湖南省益陽(yáng)市石筍中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省益陽(yáng)市石筍中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，是實(shí)數(shù)，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)，其中，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．8

B．9

C．10

D．11參考答案：B試題分析：,由題意,和是方程的兩根,所以有,求得,所以,若令,則,考查方程的根的情況,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的,所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn),同理可以判斷在內(nèi)各有唯一的零點(diǎn),所以得到方程的根有個(gè)；再看函數(shù)的零點(diǎn),當(dāng)時(shí),有三個(gè)不同的根,且,而有三個(gè)不同的根,故函數(shù)有個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：1.函數(shù)極值的條件；2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理；3.函數(shù)零點(diǎn).【思路點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),屬于中檔題.先由和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，得出和是方程的兩根,求出.討論方程的根的情況,最后考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況.考查分類(lèi)討論思想,難度大.

2.函數(shù)f（x）=log（x2﹣4）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?）∪（2，+∞），且函數(shù)f（x）=g（t）=logt．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題即求函數(shù)t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的減區(qū)間．解答： 解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（2，+∞），當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時(shí)，t隨x的增大而減小，y=logt隨t的減小而增大，所以y=log（x2﹣4）隨x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．3.已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且均有′（x），則（

）A．B．C．D．參考答案：D略4.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且則（

）A．

1

B．

C．-1

D．0參考答案：A略5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3+2π C． D．+參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體是長(zhǎng)方體、圓柱、三棱錐的組合體，根據(jù)三視圖判斷長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高；判斷圓柱的底面半徑與高；判斷三棱錐的高和底面三角形的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入體積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是長(zhǎng)方體、圓柱、三棱錐的組合體，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2、1、2；圓柱的底面半徑為1，高為2；三棱錐的高為2，底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，∴幾何體的體積V=2×1×2+π×12×2+××1×1×2=4++=+．故選：D．6.若函數(shù)有極值，則a的取值范圍是（

）A.(－∞,－2) B.(－2,2) C.(－∞,－2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)參考答案：D,因?yàn)楹瘮?shù)有極值，令,且,所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,求解可得本題選擇D選項(xiàng).7.2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿(mǎn)足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B． C． D．參考答案：D所以有化簡(jiǎn)可得，可得。

8.設(shè)函數(shù).若曲線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：A分析：由有，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合求出的范圍。詳解：由有，顯然，在同一坐標(biāo)系中分別作出直線和函數(shù)的圖象，當(dāng)直線與相切時(shí)，求出，當(dāng)直線與相切時(shí)，求得，所以，又當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，一共還是4個(gè)交點(diǎn)，符合。，綜上，，選A.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的畫(huà)法，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，屬于中檔題。畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵。

9.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：B10.函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)與是定義在同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱(chēng)和在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則的取值范圍為_(kāi)_______；參考答案：12.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：13.將6位志愿者分成4組，其中有2個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有

種.（用數(shù)字作答）參考答案：108014.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則_________.參考答案：015.函數(shù)的遞增區(qū)間為

。參考答案：令，則在定義域上單調(diào)遞增，而，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為。16.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是

_.參考答案：，∴是函數(shù)含原點(diǎn)的遞增區(qū)間．又∵函數(shù)在上遞增，∴，∴得不等式組，得，又∵，∴，又函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，即函數(shù)在處取得最大值，可得，∴，綜上，可得．17.設(shè)集合，，，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓C:，離心率，A是橢圓的左頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，,直線m：.（1）求橢圓C方程；（2）直線l過(guò)點(diǎn)F與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線PA、QA分別與直線m交于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)：以MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）

得所求橢圓方程：

…………4分（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，、直線PA:令，得，

同理

以MN為直徑的圓：整理得：

①

得，

②將②代入①整理得：

令，得或當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，、、、以為直徑的圓：也過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)綜上：以MN為直徑的圓能過(guò)兩定點(diǎn)、

…………12分

19.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（1，）處的切線的傾斜角為，求在上的最小值；（Ⅱ）若存在，使，求a的取值范圍．參考答案：解：（I）

………….……………1分

根據(jù)題意，

…3分

此時(shí)，,則.

令

-+↘↗………………………….6分

∴當(dāng)時(shí)，最小值為.………7分

（II）

①若上單調(diào)遞減.

又

…………..10分

②若

從而在（0，上單調(diào)遞增，在（，+上單調(diào)遞減.

根據(jù)題意，

……………..............................13分

綜上，的取值范圍是.20.已知函數(shù)的最大值是1，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)。求的解析式；已知，且求的值。參考答案：（1）依題意有,則將點(diǎn)，而故（2）依題意有，而略21.某校對(duì)高一年級(jí)學(xué)生暑假參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取了M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率[10，15）100.25[15，20）25n[20，25）mp[25，30）20.05合計(jì)MN（1）求表中n，p的值和頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)超過(guò)20次的概率；（2）試估計(jì)該校高一學(xué)生暑假參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）利用頻率=，結(jié)合頻率分布統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖能求出頻率分布表中n，p的值和頻率分布直方圖中a的值，并能估計(jì)該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)超過(guò)20次的概率．（2）中位數(shù)位于區(qū)間[15，20），設(shè)中位數(shù)為15+x，則0.125x=0.25，由此能求出該校高一學(xué)生暑假參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)．【解答】解：∵[10，15）組的頻數(shù)為10，頻率為0.25，∴，解得M=40．∴n=，p=1﹣0.25﹣0.625﹣0.05=0.075，∴a==0.125．∴該校高一學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)超過(guò)20次的概率為：0.075+0.05=0.125．（2）∵次數(shù)位于[15，20）的頻率為0.625，∴中位數(shù)位于區(qū)間[15，20），設(shè)中位數(shù)為15+x，則0.125x=0.25，解得x=2，∴該校高一學(xué)生暑假參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)為17次．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．22.（13分）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三個(gè)頂點(diǎn).

（Ⅰ）寫(xiě)出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)，并證明G，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線；

（Ⅱ）當(dāng)直線FH與OB平行時(shí)，求頂點(diǎn)C的軌跡.參考答案：解析：（Ⅰ）解：由△OBC三頂點(diǎn)坐標(biāo)O（0，0），B（1，0），C（