二章節(jié)矩陣及其運算課件

第二章矩陣及其運算矩陣概念矩陣運算特殊矩陣逆矩陣分塊矩陣初等矩陣矩陣的秩矩陣的基本概念一.歷史“矩陣

(matrix)”這個詞首先是英國數(shù)學家西爾維斯特使用的.他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式

(determinant)而發(fā)明了這個述語.JamesJosephSylvester(1814.9.3~1897.3.15)

英國數(shù)學家凱萊

被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者.他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念,并發(fā)表了一系列關于這個題目的文章.Arthur

Cayley

(1821.8.16~1895.1.26)

例1.某廠家向A,B,C三個商場發(fā)送四款產(chǎn)品.2001801901001201001501601401801501502050302516201616

甲乙丙丁單價重量二.實例例2.四個城市間的單向航線如圖所示.1423若用aij表示從i市到j市航線的條數(shù),則上圖信息可表示為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即0111100001001010三.定義1.mn矩陣

元素(element/entry)aij(1i

m,1

j

n)a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn注:今后除非特別說明,我們所考慮的矩陣都是實矩陣.元素都是實數(shù)——實矩陣(real~)

元素都是復數(shù)——復矩陣(complex~)

行(row)列(column)3.向量(vector)行向量(columnvector)[a1,a2,…,an]列向量(rowvector)a1a2…an第i分量

(ithcomponent)ai(i=1,…,n)n階方陣:nn矩陣2.方陣(squarematrix)見例2.一個11的矩陣就是一個數(shù)

n–維(n–dimensional)

4.同型(same-sized):行數(shù)相等,列數(shù)也相等5.兩個矩陣相等(equal)

205030162016與a

b

c123同型205030162016

與不同型201650203016A=[aij]mn與B=[bij]mn相等:對1im,1jn,aij

=bij都成立記為A=B.大前提:同型

定義1

設有兩個矩陣和，那么矩陣與矩陣的和記作規(guī)定為只有當兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算1.矩陣的加法一、矩陣運算運算規(guī)律

（設，，都是矩陣）其中，稱為矩陣的負矩陣.（1）（2）（3）由此可規(guī)定矩陣的減法為定義2

數(shù)與矩陣的乘積記作或2.

數(shù)與矩陣相乘規(guī)定為運算規(guī)律(設，都是矩陣，是數(shù))（1）（2）（3）（4）（5）當且僅當或規(guī)定:矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣3.矩陣的乘法定義3

設，其中并把此乘積記作矩陣的第行第列的元就是的第行與的第列的乘積注意：只有當?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，乘積才是有意義的；并且的行數(shù)等于第一個矩陣的行數(shù)，的列數(shù)等于第二個矩陣的列數(shù)．

例1求解顯然求，并問是否有意義？解顯然無意義

例2例3求解顯然總之，一般說來，不過，在有些情況下，也可能有例如：即矩陣的乘法不滿足交換律．不難驗證：一般地，如果矩陣，的乘積與次序無關即，稱矩陣，可交換結(jié)合律和分配律：（1）（2）（3）上式稱為從變量，，，到變量，，，的線性變換.的線性函數(shù)，即例4

設變量均可表示成變量其中為常數(shù)令利用矩陣的乘法，則上述線性變換可寫成矩陣形式:利用矩陣的乘法和矩陣乘法的結(jié)合律，可以方便地連續(xù)施行線性變換．例5

已知兩個線性變換求到的線性變換.解

上述兩個線性變換的系數(shù)矩陣分別為記則上述兩個線性變換可分別寫成為:于是即即這就是由到的線性變換.由于矩陣的乘法適合結(jié)合律，所以方陣的冪滿足：設是階方陣，定義顯然，就是個連乘．4.方陣的冪其中為正整數(shù)只有是方陣時，它的冪才有意義．（1）（2）由于矩陣的乘法不滿足交換律，所以對于同階方陣和，一般說來但是，如果方陣與可交換，即則仍為一個階方陣，稱為方陣的多項式n階單位矩陣設為次多項式，為階方陣，則

其中例6

設求解因為用數(shù)學歸納法，設則故稱為階單位矩陣簡記作形如的階方陣記作二.特殊矩陣單位矩陣特點：從左上角到右下角的直線（即主對角線）上的元素都是1，其他元素都是0，即單位矩陣的第行第列的元素結(jié)論：的階方陣稱為對角矩陣形如記作特點：主對角線上以外的元素全是零．對角矩陣性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）其中為正整數(shù).特別地，主對角線上元素都相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣即記作設為任一階方陣，為任一階數(shù)量矩陣即階數(shù)量矩陣與任一階方陣相乘可交換．則當時，數(shù)量矩陣即為單位矩陣．

例1

設計算（n為正整數(shù)）解其中顯然因數(shù)量矩陣與可交換，所以利用二項式定理得到形如的矩陣稱為上三角矩陣特點：主對角線的左下方的元素全為零．3.三角矩陣其中*表示主對角線上方的元素，即兩個同階的上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣直接驗證可知

類似地，我們同樣可以定義下三角矩陣，也就是：主對角線右上方的元素全為零矩陣，它具有與上三角矩陣類似性質(zhì)．例如：性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）4.轉(zhuǎn)置矩陣證

性質(zhì)（1）－（3）是顯然的，這里僅給 出（4）的證明.設記于是按矩陣乘法的定義，有而的第行為的第列為所以即亦即由（4），根據(jù)數(shù)學歸納法可證因此那么稱為對稱矩陣；則稱為反對稱矩陣．設為階方陣，如果特點：對稱矩陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等即有反對稱矩陣有該矩陣主對角線上的元素全為0.如果對稱矩陣和反對稱矩陣反對稱矩陣對稱矩陣形式：例2是對稱矩陣.證明

因是階矩陣，且故是階對稱矩陣．同理，是階對稱矩陣．是一個矩陣，則和都設例3

設列矩陣滿足為階單位矩陣，證明是對稱矩陣，且證

首先請注意是一階方陣，即一個數(shù)，所以是對稱矩陣.是階方陣而基本性質(zhì)：（1）若都是對稱矩陣，則對稱矩陣（其中為任意常數(shù)）.都是（2）若都是對稱矩陣，則為對稱矩陣的充要條件是定理

設，是兩個階方陣，則推論設均為階方陣，則6.方陣乘積的行列式稱為矩陣的伴隨矩陣．試證（2）當時，例4

階方陣的各個元素的代數(shù)余子式所構成的如下的矩陣（1）證

（1）設，則于是類似地，（2）由（1）且根據(jù)本節(jié)定理1可知由于，故

在數(shù)的乘法中，如果常數(shù)，則存在的逆：，使這使得求解一元線性方程變得非常簡單對階方陣，是否也存在著“逆”即是否存在一個階方陣使三.逆矩陣如果有一個階方陣定義

對于階方陣則稱是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣如果方陣可逆，則它的逆矩陣是唯一的使注意：在定義中，、的地位是平等的即如果（1）成立，則也可逆，并且例1

設且求解因為所以定理方陣可逆的充分必要條件是且當可逆時，其中為矩陣的伴隨矩陣.注：當時，稱為非奇異矩陣，否則稱為奇異矩陣．可逆矩陣就是非奇異矩陣．同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法．因為可逆，即存在，故所以由本章第二節(jié)例知，因為故有所以，按逆矩陣的定義，即有證

必要性.使充分性.例2

設，試問：滿足什么條件時，方陣可逆？可逆.這時解當時，當可逆時，求則（1）若階方陣可逆，則也可逆且（2）若可逆，數(shù)，則可逆且推論

若階方陣、滿足運算規(guī)律（3）若、為同階方陣且均可逆，則亦可逆，且（4）若可逆，則也可逆，且（5）若可逆，且，則例3

求方陣的逆矩陣．解所以存在，且而類似可得從而例4

設為4階方陣，，求的值.解

因為，所以可逆，且所以例5

設均為階可逆矩陣，證明證（1）由可知，（1）（2）為可逆矩陣.

又所以（2）由從而可得 將矩陣用若干條橫線和豎線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．1.概念例如：對于矩陣分成子塊的分法很多上面只舉出了兩種分塊形式四、分塊矩陣即、、為的子塊，而形式上成為以這些子塊為元素的分塊矩陣.可記為對上述第一種分法（1）加法：設同型矩陣與有相同的分塊法2.分塊矩陣的運算與也是同型陣則（2）數(shù)乘用數(shù)乘一個分塊矩陣時，等于用去乘矩陣的每一個塊，即

設為矩陣，為矩陣，分塊成

其中，，，的列數(shù)分別等于,,,的行數(shù)（3）分塊矩陣的乘法其中則（4）分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設矩陣A可寫成分塊矩陣則矩陣的轉(zhuǎn)量陣為

（5）分塊對角矩陣

設為階方陣，若的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其它子塊都是零矩陣，且非零子塊都是方陣，即

其中都是方陣，則稱為分塊對角矩陣．

設其中，是同階的子方塊等于多少呢？例1

設矩陣

求及解

令則所以由于例2

設階方陣與階方陣都是可逆矩陣，求解

令有于是解此得所以上式可以作為公式應用.如等矩陣按行分塊和按列分塊

矩陣有行，稱為矩陣的個行向量．將第行記作

這里列向量（列矩陣）常用小寫黑體字母表示而行向量（行矩陣）則用列向量的轉(zhuǎn)置表示如等注：則矩陣

可記為

同理也可以按列分塊，此時對于線性方程組

此方程組可記作

若將系數(shù)矩陣按行分成塊，則線性方程組這就相當于把每個線性方程記作

可記成對于矩陣與矩陣的乘積，若把按行分成塊，把按列分成塊，便有其中另外，若記則初等矩陣初等矩陣定義

由n

階單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為n

階初等矩陣．

三種初等變換對應著三種初等矩陣．

（1）對調(diào)階單位矩陣的第兩行（或兩列），得到的初等矩陣記為（2）用數(shù)乘的第行（或第列）得到的矩陣，記為（3）用數(shù)乘的第行加到第行上（或以乘的第列加到第列上）得到的矩陣，記為由于所以定理1（初等變換和初等矩陣的關系）

設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在矩陣的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在矩陣的右邊乘以相應的階初等矩陣，即

證

將矩陣表示成按行分塊的分塊矩陣其中于是其結(jié)果相當于矩陣進行一次第一種初等行變換，即交換矩陣的第兩行.其結(jié)果相當于矩陣進行一次第二種初等行又變換，即用數(shù)乘矩陣的第行各元素.又其結(jié)果相當于矩陣進行一次第三種初等行變換，即用數(shù)乘矩陣的第行加到第元素.利用初等變換求逆矩陣

定理2

對于任一矩陣，一定存在有限個階初等矩陣和階初等方陣使

標準形

定理3

階矩陣可逆的充要條件是存在有限個階初等矩陣即使得可逆矩陣一定與單位矩陣等價證

必要性由定理2，對階矩陣存在階初等矩陣若，則的對角線上必有零元素使下面證明：如果矩陣可逆，則在（1）的兩端取行列式，并利用方陣的行列式性質(zhì)，有于是，仍可逆，故可逆.中必至少有一個是零，這與均為可逆矩陣相矛盾.充分性：設因初等矩陣可逆，有限個可逆矩陣的乘積故定理4

設為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣推論

矩陣與等價的充要條件使是存在階可逆矩陣和階可逆矩陣使例1

設求解所以矩陣的初等行變換還可用于求解矩陣方程顯然而且可寫成有限個初等方陣的乘積，即

其中為可逆矩陣從而當把變成時，就變成例2

解矩陣方程

因此，若對矩陣施行初等行變換解故矩陣的秩矩陣的秩定義1

在矩陣中任選行列

其交叉處的個元素按原來的位置構成的階行列式稱為矩陣的階子式其中不為零的子式稱為非零子式．矩陣的階子式共有個例1選取第一行和第三行，第二列和第三列，其交叉處的元素按原來位置構成的二階行列式

就是矩陣的一個二階子式．

定義2

如果在矩陣中有一個階非零子式，且所有的