上海市第六中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

上海市第六中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（﹣1，1）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值（）附“若X～N（μ，a2），則P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413參考答案：B【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正態(tài)分布的圖象如下圖：正態(tài)分布N（﹣1，1）則在（0，1）的概率如上圖陰影部分，其概率為×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即陰影部分的面積為0.1359；所以點(diǎn)落入圖中陰影部分的概率為p==0.1359；投入10000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)期望為10000×0.1359=1359．故選B．【點(diǎn)評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量μ和σ的應(yīng)用，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．2.若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為(

)A． B．1

C． D．5參考答案：C3.設(shè)關(guān)于的不等式組，且使取得最大值為2，則實(shí)數(shù)的值為（）A．

B．

C．

D．

參考答案：D4.若向量a與b的夾角為120，且,c=a+b，則有

A．cb

Bca

c．c//b

D.c∥a參考答案：B略5.已知向量(ex，e－x)，=(2，a)，函數(shù)f(x)=·是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．2 B．0 C．1 D．﹣2參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和奇函數(shù)的定義即可求出．【解答】解：f（x）==2ex+ae﹣x，∵f（x）為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，∴f（0）=0，即2+a=0，解得a=﹣2，故選：D6.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若＜﹣1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取的最小正值時(shí)，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意判斷出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n項(xiàng)和公式和性質(zhì)判斷出S20＜0、S19＞0，再利用數(shù)列的單調(diào)性判斷出當(dāng)Sn取的最小正值時(shí)n的值．【解答】解：由題意知，Sn有最大值，所以d＜0，因?yàn)椋缉?，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，則S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19為最小正值，故選：C．7.設(shè)全集R，集合，，則（

)A.

B.

C.

D.參考答案：B8.函數(shù)f（x）=的大數(shù)圖象為（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C、D項(xiàng)；再由當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值小于0，排除B，即可得到答案.【詳解】由題知，函數(shù)滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C、D項(xiàng)；又由當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值小于0，排除B，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的取值范圍，利用排除法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．參考答案：D10.在（為原點(diǎn)）中，（，），（，），若·＝－5，則的面積=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由已知得，，因?yàn)椤ぃ剑?，所以，，，從而的面積=，故選擇D。

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則

▲

.參考答案：1

14.

15.

16.12.已知sinα=，且α為鈍角，則cos=．參考答案：．【分析】根據(jù)題意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是鈍角，可得的范圍，由此可得cos的符號為正，即可得答案．【解答】解：∵由α是鈍角，即90°＜α＜180°，則45°＜＜90°，∴cosα＜0，cos＞0，∴cosα=﹣=﹣，∴cos===．故答案為：．13.已知，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是__________．參考答案：16014.已知數(shù)列{an}是以t為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足，若對都有成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

．參考答案：

15.一個(gè)棱長為5的正四面體（棱長都相等的三棱錐）紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體棱長的最大值為

.參考答案：16.已知函數(shù)，任取，定義集合:，點(diǎn)，滿足.設(shè)分別表示集合中元素的最大值和最小值，記.則

(1)若函數(shù)，則=______;（2）若函數(shù)，則的最小正周期為______.參考答案：略17.在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且，則

.參考答案：－1建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，，所以.所以.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設(shè)是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是以函數(shù)的最小正周期為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：

19.某市疾控中心流感監(jiān)測結(jié)果顯示，自2019年1月起，該市流感活動一度d現(xiàn)上升趨勢，尤其是3月以來，呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢，截止目前流感病毒活動度仍處于較高水平，為了預(yù)防感冒快速擴(kuò)散，某校醫(yī)務(wù)室采取積極方式，對感染者進(jìn)行短暫隔離直到康復(fù)。假設(shè)某班級已知6位同學(xué)中有1位同學(xué)被感染，需要通過化驗(yàn)血液來確定感染的同學(xué)，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性即為感染，呈陰性即未被感染。下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染同學(xué)為止；方案乙：先任取3個(gè)同學(xué)，將它們的血液混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性則表明感染同學(xué)為這3位中的1位，后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染同學(xué)為止；若結(jié)果呈陰性則在另外3位同學(xué)中逐個(gè)檢測；(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；(2)表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)，表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，假設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，請從經(jīng)濟(jì)角度考慮那種化驗(yàn)方案最佳。參考答案：（1）；（2）方案乙更佳分析：（1）分別求出時(shí)的值，及時(shí)的值，進(jìn)而可求出方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（2）確定的可能取值及相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，比較二者大小可知方案乙更佳.詳解：（1）設(shè)分別表示依方案甲需化驗(yàn)為第次；表示依方案乙需化驗(yàn)為第次；表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)等于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)．，（2）的可能取值為．的可能取值為．（次），∴（次），∴故方案乙更佳．點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的一般步驟：（1）確定各隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量各取值下的概率；（3）計(jì)算數(shù)學(xué)期望.20.已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為60，且a6為a1和a21的等比數(shù)列.（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn；（II）若數(shù)列{bn}滿足bn+1－bn=an（n∈N*），且b1=3，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：解析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則：

，解得，∴an=2n+3；Sn==n(n+4).（II）由bn+1－bn=an，∴bn－bn－1=an－1（n≥2且n∈N*）.當(dāng)n≥2時(shí)，bn=(bn－bn－1)+(bn－1－bn－2)+…+(b2－b1)+b1.

=an－1+an－2+…+a1+b1=(n－1)(n－1+4)+3=n(n+2).由于b1=3也滿足bn=n(n+2)（n≥2），∴bn=n(n+2)（n∈N*），∴==.∴Tn=

=(1+－－)=.21.已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=1，a2

+a3=6，求該數(shù)列前10項(xiàng)的和S10參考答案：略22.如圖甲，⊙O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，且∠CBA=∠DAB=．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)．根據(jù)圖乙解答下列各題：（Ⅰ）求證：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱錐C﹣BOD的體積；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】綜合題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）利用等邊三角形的性質(zhì)可得DE⊥AO，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到DE⊥平面ABC，進(jìn)而得出結(jié)論．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，利用轉(zhuǎn)換底面的方法，即可求三棱錐的體積；（Ⅲ）存在，G為劣弧的中點(diǎn)．連接OG，OF，F(xiàn)G，通過證明平面OFG∥平面ACD，即可得到結(jié)論．【解答】（Ⅰ）證明：在△AOD中，∵，OA=OD，∴△AOD為正三角形，又∵E為OA的中點(diǎn)，∴DE⊥AO…∵兩個(gè)半圓所在平面ACB與平面ADB互相垂直且其交線為AB，∴DE⊥平面ABC．

…又CB?平面ABC，∴CB⊥DE．

…5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面ABC，∴DE為三棱錐D﹣BOC的高．∵D為圓周上一點(diǎn)，且AB為直徑，∴，在△ABD中，由AD⊥BD，，AB=2，得AD=1，．

…∵，∴==．

…（Ⅲ）解：存在滿足題意的點(diǎn)G，G為劣弧的中點(diǎn)．

…證明如下：連接OG，OF，F(xiàn)G，易知OG⊥BD，又AD