2023年泛函分析專題練習

2023年泛函分析專題練習下面是我為大家整理的泛函分析專題練習,供大家參考。

目

錄

前

言：泛函分析簡介

第一部分：習題單列

專題之一：

度量空間基本概念專題之二：

完備度量空間專題之三：

壓縮映射原理專題之四：

賦范線性空間專題之五：

列緊集與緊性專題之六：

稠密性與可分性專題之七：

線性算子與泛函的基本概念專題之八：

有界線性泛函的表示專題之九：

線性泛函的延拓專題之十：

共鳴定理專題之十一：

開映射定理與閉圖像定理專題之十二：

內積空間與Hilbert空間專題之一：

度量空間基本概念

1．在nR上，令（１）

),,,(21nx,（２）

),,,(21ny，（３）2/112)(),(niiiyx，證明：

),(nR是度量空間．此外，若令niiiyx11),(，iiniyx12max),(，則可以驗證nR分別關于),(1yx和),(2yx也構成度量空間．2．設X是任意的非空集合，對X中的任意元yx,，令證明：

X關于),(yx構成度量空間．3．設1R是實數(shù)全體，規(guī)定對1,Ryx，令||1||),(yxyxyx，證明：1R關于

),(yx構成度量空間．4．設X是非空集合，對任何自然數(shù)k，有XX上的函數(shù)k，滿意（１）對任何Xyx,，0),(yxk，0),(xxk；（２）

),(),(),(yzzxyxkkk，Xzyx,,．又設對一切自然數(shù)k，均有0),(yxk時，必有yx．證明：

X依據(jù)成為度量空間，且對Xxn，nx依據(jù)距離收斂于x的充要條件是對一切自然數(shù)k，均有0),(xxnk)(n．5．取全部有界復數(shù)列作為元素組成集合X，對每個元素),,,(21nxX（簡記作)(jx），都存在一個實數(shù)C，使得),3,2,1(jCj，依據(jù)jjNjyxsup),(定義度量，令),(Xl，證明：

),(Xl是度量空間．6．設E是Lebesgue可測集，)(Em．設S是E上實值（或復值）可測函數(shù)全體，當)(tf，)(tg在E上幾乎到處相等時，把f和g看做S中的同一點，且對于Sgf,，定義dttgtftgtfgfE)()(1)()(),(，證明：（１）

),(gf是S上的一個度量；（２）在S中，0),(ffn的充要條件是nf依測度收斂于f．7．設X是一個度量空間，其度量為),(yx，Xyx,．證明：

),(1),(),(~yxyxyx，Xyx,

是X上的另一度量，并且~是有界的．8．設],[baC是],[ba上連續(xù)函數(shù)的全體，yx,],[baC，定義),(yx)()(maxtytxbta，

證明：

],[baC依據(jù)),(yx構成度量空間．9．設],[baC是區(qū)間],[ba上無限次可微函數(shù)的全體，定義),(gfd021rrbtamax|)()(|1|)()(|)()()()(tgtftgtfrrrr．證明：

],[baC依據(jù)),(gfd構成度量空間．10．設),(0C0)(lim),(tf，f：t且上連續(xù)函數(shù)是．在),(0C上定義f),()(sup：ttf．證明：（),(0C，）構成Banach空間．或者等價地，令),(gf),()()(sup：ttgtf，gf,),(0C．證明：

),(0C依據(jù)),(gf構成完備的度量空間．專題之二：

完備度量空間

1．設1與2均是X上的度量，且存在0,ba，使得Xyx,，有),(),(),(121yxbyxyxa．證明：

),(1X與),(2X中有同樣的Cauchy列．2．證明：空間l是完備的．2．證明：空間pl是完備的，其中p1．3．證明：空間],[baLp是完備的，其中p1．4．證明：空間],[baL是完備的．5．證明l與]1,0(C的一個子空間等距同構．若),,(21xl，定義),(txT]1,0(C，]1,0(t，且證明T是l到]1,0(C的子空間的一個同構映射．6．設),(X是一個度量空間．證明：

),(X是完備度量空間對X中的任何一閉球套nBBB21，其中}),(|{iiixxxB，當0n時，必有唯一的

1iiBx．專題之三：

壓縮映射原理

1．設),(X是一度量空間，當yx時，T：

XX滿意),(TyTx),(yx，且T有一不動點，證明：不動點是唯一的．2．（１）設T為壓縮映射，證明：nT)(Nn仍是壓縮映射；（２）若1n，nT是壓縮映射，證明：

T不肯定是壓縮映射．3．設ija),,2,1,(nji是一組實數(shù)，滿意njiijija1,2)(1，其中證明：代數(shù)方程組injjijbxa1),,2,1(ni對任何一組),,,(21nbbb必有唯一解．4．（隱函數(shù)存在定理）設函數(shù)),(yxf在條形域：

bxa，y上到處連續(xù)，且到處有偏導數(shù)),(/yxfy，且存在常數(shù)Mm，使得在條形域中有m0),(/yxfyM，證明：方程),(yxf0在],[ba上必有唯一連續(xù)解)(xy．5．設v],[baC，),(tK是三角域tabtat,|),(上的連續(xù)函數(shù)，且MtK),(，證明：對于任何常數(shù)，方程)(txtadxtKtv)(),()(（＊）。在],[ba上有唯一的連續(xù)函數(shù)解)(tx．此題中的方程（＊）稱為Volterra積分方程．考慮二階常微分方程的初值問題.)(,)(),,(10/0022xtxxtxxtfdtxd，則可轉化為一個Volterra積分方程．實際上對),(22xtfdtxd兩邊積分兩次，并代入初始條件，得0)(xtx10)(xtttttdduuxuf00))(,(．對tttdduuxuf00))(,(用分部積分，得tttdduuxuf00))(,(ttdxft0))(,()(，

即0)(xtx10)(xttttdxft0))(,()(，此即Volterra型積分方程．6．（其次類Fredholm型積分方程）設其次類Fredholm型線性積分方程)(txbadssxstKtf)(),()(（☆）

其中為參數(shù)，對充分小的，則（１）當f],[baC，),(stK是定義在bsabta,上的連續(xù)函數(shù)時，（☆）有唯一的連續(xù)解)(tx],[baC，而且)(tx是迭代序列)(txnbandssxstKtf)(),()(1

的極限，其中)(0tx可取],[baC中的任意函數(shù)．（２）當f],[2baL，積分核),(stK是定義在bsabta,上的可測函數(shù)，滿意dtdsstKbaba2),(，則（☆）有唯一解)(tx],[2baL．7．（隱函數(shù)存在定理）令U是2R中的點),(ba的一個領域，假設f是U中的x和y的連續(xù)函數(shù)，并且yf在U中存在，且在),(ba連續(xù)．則當（１）yf),(ba0；

（２）

0),(baf

時，則在a的某一領域內，存在唯一的連續(xù)函數(shù))(0xy，使得0))(,(0xyxf．專題之四：

賦范線性空間

1．設X為數(shù)域K上的賦范線性空間，證明：線性運算關于范數(shù)是連續(xù)的．即對nn,，,K，Xyxyxnn,,,

，當n，n，xxn，yyn時，有yxyxnnnn．且當,0nx0x時，有xxxxnn．2．設X為賦范線性空間，令證明：

),(X是度量空間，但不是由范數(shù)導出的度量．3．設],[baV是],[ba上有界變差函數(shù)的全體，對于每個f],[baV，定義

)()(fVaffba，其中，)(fVba為f在],[ba上的全變差，即)(fVbaniiiafbf1)()(sup．這里代表],[ba的任意一個分割bbabaann11，],[baV是線性空間，證明：

],[baV是賦范線性空間．4．設線性空間X關于成為度量空間，而且滿意),(),(yxyx，

),(),(xx，其中yx,是X中的任意元，是任意數(shù)．證明：

X依據(jù)),(xx成為賦范線性空間．5．證明：設),(kkX一列賦范線性空間．令121,|),,(kpkkkkxXxxxxX，用類似于數(shù)列的加法和數(shù)乘引進線性運算，并定義范數(shù)為：

pkpkkpxx/11，Xx．)1(p

證明：

),(pX是賦范線性空間．特殊地，若121RXX，范數(shù)k即是通常的肯定值，則上題中最終得到的賦范線性空間就是pl空間．6．證明：

（１）inix1max，nnRx),,,(21是nR上的范數(shù)；（２）pxpbapdttx/1)()1(p是],[baC上的范數(shù)．專題之五：

列緊集與緊性

1．證明：空間]1,0[2L)1(p中的集合A是相對緊集的充分必要條件是滿意下列兩個

條件：

（１）存在常數(shù)K，使得對任意Ax，有Kx，即10)(ppKdttx；（２）任給0，存在0，使得當h0時，有hxx，即pphdttxtx/110)()(，對一切成立．2．證明：nR中點集A是相對緊的充分必要條件是A為有界集．3．設X是賦范線性空間，A是X中的有界集．證明：

A是完全有界集的充分必要條件是對任意0，存在有限維子空間XX，使A中每個點與X的距離都小于．4．設X，Y是兩個度量空間，映射f：

XY，證明：

f是連續(xù)映射對X中任何緊集A，Af|：

AY是連續(xù)的．5．設X，Y是兩個度量空間，映射f：

XY是單射．證明：

f是連續(xù)映射的充分必要條件是f把X中的任何緊集映射為Y中的緊集．專題之六：

稠密性與可分性

1．記],[baP為],[ba上多項式全體所構成的線性空間，將之視為度量空間],[baC的子集，證明：

],[baP在],[baC中稠密．2．證明：空間)],,[(baC是可分的，其中)()(max),(tytxyxbta．3．證明：

),(pl是可分的，其中

pkpkkyx/11),(，),,(21x，),,(21y．4．證明：

],[baLp是可分的．5．設p1，記],[baB是],[ba上的有界可測函數(shù)全體．證明：

],[baB在],[baLp中稠密．6．設p1，視],[baC為],[baLp的子空間．證明：

],[baC在],[baLp中稠密．

7．證明：

],[baB（有界函數(shù)集）是不行分的．8．設),0[C是),0[上有界函數(shù)全體依據(jù)范數(shù)|)(|suptxxt所構成的賦范線性空間．證明：

),0[C是不行分的．專題之七：

線性算子與泛函的基本概念

1．設線性算子T：

],[baL],[baC，使得xadttfxTf)())((．證明：

1T．2．設),(tsK是定義在],[],[baba上的二元Lebesgur平方可積函數(shù)，空間],[2baL上的算子T定義為：

dssxtsKtTxba)(),())((，x],[2baL．證明：

T是],[2baL],[2baL的有界線性算子，并且有2/12|),(|babadsdttsKT．3．設),(tsK是定義在],[],[baba上的二元連續(xù)函數(shù)，空間],[baC上的算子T定義為：

dssxtsKtTxba)(),())((，x],[baC．證明：

T是],[baC],[baC的有界線性算子，并且有batdstsKT|),(|max．4．設],[1baC是],[baJ上連續(xù)可微函數(shù)全體構成的賦范空間，其中范數(shù)定義為：

Jtxmax)(tx)(max/txJt．證明：

（1）

此范數(shù)滿意范數(shù)定義的條件；（2）若令)()(/cxxf，2/)(bac，則f是],[1baC上的有界線性泛函；（3）假如將f看作],[baC中全部連續(xù)可微函數(shù)組成的子空間上的泛函，則f無界．5．在]1,1[C上定義線性泛函如下：

01)()(dttxxf10)(dttx，x]1,1[C．試求線性泛函f的范數(shù)．6．設X是],[baC中全部具有連續(xù)導函數(shù)的全體函數(shù)構成的線性子空間．算子dtd：

X],[baC，)()(txdtdtx．證明：dtd是X],[baC的線性無界算子．專題之八：

有界線性泛函的表示

賦范線性空間X上的連續(xù)線性泛函的表示，就是討論*X這個賦范線性空間能與怎樣的詳細空間實現(xiàn)同構．其討論方法是：

（１）在X中適當選取元素集合U，使U中元素的線性組合在X中稠密，集合U稱為X中的母元組；

（２）把泛函f在U上的形式表示出來后，采用U中元素的線性組合在X中的稠密性與f的連續(xù)性，把f在X上的形式表示出來．1．設nK是n維實的（或復的）線性空間，},,,{21neee是它的一組基，證明：nnKK)*(．2．證明：ll)*(1．類似可以證明：

(1)1)*(ll．(2)qpll)*(，其中p1，1/1/1q