課程下冊第十章知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

期末考試知識點(diǎn)復(fù)習(xí)空間解析幾何多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的積分學(xué)（二重積分、三重積分）曲線積分曲面積分級數(shù)第六章、空間解析幾何（一）向量代數(shù)向量的坐標(biāo)表示式：

a

=

{ax

,

ay

,

az

}向量：模（大?。┓较颍ǚ较蛴嘞遥┻\(yùn)算：數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)向量積(叉積、外積)混合積（二）空間解析幾何1、空間直線2、平面3、空間曲線4、曲面要求：（1）會(huì)求空間直線方程、平面方程（2）認(rèn)識空間曲線方程、曲面方程第七章、多元函數(shù)微分學(xué)基本概念：1、二元函數(shù)的極限2、二元函數(shù)的連續(xù)性3、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)4、二元函數(shù)的全微分5、梯度和方向?qū)?shù)函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)要求：（1）掌握基本定義清楚連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性之間的關(guān)系會(huì)求一階及二階偏導(dǎo)數(shù)、梯度、方向?qū)?shù)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系基本求導(dǎo)方法：（重要）1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2、全微分形式不變性3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則關(guān)鍵：1、清楚復(fù)合函數(shù)函數(shù)復(fù)合的層次2、清楚隱函數(shù)確定的變量之間函數(shù)關(guān)系基本應(yīng)用：（重要）1、微分法在幾何上的應(yīng)用(1)

空間曲線的切線與法平面（2）

曲面的切平面與法線2、二元函數(shù)的極值二元函數(shù)取得極值的條件（必要條件、充分條件條件極值（Lagrange乘數(shù)法）第八章、重積分（１）直角坐標(biāo)系下重點(diǎn)二重積分的計(jì)算（化累次積分：選坐標(biāo)系、積分次序）［X－型］

［Y－型］積分次序:由積分區(qū)域和被積函數(shù)決定（２）極坐標(biāo)系下適用于扇形、環(huán)形、圓形區(qū)域二重積分的應(yīng)用（1）體積(2)曲面積(3)重心(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(5)引力三重積分的計(jì)算（選取坐標(biāo)系，化累次積分）(１)

直角坐標(biāo)先一后二：坐標(biāo)面投影法，曲頂柱體先二后一：軸截面法，(２)

柱面坐標(biāo)(３)

球面坐標(biāo)尖頂體注意不同坐標(biāo)系下的面積元表達(dá)式三重積分的應(yīng)用(１)

重心

(２)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第九章曲線積分曲面積分兩類曲線積分的計(jì)算兩類曲面積分的計(jì)算三個(gè)重要公式，Green，Gauss，Stokes三個(gè)概念：梯度、散度、旋度曲線積分的計(jì)算1.基本方法曲線積分第一類(對弧長第二類(對坐標(biāo)))轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程(1)統(tǒng)一積分變量用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程第一類:（2）確定積分上下限第二類:下小上大下始上終基本技巧第一類曲線積分：利用對稱性簡化計(jì)算;第二類曲線積分利用格林公式(注意加輔助線的技巧);利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;利用兩類曲線積分的關(guān)系.Lbaf

(x,

y)

dl

=f

[x

(t

)

,

y

(t

)]

x￠2

(t

)

+

y￠2

(t

)

dt

2(

x)dx.(2)

L

:

y

=y

(x)

a

￡

x

￡

b.bL

a

￠f

(

x,

y)ds

=

f

[

x,y

(

x)]

1

+y(a

<

b)(3)

L

:

x

=

j(

y)

c

￡

y

￡

d.dL

c

f

(

x,

y)ds

=f

[j

(

y),

y]

1

+

j

￠2

(

y)dy.(c

<

d

)第一類曲線積分的計(jì)算：（1）若L為平面曲線，其參數(shù)方程為L

:

r

=

r

(q

)

(a

￡

q

￡

b

),(4).如果方程為極坐標(biāo)形式則L

f

(x,

y)

dlbaf

(r(q)

cosq

,

r(q)

sinq

)=22q)

dq￠r

(q)

+

r

((a

￡

t

￡

b

)（5）空間曲線:G

:

x

=

j

(t

),

y

=y

(t

),

z

=

w

(t

).baG=f

[j(t),y

(t),w

(t)]

j￠2

(t)

+y

￠2

(t)

+w

￠2

(t)d

(a

<

b)

f

(x,

y,

z)dsba￠

￠={P[j(t),y

(t)]j

(t)

+

Q[j(t),y

(t)]y

(t)}dt第二類曲線積分的計(jì)算：直接計(jì)算：（1）L:x=j(t),y

=y

(t),起點(diǎn)t

=a

,終點(diǎn)，t

=b.L

P(x,

y)dx

+

Q(x,

y)dy(2)

L

:y

=y(x)

x起點(diǎn)為a，終點(diǎn)為b.bL

a

Pdx

+

Qdy

=

{P[

x,

y(

x)]

+

Q[

x,

y(

x)]y￠(

x)}dx.則(3)

L

:

x

=

x(

y)y起點(diǎn)為c，終點(diǎn)為d.dcL{

P[

x(

y),

y]x

(

y)

+

Q[

x(

y),

y]}dy.￠Pdx

+

Qdy

=則x

=

j(t)z

=

w

(t)(4)

推廣

G

:

y

=y

(t)

,

t起點(diǎn)a

,終點(diǎn)b.a+

Q[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]y

￠(t

)+

R[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]w

￠(t

)}dt{P[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]j

￠(t

)=G

Pdx

+

Qdy

+

Rdzb間接計(jì)算：(1)Green公式LDPdx

+

Qdy?Q

?P?x

?y-

)dxdy

=(其中L是D

的取正向的邊界曲線.便于記憶形式:?

?DP

Q

?x?y

dxdy

=

L

Pdx

+

Qdy.應(yīng)用時(shí)注意：(1)封閉的曲線正方向有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件在單連通開區(qū)域D

上P

(

x,

y

),

Q(

x,

y

)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題成立.等價(jià)命題在D內(nèi)L

Pdx

+Qdy與路徑無關(guān)C

Pdx

+

Qdy

=

0,閉曲線C

D在D內(nèi)存在U

(x,y)使du

=Pdx

+Qdy在D內(nèi),?P

=?Q?y

?x（2）Green公式的應(yīng)用yozx（3）、斯托克斯(Stokes)公式GSnd

y

d

zd

z

d

xd

x

d

y????x?y?zXYZ=

X

d

x

+Y

d

y

+

Z

d

zGd

Scosacos

bcos

l????x?y?zXYZ=

曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分

第一類(對面積

第二類(對坐標(biāo)))轉(zhuǎn)化二重積分(2)積分元素投影(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程

第一類:始終非負(fù)

第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面2.基本技巧第一類曲面積分的計(jì)算利用對稱性簡化計(jì)算第二類曲面積分的計(jì)算

注意公式使用條件利用高斯公式

添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化第一類曲面積分的計(jì)算：=

DxyS

f

(x,

y,

z)

dSf

(x,

y,z(x,

y))1

+

zx

2

(x,

y)

+

zy

2

(x,

y)dxd

ySf

(x,

y,

z)

dS

=Dyzf

(x(

y,

z)

,

y,

z)1+

x￠2

+

x￠2

d

y

d

zy

zSf

(x,

y,

z)

dS

=Dyzf

(x,

y(x,

z),

z)1+

y￠2

+

y￠2

d

x

d

zx

zDxySDxy

Z

(x,

y,

z)dxdy

=

-

R[x,

y,

z(x,

y)]dxdySS取下側(cè)：DyzS

X

(x,

y,

z)dydz

=

–

X

[x(

y,

z),

y,

z]dydzDzxSY

(x,

y,

z)dzdx

=

–Y[x,

y(z,

x),

z]dzdx第二類曲面積分的計(jì)算：直接計(jì)算：S取上側(cè)：

Z

(x,

y,

z)dxdy

=

+

R[x,

y,

z(x,

y)]dxdy兩類曲面積分之間的聯(lián)系

Xdydz

+Ydzdx

+

ZdxdyS=

(

X

cosa

+Y

cos

b

+

Z

cos

g)dSS間接計(jì)算：Gauss公式：W

S使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:X

,Y

,Z

是對什么變量求偏導(dǎo)數(shù);是否滿足高斯公式的條件;S是取閉曲面的外側(cè).?x

?y

?z

(

?X

+

?Y

+

?Z

)dv

=

Xdydz

+Ydzdx

+

Zdxdy三個(gè)重要概念梯度散度旋度div

v

=+?x

?y

?zX

Y

Z?X

?Y

+

??x

?y

?z

i

j

k?

?

?rotA

=?xZ

?y

?z(

?u

,

?u

,

?u

)grad

(u(x,

y,

z))

=曲線積分曲面積分的應(yīng)用物體的質(zhì)量、重心（質(zhì)心），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對位于原點(diǎn)的單位質(zhì)點(diǎn)的引力（第一類曲線積分、第一類曲面積分）變力沿曲線做功：第二類曲線積分流體在速度場作用下的流量問題：第二類曲面積分?jǐn)?shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第十章級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性正項(xiàng)級數(shù)判別法nfi

￥必要條件

lim

un

=

0不滿足發(fā)

散滿足nfi

￥un比值判別法lim

un+1

=nfi

￥根值判別法

lim

n

un

=

rr

<1收

斂r

=1不定其它法判別部分和極限比較判別法積分判別法r

>