2022年福建省廈門(mén)市杏南中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

2022年福建省廈門(mén)市杏南中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知M是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若|MF|=p，K是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則∠MKF=（）A．45° B．30° C．15° D．60°參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)點(diǎn)M（，p），K（﹣，0），則直線KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由題意，|MF|=p，則設(shè)點(diǎn)M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故選A．2.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的最大值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.“”是“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計(jì)算題．【分析】當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得圖象充分；而當(dāng)圖象重合時(shí)可得，k∈Z，由充要條件的定義可得．【解答】解：當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)g（x）=sin（x+）=cosx，故圖象重合；當(dāng)“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”時(shí)，可取，k∈Z即可，故“”是“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”的充分不必要條件．故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查充要條件的判斷，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．4.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

（

）

A．

B．1

C．

D．參考答案：C5.在一個(gè)圓錐內(nèi)有一個(gè)半徑為R的半球，其底面與圓錐的底面重合，且與圓錐的側(cè)面相切，若該圓錐體積的最小值為，則R=（

）A.1 B. C.2 D.參考答案：B【分析】畫(huà)出三視圖及正視圖，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為,得，進(jìn)一步得圓錐體積，求導(dǎo)求最值即可求解【詳解】幾何體如圖一所示：其正視圖如圖二所示設(shè)圓錐的底面圓心為O,半徑為，高為,則OA=,又圓錐體積令，則當(dāng)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在取得最小值，此時(shí)故選：B【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查空間想象和轉(zhuǎn)化化歸能力，是難題6.已知雙曲線C：過(guò)點(diǎn)，且實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．

B．C.

D．參考答案：C由雙曲線：過(guò)點(diǎn)，且實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形，可得：，解得：，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是故選：C

7.歐拉公式eix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占用非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e﹣i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由歐拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)，即可得出結(jié)論．【解答】解：由歐拉公式eix=cosx+isinx，可得e﹣i=cos（﹣1）+isin（﹣1），∵cos（﹣1）＞0，sin（﹣1）＜0，∴e﹣i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第四象限．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查歐拉公式，考查三角函數(shù)知識(shí)，比較基礎(chǔ)．8.復(fù)數(shù)的虛部是（）A．B．C．D．參考答案：B

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，得到=+i，再由復(fù)數(shù)的概念能求出復(fù)數(shù)的虛部．解答：解：===+i，∴復(fù)數(shù)的虛部是．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．9.一個(gè)算法的程序框圖如圖，若該程序輸出結(jié)果為6，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是(

) A．（12，20] B．（20，30] C．（30，42] D．（12，42]參考答案：B考點(diǎn)：程序框圖．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：由程序框圖依次求得程序運(yùn)行的結(jié)果，再根據(jù)輸出的k值判斷運(yùn)行的次數(shù)，從而求出輸出的S值．解答： 解：由程序框圖知第一次運(yùn)行第一次運(yùn)行S=2，i=2；第二次運(yùn)行S=0+2+4，i=3；第三次運(yùn)行S=0+2+4+6，i=4；第四次運(yùn)行S=0+2+4+6+8，i=5；第五次運(yùn)行S=0+2+4+6+8+10，i=6；∵輸出i=6，∴程序運(yùn)行了5次，此時(shí)S=0+2+4+6+8+10=30，∴m的取值范圍為20＜m≤30．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)程序運(yùn)行的結(jié)果判斷程序運(yùn)行的次數(shù)是關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（

）A．

B．

C．1

D．2參考答案：B由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長(zhǎng)為2cm，高為1cm的四棱錐，如圖，【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則_______．參考答案：略12.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x2，當(dāng)x＞1時(shí)，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有5個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為

．參考答案：13.如圖，圓O：內(nèi)的正弦曲線與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分）隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為

．參考答案：14.己知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為．參考答案：考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得的最大值．解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值為．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的弦AB對(duì)焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．15.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，，過(guò)的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為

．參考答案：10根據(jù)雙曲線得根據(jù)雙曲線的定義相加得由題意可知,當(dāng)是雙曲線通徑時(shí)最小即有即有

16.已知數(shù)列滿足（）且，則

．參考答案：201217.4100被9除所得的余數(shù)是.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，，平面．．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．參考答案：19.(12分)在數(shù)列中，且（1）求c的值

（2）求的通項(xiàng)公式。參考答案：解析：(1)由.

2分因?yàn)樗?/p>

解得c=2

6分（2）。

10分把上面n-1個(gè)式子相加得

所以

12分20.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)，的值域?yàn)榧螧.（1）求集合A，B；

（2）若集合A，B滿足,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）A=,

==，

B.

（Ⅱ）∵，∴．∴或，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|或}．略21.(本小題滿分12分）已知函數(shù)(1).求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;(2).若x1≠x2滿足f(x1)=f(x2),求證：x1＋x2＜0參考答案：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則的增區(qū)間是，減區(qū)間是.所以在處取得極小值，無(wú)極大值.

………6分（2）∵且