河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

河南省新鄉(xiāng)市衛(wèi)輝第八中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），則的取值范圍是(

)A．（4，13） B．（8，9） C．（23，27） D．（13，15）參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】畫出圖象得出當(dāng)f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c時，0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，化簡3ab+=3+c，即可求解范圍解：函數(shù)，f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，∴0＜a＜1＜b＜c＜12，ab=1，∴3ab+=3+c，13＜3+c＜15，故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運用圖象得出a，b，c的范圍，關(guān)鍵是得出ab=1，代數(shù)式的化簡，不等式的運用，屬于中檔題2.已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合是“集合”.給出下列4個集合：①

②

③

④其中所有“集合”的序號是……………………（

）（A）②③．

（B）③④．

（C）①②④．

（D）①③④．參考答案：A略3.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為L，A、B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=．設(shè)線段AB的中點M在L上的投影為N，則的最大值是（

）A．B．1 C． D．參考答案：B【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故選：B．【點評】本題給出拋物線的弦AB對焦點F所張的角為直角，求AB中點M到準線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分別是邊AD、CD上的點，且滿足==λ，其中λ∈[0，1]，則?的取值范圍是（）A．[﹣3，1] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，3]參考答案：B【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】畫出圖形，建立直角坐標系，求出B，A，D的坐標，利用比例關(guān)系和向量的運算求出，的坐標，然后通過二次函數(shù)的單調(diào)性，求出數(shù)量積的范圍．【解答】解：建立如圖所示的以A為原點，AB，AD所在直線為x，y軸的直角坐標系，則B（2，0），A（0，0），D（，）．∵滿足==λ，λ∈[0，1]，=+=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）=（，）+（1﹣λ）（2，0）=（﹣2λ，）；=+=﹣+（1﹣λ）=（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）=（﹣﹣λ，（1﹣λ）），則?=（﹣2λ，）?（﹣﹣λ，（1﹣λ））=（﹣2λ）（﹣﹣λ）+?（1﹣λ）=λ2+λ﹣3=（λ+）2﹣，因為λ∈[0，1]，二次函數(shù)的對稱軸為：λ=﹣，則[0，1]為增區(qū)間，故當(dāng)λ∈[0，1]時，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故選：B．5.設(shè)是展開式的中間項，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.若函數(shù)f（x）=ex+x2﹣ax在區(qū)間（0，+∞）上存在減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，+∞） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（2，+∞）參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求導(dǎo)f′（x）=ex+2x﹣a，從而可得f′（x）=ex+2x﹣a＜0在區(qū)間（0，+∞）上有解，再由其單調(diào)性確定答案即可．【解答】解：∵f（x）=ex+x2﹣ax，∴f′（x）=ex+2x﹣a；∵函數(shù)f（x）=ex+x2﹣ax在區(qū)間（0，+∞）上存在減區(qū)間，∴f′（x）=ex+2x﹣a＜0在區(qū)間（0，+∞）上有解，又∵f′（x）=ex+2x﹣a在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（0）=e0+2?0﹣a=1﹣a＜0，∴a＞1；故選：B．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及存在性問題的應(yīng)用．7.函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍是

（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B8.若不等式≥對一切都成立，則的最小值為

(

)

參考答案：C9.若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)?shù)闹祻倪B續(xù)變化到時，動直線掃過的中的那部分區(qū)域的面積為

.參考答案：略10.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）

A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度

C.向左平移1個單位長度

D.向右平移1個單位長度

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲正弦函數(shù)shx=和雙曲余弦函數(shù)chx=與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類似的正確結(jié)論_________．參考答案：12.已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若與垂直，則m的值為．參考答案：﹣1【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】運用向量的數(shù)乘及加法運算求出向量，然后再由垂直向量的數(shù)量積為0列式求解m的值．【解答】解：由=（1，3），=（﹣2，m），所以，又由與垂直，所以1×（﹣3）+3×（2m+3）=0，即m=﹣1．故答案為﹣1．【點評】本題考查向量的數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù)有兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍為．參考答案：a≤﹣2【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由原函數(shù)有兩個極值，可知其導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為直線y=﹣ax﹣a與曲線y=2ex有兩個不同交點求解．【解答】解：由，得f′（x）=2ex+ax+a，要使有兩個極值，則方程2ex+ax+a=0有兩個不同的實數(shù)根，即2ex=﹣ax﹣a有兩個不同的實數(shù)根，令y=2ex，y=﹣ax﹣a，直線y=﹣a（x+1）過點（﹣1，0），設(shè)直線y=﹣a（x+1）與y=2ex的切點為（），則y′=，則切線方程為，代入（﹣1，0），得，解得：x0=0．∴切點為（0，2），則過（﹣1，0），（0，2）切線的斜率為k=，由﹣a≥2，得a≤﹣2．∴實數(shù)a的取值范圍為a≤﹣2．故答案為：a≤﹣2．14.已知命題P：[0,l],，命題q：“R，x2+4x+a=0”，若命題“p∧q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

；參考答案：

15.若直線的圓心，則的最小值是________________參考答案：1616.已知i是虛數(shù)單位，且滿足i2=﹣1，a∈R，復(fù)數(shù)z=（a﹣2i）（1+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M，則“a=1”是“點M在第四象限”的條件（選填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）參考答案：充分不必要【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】把復(fù)數(shù)的表示形式寫成標準形式，根據(jù)復(fù)數(shù)在第四象限，得到復(fù)數(shù)的坐標所滿足的條件，橫標大于零，縱標小于零，得到a的取值范圍，得到結(jié)果．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點M的坐標是（a+2，a﹣2），若點在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“點M在第四象限”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要．【點評】本題考查條件問題，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查各個象限的點的坐標特點，本題是一個基礎(chǔ)題．17.設(shè)數(shù)列滿足，，則

參考答案：13三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題12分）某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘．甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．設(shè)該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘.（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;（Ⅱ）該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?參考答案：解：（I）設(shè)該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，則，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為該二次元不等式組等價于做出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（II）設(shè)公司的收益為元，則目標函數(shù)為：考慮，將它變形為.這是斜率為，隨變化的一族平行直線，當(dāng)截距最大，即最大.又因為滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點時，截距最大，即最大.解方程組得,代入目標函數(shù)得.答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元.

19.設(shè)f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數(shù)p的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．由px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，能求出P的范圍．（II）法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，所以g（x）∈[2，2e]．原命題等價于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范圍．法2：原命題等價于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，由=，知F（x）是增函數(shù)，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范圍．【解答】解：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．…要使f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需f′（x）≥0，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，…從而P≥1．…（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是減函數(shù)，所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．當(dāng)0＜p＜1時，由x∈[1，e]，得x﹣，故，不合題意．…當(dāng)P≥1時，由（I）知f（x）在[1，e]連續(xù)遞增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，∴原命題等價于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，…由，解得p＞，綜上，p的取值范圍是（，+∞）．…解法2：原命題等價于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵=，∴F（x）是增函數(shù)，…∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，∴p的取值范圍是（，+∞）．…20.已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a﹣3）x．（1）求證：曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線過點（2，4）；（2）若g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，但不是最大值，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），f（1），求出求出方程，從而求出定點即可；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，不是最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】（1）證明：∵f'（x）=3x2﹣2ax+a，∴f'（1）=3﹣a，∵f（1）=a+1，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（a+1）=（3﹣a）（x﹣1），即a（x﹣2）=3x﹣y﹣2，令x=2，則y=4，故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線過定點（2，4）；（2）解：g'（x）=f'（x）+a﹣3=3x2﹣2ax+2a﹣3=（x﹣1）[3x﹣（2a﹣3）]，令g'（x）=0得x=1或x=，∵g（1）是g（x）在區(qū)間（0，3]上的極大值，∴＞1，∴a＞3，令g'（x）＞0，得x＜1或x＞，g（x）遞增；令g'（x）＜0，得1＜x＜，g（x）遞減，∵g（1）不是g（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值，∴g（x）在區(qū)間（0，3]上的最大值為g（3）=18﹣2a，∴g（3）=18﹣2a＞g（1）=2a﹣2，∴a＜5，又a＞3，∴3＜a＜5．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．21.（本