非正數(shù)應表示為“x≤0”，小華的實際年齡n不足18歲應表示為“n<18”，甲數(shù)a比乙數(shù)b大，應表示為“a>b”，故A，B，D不正確，C正確.2.某校對高一美術(shù)生劃定錄取分數(shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表示就是 (

)

A. B.C. D.【解析】選D.“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以

3.設(shè)a=3x2-x+1，b=2x2+x，則 (

)A.a>b B.a<b C.a≥b

D.a≤b【解析】選C.a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2