安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高一下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題含解析

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023年春季聯(lián)賽（高一）數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意事項：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認(rèn)真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致.2.答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.答第Ⅱ卷時，必須使用毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，其中第3題為選考題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，若，則實數(shù)a取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意知，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】由，知，因為，，若，則方程無解，所以；若，，則，因為，所以，則；故實數(shù)取值集合為.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【選考人教版】3.歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞土著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（）A. B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限 D.【答案】D【解析】【分析】由歐拉公式，代入對應(yīng)的值，即可判斷A和C；由得，兩式聯(lián)立，解出即可判斷B；由二倍角公式即可判斷D．【詳解】對于A：由歐拉公式得，所以，故A錯誤；對于B：由得，兩式聯(lián)立得，兩式相減消去得，，所以，故B錯誤；對于C：由歐拉公式得，，在復(fù)平面對應(yīng)點的坐標(biāo)為，因為，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故C錯誤；對于D：，故D正確，故選：D．【選考北師大版】4.小明在整理數(shù)據(jù)時得到了該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為20，方差為28，后來發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將11記錄為21，另一個錯將29記錄為19.在對錯誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】不妨記更正前該組數(shù)據(jù)為：，然后根據(jù)平均數(shù)和方差公式先求出，再利用公式即可求得更正后的平均數(shù)和方差.【詳解】不妨記更正前該組數(shù)據(jù)為：，則更正后的數(shù)據(jù)為：.由題可知，，整理得.所以，.故選：D5.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中給出了三角形的面積公式：已知的三邊分別為a，b，c，則的面積.在中，，，則面積的最大值為（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】將，代入面積公式可得，再利用二次函數(shù)單調(diào)性即可得時，面積的最大值為.【詳解】由可得，將，代入面積公式可得由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，取最大值；經(jīng)檢驗符合題意，所以面積的最大值為.故選：A6.計算：的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)余弦的倍角公式，合計兩角和與差的正弦、余弦公式，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】由.故選：D.7.已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩向量與的夾角為可畫出圖示表示其位置關(guān)系，再根據(jù)的取值范圍即可求得實數(shù)t的取值范圍是.【詳解】根據(jù)題意可知，利用平面向量的三角形法則畫出其幾何關(guān)系，如下圖所示：記，則；由平面向量的三角形法則可知，點可以在射線（除點外）上移動，易知當(dāng)，即時，取最小值，此時，即；若恒成立時，即即可，由可得，，即;所以，實數(shù)t的取值范圍為.故選：A8.已知函數(shù)，若，是函數(shù)的兩個零點，且，則實數(shù)（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)的零點代入表達(dá)式，利用換元法，可得，找到與關(guān)系，代入，化簡可得，即可求得結(jié)果．【詳解】，是函數(shù)的兩個零點，，即，同理，，是方程的兩個根，其中，，，可得，，，即，，故選：C．9.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，，令，其中，求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.詳解】由，，，對兩邊取對數(shù)，可得，，，令，其中，可得，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，可得，所以,所以，在單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：A.二、選擇題（本題共4小題，其中第10題為選考題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）10.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有點（）A.向左平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍B.向右平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位長度D.橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個單位長度【答案】ABD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則一一判斷即可.【詳解】因為，所以將向左平移個單位長度得到，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，故A正確；將向右平移個單位長度得到，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，故B正確；將橫坐標(biāo)伸長到原來的倍得到，再將向左平移個單位長度得到，故C錯誤；將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，再將向左平移個單位長度得到，故D正確；故選：ABD【選考人教版】11.如圖，在正方體中，分別為的中點，則（）A.直線與所成的角的大小為 B.直線平面C.平面平面 D.平面將正方體截成的兩部分的體積之比為【答案】AD【解析】【分析】對于A，利用異面直線所成的角將平移至即可知直線與所成的角的大小為；對于B，假設(shè)直線平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得，顯然不成立，即B錯誤；同理對于C，由面面垂直的性質(zhì)定理可以得出矛盾，所以C錯誤；對于D，分別求得平面將正方體截成的兩部分的體積即可知D正確.【詳解】對于A，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，，即三角形為正三角形，又因為分別為的中點，所以，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補角；又，所以直線與所成的角的大小為，即A正確；對于B，假設(shè)直線平面，又平面，所以；連接，如下圖所示：易知平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又易知平面，所以，這與矛盾，所以直線與平面不垂直，即B錯誤；對于C，取的中點為，連接，如下圖所示：易知，的中點為，所以，假設(shè)平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，可得，這與矛盾，所以C錯誤；對于D，不妨設(shè)正方體邊長為，則正方體的體積即為，平面將正方體截成較小部分為三棱錐，由錐體體積公式可得，則較大部分體積為，所以平面將正方體截成的兩部分的體積之比為，即D正確.故選：AD【選考北師大版】12.一位植物學(xué)家想要研究某類植物生長1年之后的高度，他隨機抽取了n株此類作物，測得它們生長1年之后的高度（單位：cm），將收集到的數(shù)據(jù)按照，，，，，，分組，畫出頻率分布直方圖，已知隨機抽取的植物生長1年之后高度低于60cm的有20株，則以下結(jié)論中正確的是（）A. B.此次檢測植物生長高度的第80百分位數(shù)約為80C.此次檢測植物生長高度的眾數(shù)的估計值為80 D.此次檢測植物生長高度在之間的有50株【答案】AD【解析】【分析】先由頻率求得n，再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)的求法可得結(jié)果.【詳解】對于A，植物生長1年之后高度低于60cm的頻率為，所以，解得.故A正確；對于B，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為m，則，解得：.故B錯誤；對于C，由眾數(shù)的定義知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為85.故C錯誤；對于D，此次檢測植物生長高度在之間的頻率為，所以此次檢測植物生長高度在之間有株.故D正確.故選：AD13.已知是定義在有限實數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值不可能是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】問題相當(dāng)于圓上由個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合，根據(jù)定義就是要求一個只能對應(yīng)一個可得答案.【詳解】由題意得到，問題相當(dāng)于圓上由個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合，我們可以通過代入和賦值的方法，當(dāng)時，此時得到的圓心角為，然而此時或者時，都有個與之對應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個只能對應(yīng)一個，因此只有當(dāng)時旋轉(zhuǎn)，此時滿足一個只會對應(yīng)一個.故選.：C.14.已知函數(shù)，的定義域均為，且滿足，，，則（）A.為奇函數(shù) B.4為的周期C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，由得出的對稱中心為，再由和得出關(guān)于對稱，則關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，判斷出A；對于B，由和，得出的周期為4，再根據(jù)，即可得出的周期；對于C，由的周期性和奇偶性，求出，即可判斷C；對于D，根據(jù)和的周期即可判斷D．【詳解】對于A：因為，所以的對稱中心為，因為，所以，又，所以，則關(guān)于對稱，結(jié)合的對稱中心為，所以關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：因為，所以，又，所以，即，所以，即的周期為4，又，所以的周期也為4，故B正確；對于C：由對稱中心為，得，又因為對稱軸為，所以，所以關(guān)于對稱中心，所以和關(guān)于點對稱，所以，所以，所以，故C錯誤；對于D：由C得，因為，所以，，，，所以，又因為的周期為4，所以，故D正確，故選：BD．【點睛】方法點睛：①若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；②若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；③若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；④若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；⑤若函數(shù)的圖像既有對稱軸又有對稱中心，則對稱軸關(guān)于對稱中心對稱的直線仍是函數(shù)圖像的對稱軸，對稱中心關(guān)于對稱軸對稱的點仍是函數(shù)圖像的對稱中心；⑥若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，且函數(shù)在時有意義，則有；⑦若函數(shù)的圖像具有雙對稱性，則函數(shù)為周期函數(shù)；若的圖像關(guān)于直線，對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；若的圖像關(guān)于點和對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；若的圖像關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；⑧若函數(shù)的周期為，則函數(shù)的周期為．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）15.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為______.【答案】【解析】【分析】易知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，直接利用奇函數(shù)定義建立方程可以求出.【詳解】因，即在R上恒成立，所以函數(shù)的定義域為R，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，則，所以.故答案為：16.中國扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，與竹文化、道教文化有著密切關(guān)系，歷來中國有“制扇王國”之稱.現(xiàn)有一塊扇子如圖1所示，其平面圖如圖2所示，在扇形中，已知，，，則扇面（曲邊四邊形ABCD）的面積為______.【答案】##【解析】【分析】將圓心角化為弧度，然后用大扇形面積減小扇形面積可得.【詳解】因為，所以，扇面的面積為.故答案為：17.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到，再利用基本不等式求解最小值.【詳解】因為正數(shù)a，b滿足，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故答案為：18.已知函數(shù)，，對任意的a，b，，都存在以，，是三角形函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為滿足求m的取值范圍，然后分類討論函數(shù)的值域，根據(jù)求解可得.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，即.不妨設(shè)，則對任意的a，b，，都存在以，，為三邊的三角形，等價于對任意的a，b，，都有，等價于.當(dāng)，即時，，即，所以；當(dāng)，即時，，即，所以；當(dāng)，即時，，即，所以.綜上，實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，其中第19題為選考題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）19.如圖，斜坐標(biāo)系中，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對，在斜坐標(biāo)系中完成下列問題：（1）若向量，的坐標(biāo)分別為，，計算的大小；（2）已知向量的坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，證明：若，則.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意可得，，即可求出，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；（2）依題意，，分和兩種情況討論，解得平面向量基本定理及共線定理證明即可.【小問1詳解】因為向量，的坐標(biāo)分別為，，所以，，所以，又，，所以.【小問2詳解】因為，，當(dāng)時，顯然；當(dāng)時，即、至少有一個不為，不妨設(shè)，若，則存在實數(shù)使得，即，所以，因為，不共線，所以，由代入可得，即，綜上可得若，則；20.已知在區(qū)間上單調(diào)，滿足，對任意的，都有.（1）求的解析式；（2）設(shè)，求在上單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）由求出，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，由求出的值，即可得解；（2）利用兩角差的正弦公式、二倍角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.小問1詳解】因為且，所以，即，所以，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，解得，又，所以，所以，解得，所以，所以.【小問2詳解】因為，即，令，，解得，，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又，所以時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增區(qū)間為和.【選考人教版——立體幾何初步】21.在四面體中，點H為的垂心，且平面．（1）若，求證：；（2）若，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接并延長，交于于點，連接，由點為的垂心得，首先證明出平面，得出，再結(jié)合，證得平面，即可證得；（2）取的中點，連接，由（1）得，由得出，證得平面，得出，所以垂直平分線段，即可證得．【小問1詳解】連接并延長，交于于點，連接，因為點H為的垂心，所以，又因為平面，且平面，所以，又平面，且，所以平面，因為平面，所以，又因為，平面，，所以平面，又平面，所以．【小問2詳解】取的中點，連接，由（1）得，因為，且點為的中點，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以垂直平分線段，所以．【選考北師大版——概率與統(tǒng)計】22.某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選一人參加全國高中數(shù)學(xué)競賽，現(xiàn)整理了近期兩人5次模擬考試的成績，結(jié)果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績（分）7880658592乙的成績（分）7586709574（1）如果根據(jù)甲、乙兩人近5次的考試成績，你認(rèn)為選誰參加較合適？并說明理由；（2）如果按照如下方案推薦參加全國高中數(shù)學(xué)競賽：方案一：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對，則可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽，否則被淘汰；方案二：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對其中2道，則可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽，否則被淘汰.已知學(xué)生甲只會5道備選題中的3道，那么學(xué)生甲選擇哪種答題方案可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽的可能性更大？并說明理由.【答案】（1）選派甲參加數(shù)學(xué)競賽較合適，理由見解析（2）選擇方案二，理由見解析【解析】【分析】（1）計算并比較甲、乙兩人近5次的考試成績的平均分與方差即可；（2）計算并比較學(xué)生甲采用方案一與方案二可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽的概率即可.【小問1詳解】選派甲參加數(shù)學(xué)競賽較合適．由題意得，，，，由，可知甲、乙的平均分相同，但甲的成績比乙穩(wěn)定，故選派甲參加數(shù)學(xué)競賽較合適；【小問2詳解】5道備選題中學(xué)生甲會的3道分別記為a，b，c，不會的2道分別記為E，F(xiàn)，方案一：學(xué)生甲從5道備選題中任意抽出1道的結(jié)果有：a，b，c，E，F(xiàn)，共5種，抽中會的備選題的結(jié)果有a，b，c，共3種，所以此方案學(xué)生甲可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽的概率．方案二：學(xué)生甲從5道備選題中任意抽出3道的結(jié)果有：，共10種，抽中至少2道會的備選題的結(jié)果有：，共7種，所以此方案學(xué)生甲可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽的概率，因為，所以學(xué)生甲選擇方案二可參加全國高中數(shù)學(xué)競賽的可能性更大．23.已知函數(shù)，.（1）若，在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）對任意，都有，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）代入化簡，從而分析的圖像，結(jié)合的圖像得到關(guān)于的不等式組，從而得解；（2）結(jié)合題意得到關(guān)于的不