廣東省佛山市南海九江中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省佛山市南海九江中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，，，，點(diǎn)在斜邊上，以為棱把它折成直二面角，折疊后的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：B2.集合，則A∪B=（

）A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.[－2,+∞)參考答案：D【分析】根據(jù)題意先求出集合A和集合B，再求A∪B【詳解】由|x﹣1|≤3得到﹣2≤x≤4，即A＝[﹣2，4]，由2x+1≥4＝22得到x≥1，即B＝[1，+∞），則A∪B＝[﹣2，+∞），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【解答】解：==，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，），位于第二象限．故選：B．4.甲，乙，丙三人報(bào)考志愿，有A、B、C三所高校可供選擇，每人限報(bào)一所，則每所一學(xué)校都有人報(bào)考的概率為(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)題意，分別求每人報(bào)考一所學(xué)校的不同選法總數(shù)和每一所學(xué)校都有人報(bào)考的選法數(shù)，根據(jù)概率公式，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，每人報(bào)考一所學(xué)校，不同的選法總數(shù)是（種）如果每一所學(xué)校都有人報(bào)考，不同的選法總數(shù)是（種）所以如果每一所學(xué)校都有人報(bào)考的概率為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用計(jì)數(shù)原理計(jì)算概率，屬于基礎(chǔ)題.5.在△ABC中，a=4，A=30°，B=60°，則b等于（）A．4

B．6 C．

D．9參考答案：A考點(diǎn)：正弦定理．專題：解三角形．分析：由正弦定理進(jìn)行求解即可．解答：解：∵a=4，A=30°，B=60°，∴由正弦定理得得b====，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理是解決本題的關(guān)鍵6.已知函數(shù)，則f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由題求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，可得出在點(diǎn)（0，f（0））的斜率，再根據(jù)切線公式可得結(jié)果.【詳解】∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（0）=-1，f（0）=1，即函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為-1，∴圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-x+1，即x+y-1=0．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程，求導(dǎo)和熟悉公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中點(diǎn)，M是AO上一點(diǎn)，且=3，則的值是（）A．B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】利用已知條件，建立直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解向量的數(shù)量積．【解答】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中點(diǎn)，M是AO上一點(diǎn)，且=3，則A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故選：D．8.設(shè)全集是自然數(shù)集，，，則右圖中的陰影部分表示的集合是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.不等式成立的充分不必要條件是(

)A.

B.

C.或

D.或

參考答案：A10.對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”，區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”.給出下列4個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為（

）①②③

②③

①③

②③④參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|－1＜x＜1}，集合C={x|mx+1＞0}，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________.參考答案：由題意，，

∵集合，

①②m時(shí)，成立；

③綜上所述，故答案為．

12.函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象是由一段拋物線和一條射線組成（如圖所示）.1

當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是

;2

果對(duì)任意(b<0)，都有，那么b的最大值是

.參考答案：；13.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：314.

設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

.參考答案：4略15.(幾何證明選講）如圖所示，圓的內(nèi)接三角形ABC的角平分線BD與AC交于點(diǎn)D，與圓交于點(diǎn)E,連結(jié)AE，已知ED=3,BD=6,則線段AE的長(zhǎng)＝

.

參考答案：16.已知函數(shù)，若,且，則的最小值是

參考答案：－16略17.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+3y+m的最大值為4，則m的值為．參考答案：﹣4【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合z=x+3y+m的最大值為4，建立解關(guān)系即可求解m的值．【解答】解：由z=x+3y+m得﹣，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線﹣由圖象可知當(dāng)直線﹣經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線﹣的截距最大，此時(shí)z也最大，由，解得，即A（2，2），將A代入目標(biāo)函數(shù)z=x+3y+m，得2+3×2+m=4．解得m=﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]內(nèi)的最大值；（Ⅱ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出；（2）方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用導(dǎo)數(shù)可得其最小值為g（x2）．則，即2lnx2+x2﹣1=0．設(shè)h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．④解：（1）．令f'（x）=0得．∵時(shí)，f'（x）＞0，時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在遞增，在遞減．①當(dāng)即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上遞減，∴x=1時(shí)f（x）取最大值f（1）=﹣a．②當(dāng)即時(shí)，f（x）在遞增，在遞減，∴時(shí)，f（x）取最大值．③當(dāng)即時(shí)，f（x）在（1，e）遞增，∴x=e時(shí)f（x）取最大值f（e）=1﹣ae．（2）∵方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．∵m＞0，x＞0，∴（舍去），．當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．∴g（x）最小值為g（x2）．則，即∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．設(shè)h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），恒成立，故h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，h（x）=0至多有一解．又h（1）=0，∴x2=1，即，解得．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．19.已知函數(shù)f（x）=x3+|ax﹣3|﹣2，a＞0．（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a∈（0，5）時(shí)，對(duì)于任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得f（x1）+f（x2）=0，求實(shí)數(shù)a的值．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）討論當(dāng)x≥時(shí)，去掉絕對(duì)值，求出導(dǎo)數(shù)；當(dāng)x＜時(shí)，去掉絕對(duì)值，求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)0＜a≤1時(shí)，當(dāng)1＜a≤3時(shí)，當(dāng)a＞3時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）由題意可得f（0）+f（1）=0，求得a的值，去掉絕對(duì)值，畫(huà)出f（x）在[0，1]的圖象，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)x≥時(shí)，f（x）=x3+ax﹣5，由a＞0，f′（x）=3x2+a＞0，可得f（x）在[，+∞）遞增；當(dāng)x＜時(shí)，f（x）=x3﹣ax+1，由a＞0，f′（x）=3x2﹣a，由f′（x）＞0，可得x＞或x＜﹣；由f′（x）＜0，可得﹣＜x＜．當(dāng)0＜a≤1時(shí)，≤，f（x）在（，），（﹣∞，﹣）遞增；在（﹣，）遞減；當(dāng)a＞1時(shí)，＞，f（x）在（﹣∞，﹣）遞增；在（﹣，）遞減；綜上可得，當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞），減區(qū)間為（﹣，）；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣），[，+∞），減區(qū)間為（﹣，）；當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣），[，+∞），減區(qū)間為（﹣，）；（2）當(dāng)a∈（0，5）時(shí)，對(duì)于任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得f（x1）+f（x2）=0，由f（0）=1，結(jié)合圖象可得f（1）=1+|a﹣3|﹣2=﹣1，解得a=3．當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x3+|3x﹣3|﹣2，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3﹣3x+1，f′（x）=3x2﹣3≤0，f（x）遞減，則f（x）∈[﹣1，0]，且與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，故a=3成立．20.己知函數(shù)，其中a>0(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(II)若直線x-y-l=0是曲線y=的切線，求實(shí)數(shù)a的值；(In)設(shè)，求g(x)在區(qū)間上的最大值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）參考答案：解：（Ⅰ），（），

在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則

解得，.

（Ⅲ），則，

解，得，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最大值為.

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最大值為.

當(dāng)，即時(shí)，的最大值為和中較大者；，解得，所以，時(shí)，最大值為，時(shí)，最大值為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為.

略21.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)?n∈N*，t≤4Tn恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）分類討論：n=1時(shí)，a1=S1；n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，然后根據(jù)t≤4Tn恒成立來(lái)求t的最大值．【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，∴a1=S1=1，n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，n=1時(shí)，上式成立，∴an=3n﹣2．（2）由an=3n﹣2，可得=．因?yàn)椋訲n+1＞Tn，所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列．所以，所以實(shí)數(shù)t的最大值是1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用及恒成立與最值求解的應(yīng)用．22.某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集200位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．調(diào)查部分結(jié)果如下2×2列聯(lián)表：

男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)35

每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)

30

總計(jì)

200

（1）完成上述每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的2×2列聯(lián)表，并判新是否有95%把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”；（2）已知在被調(diào)查的男生中，有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中有2名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰有1人“每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)”的概率．附．，其中．P（）0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879

參考答案：(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，并由臨界值表比較可得結(jié)論；（2）由列舉法以及古典概型概率公式可得答案.【詳解】（1）收集女生人數(shù)為，男生人數(shù)為，即應(yīng)收集50為女生，150位男生的樣本數(shù)據(jù)，

男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)352055每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)11530145總計(jì)15050200

∴，所