2021-2022學年安徽省亳州市臨湖中心中學高二數(shù)學理測試題含解析

2021-2022學年安徽省亳州市臨湖中心中學高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓+=1（a＞b＞0）與直線x+y=1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標原點．橢圓的離心率e滿足≤e≤，則橢圓長軸的取值范圍是(

)A．[，1] B．[，2] C．[，] D．[，]參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質．【專題】方程思想；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△＞0．由OP⊥OQ，可得=0，把根與系數(shù)的關系可得：a2+b2=2a2b2．由橢圓的離心率e滿足≤e≤，化為，即可得出．【解答】解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，化為：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，△=4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化為：a2+b2＞1．x1+x2=，x1x2=．∵OP⊥OQ，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）=2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴2×﹣+1=0．化為a2+b2=2a2b2．∴b2=．∵橢圓的離心率e滿足≤e≤，∴，∴，∴≤1﹣≤，化為5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．滿足△＞0．∴橢圓長軸的取值范圍是[，]．故選：D．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量垂直與數(shù)量積的關系、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．2.等比數(shù)列｛｝的各項均為正數(shù)，且=

（

）A、10

B、12

C、6

D、5參考答案：D略3.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉變，對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用．如圖所示的程序框圖的算法思路源于該著作中的“李白沽酒”問題，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的m的值為0，則輸入的a的值為（）A.

B.

C.

D.參考答案：C4.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的應用；數(shù)列的應用．【分析】先設長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，由題意可知：a+c=2b，由此可以導出該橢圓的離心率．【解答】解：設長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c，則2a+2c=2×2b，即a+c=2b?（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故選B．5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調遞增的函數(shù)是

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知點M（a，b）在圓O：x2+y2=1外，則直線ax+by=1與圓O的位置關系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定參考答案：B【考點】直線與圓的位置關系．【分析】由M在圓外，得到|OM|大于半徑，列出不等式，再利用點到直線的距離公式表示出圓心O到直線ax+by=1的距離d，根據(jù)列出的不等式判斷d與r的大小即可確定出直線與圓的位置關系．【解答】解：∵M（a，b）在圓x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圓O（0，0）到直線ax+by=1的距離d=＜1=r，則直線與圓的位置關系是相交．故選B7.已知空間四邊形ABCD中，O是空間中任意一點，點M在OA上，且OM=2MA，N為BC中點，則=（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B8.由數(shù)字2，3，4，5，6所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中5，6相鄰的奇數(shù)共有

（

）A．10個

B．14個

C．16個

D．18個參考答案：B9.在△ABC中，“A=60°”是“cosA=”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】判斷出若“cosA=”成立，則有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立則“cosA=”成立，利用充要條件的定義得到結論．【解答】解：在△ABC中，若“cosA=”成立，則有“A=60°成立；反之在△ABC中，若“A=60°成立則有“cosA=”成立，所以，“A=60°”是“”的充要條件．故選C．【點評】判斷一個命題是另一個命題的什么條件，應該先確定出條件，然后兩邊互推，利用充要條件的有關定義進行判斷．10.對于a∈R，直線（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒過定點P，則以P為圓心，為半徑的圓的方程是（）A．x2+y2+2x+4y=0 B．x2+y2+2x﹣4y=0C．x2+y2﹣2x+4y=0 D．x2+y2﹣2x﹣4y=0參考答案：B【考點】圓的一般方程；恒過定點的直線．【專題】計算題；直線與圓．【分析】聯(lián)解直線x+y﹣1=0與x+1=0的方程，可得直線（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒過定點P（﹣1，2）．由圓的標準式方程，寫出圓的方程再化成一般式方程，可得本題答案．【解答】解：聯(lián)解，可得x=﹣1，y=2∴直線（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒過定點P（﹣1，2）因此以P為圓心，為半徑的圓的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=5化成一般式可得x2+y2+2x﹣4y=0故選：B【點評】本題給出直線經(jīng)過定點P，求以P為圓心且為半徑的圓．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為．參考答案：10【考點】直線與圓的位置關系．【分析】根據(jù)圓的標準方程求出圓心M的坐標和半徑，最長的弦即圓的直徑，故AC的長為2，最短的弦BD和ME垂直，且經(jīng)過點E，由弦長公式求出BD的值，再由ABCD的面積為求出結果．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣6y=0即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10表示以M（1，3）為圓心，以為半徑的圓．由圓的弦的性質可得，最長的弦即圓的直徑，AC的長為2．∵點E（0，1），∴ME==．弦長BD最短時，弦BD和ME垂直，且經(jīng)過點E，此時，BD=2=2=2．故四邊形ABCD的面積為=10，故答案為10．12.如圖，在△ABC中，,,，則

。參考答案：13.若直線不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是__________。參考答案：14.設平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和拋物線的準線所圍成的三角形（含邊界與內部）．若點，則目標函數(shù)的最大值與最小值之和為

．參考答案：3

略15.如圖，已知可行域為及其內部，若目標函數(shù)當且僅當在點A處取得最大值，則k的取值范圍是

.參考答案：16.設，，，則的大小關系為_▲_.參考答案：17.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為

（用數(shù)字作答）。參考答案：96略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1，2，3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同，隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三個數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)）參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）所有的可能結果（a，b，c）共有3×3×3=27種，一一列舉即可，而滿足a+b=c的（a，b，c）有3個，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能結果（a，b，c）共有3×3×3種，用列舉法求得滿足“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共計三個，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c完全相同”的概率，再用1減去此概率，即得所求【解答】解：（Ⅰ）由題意，（a，b，c）所有的可能為：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27種．

設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A，則事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3種，所以P（A）==．

因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為．（Ⅱ）設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3種．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為．【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應用，屬于中檔題19.已知a＞0，求證：﹣≥a+﹣2．參考答案：【考點】不等式的證明．【分析】用分析法，證明不等式成立的充分條件成立，要證原命題，只要證+2≥a++，即只要證（+2）2≥（a++）2，進而展開化簡，可得只要證明：（a﹣）2≥0，易得證明，【解答】證明：要證﹣≥a+﹣2，只要證+2≥a++．∵a＞0，故只要證（+2）2≥（a++）2，即a2++4+4≥a2+2++2（a+）+2，從而只要證

2≥（a+），只要證4（a2+）≥2（a2+2+），即a2+≥2，即：（a﹣）2≥0，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．20.已知函數(shù)在區(qū)間(－1,2)上為減函數(shù).（1）求a的取值范圍；（2）當時，方程有幾個不同的實根？說明理由.參考答案：（1），因為在區(qū)間上為減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，所以即解之得，所以的取值范圍是（2）因為，所以令，得或，隨的變化情況如下表：畫出函數(shù)的大致圖象（略）易知方程有3個不同的實根.某市一個社區(qū)微信群“步行者”有成員100人，其中男性70人，女性30人，現(xiàn)統(tǒng)計他們平均每天步行的時間，得到頻率分布直方圖，如圖所示：若規(guī)定平均每天步行時間不少于2小時的成員為“步行健將”，低于2小時的成員為“非步行健將”.已知“步行健將”中女性占.（1）填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否為‘步行健將’與性別有關”；

步行健將非步行健將總計男性

女性

總計

（2）現(xiàn)從“步行健將”中隨機選派2人參加全市業(yè)余步行比賽，求2人中男性的人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.參考公式：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】【解析】（1）據(jù)頻率分布直方圖，“步行健將”的人數(shù)為，其中女性有7人，填寫表格如下：故故在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下不能認為“是否為‘步行健將’與性別有關”.（2）依題意知的可能取值為0,1,2，所以分布列為故.21.(12分)已知c＞0，且c≠1，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx＋1在上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍．參考答案：②當p假，q真時，＝.綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是.22.（14分）（2013?陜西）設Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．（Ⅰ）若{an}為等差數(shù)列，推導Sn的計算公式；（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且對所有正整數(shù)n，有Sn=．判斷{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論．參考答案：【考點】等差數(shù)列的前n項和；等比關系的確定．

【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）設等差數(shù)列的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d，可得a1+an=a2+an﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；（II）利用an+1=Sn+1﹣Sn即可得出an+1，進而得到an，利用等比數(shù)列