數(shù)學(xué)建模2022319長春

解決問題與模型化方法研究

吉林省教育學(xué)院何鳳波1目錄：引言：建模解析一、畫圖方法二、列表方法三、猜想與嘗試方法四、從特例入手尋找規(guī)律方法五、其他方法策略引言數(shù)學(xué)建模3數(shù)學(xué)建模的涵義數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實(shí)際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃。模型有別于一般的數(shù)學(xué)算式，也有別于通常的數(shù)學(xué)應(yīng)用，模型是用來解決一類具有實(shí)際背景的問題的數(shù)學(xué)方法。（史寧中）4應(yīng)用數(shù)學(xué)知識從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）。56模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。7建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題；用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。8這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。9

小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及到的數(shù)學(xué)模型主要有：公式模型、方程模型、集合模型、函數(shù)模型。公式：S=AB（長方形面積=長X寬）方程：A+X=B（原來有一些物體，增加3個(gè)是6個(gè)，求原數(shù)，3+X=6）

集合模型：五（1）班每人參加了一個(gè)或兩個(gè)課外小組，參加數(shù)學(xué)組的有10人，參加微機(jī)組的有20人，其中有5人同時(shí)參加這兩個(gè)小組，求五（1）班一共有多少人？模型：20+10-5=25（人）有交集情況的通用算式。A+B-AnB=C10函數(shù)模型：正比例：Y=KX（總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量）11建模過程例：有10名選手進(jìn)行乒乓球比賽，如果每2名選手之間都進(jìn)行一場比賽，一共比賽多少場？12分析：10人比賽很復(fù)雜，可先從2人、3人比賽開始研究。13參加比賽人數(shù)示意圖各點(diǎn)之間連線數(shù)比賽場數(shù)21131+2=33（加了一個(gè)點(diǎn)）41+2+3=66（又加了一個(gè)點(diǎn)）……………………14有10名選手進(jìn)行乒乓球比賽，比賽多少場？1+2+3+……+9=45（場）15建模過程現(xiàn)實(shí)問題檢驗(yàn)實(shí)際問題的解數(shù)學(xué)問題的解現(xiàn)實(shí)模型數(shù)學(xué)模型16現(xiàn)實(shí)問題：如前面的比賽場次現(xiàn)實(shí)模型：2人1場3人2場4人3場17數(shù)學(xué)模型畫圖代數(shù)式

1+2=3……發(fā)現(xiàn)尋找規(guī)律求解1+2+3+……+9=4518比賽場次的數(shù)學(xué)模型：有N個(gè)人參加比賽，每2人比賽一場，比賽場次：S=1+2+3+4+……+（N-1）現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建模過程是很復(fù)雜的，如天氣預(yù)報(bào)、臺風(fēng)預(yù)報(bào)等。我們以上是簡單的例子，一般地說，小學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題，多半是用了模型化方法。20解決問題不是單純地解題，而是包括提出問題，制定計(jì)劃、建立模型、尋找方法、實(shí)施方案、直到最后解決問題的一系列環(huán)節(jié)。加拿大教材提出了解決問題的10種方法策略。212223下面分別作以解釋：制訂解題計(jì)劃：在頭腦中或在紙上簡單想出或?qū)懗鼋鉀Q問題的計(jì)劃，如先做什么，再做什么。猜想與嘗試：先猜一猜，再嘗試驗(yàn)證。使用或?qū)ふ乙?guī)律：根據(jù)題目中所給的信息，找出題目中隱含的規(guī)律并用之解題。24動(dòng)手操作：利用學(xué)具等操作進(jìn)行解題。列表：把題目中的信息和自己的分析、推算等呈現(xiàn)在表格里，從而找出問題答案。反推：從后往前想。25畫圖：通過畫示意圖、線段圖等分析和解決問題。推理：從已知的信息出發(fā)，運(yùn)用用演繹的方式尋找結(jié)論。26簡化（從特例入手）：就是把復(fù)雜的問題簡單化，可以把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，也可以從特殊化入手解決問題。靈機(jī)一動(dòng)（頭腦風(fēng)暴）：就是憑借直覺想出問題的答案。27我們把具有普遍意義的方法稱之為策略。學(xué)生在解決問題時(shí)，總是有意無意地使用一定的策略。28我們的目的是通過教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)一些基本的解決問題策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成自己的策略。29我們主要對如下最常用的幾種建模策略進(jìn)行討論。畫圖列表猜想與嘗試從特例入手尋找規(guī)律30一、畫圖簡單說就是用畫圖解決數(shù)學(xué)問題和策略。這種策略應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生常用的方法，靈活運(yùn)用畫圖策略，有助于提高解決問題能力。311、用畫圖表示數(shù)量關(guān)系例：第十屆動(dòng)物車展中第一天的成交量是65輛，第二天的成交量比第一天增加了1/5，第二天的成交量是多少？第一天65輛

比第一天多1/5第二天65×1/5=13輛

65+13=78（輛）32也可以畫示意圖。第一天65輛

13輛

比第一天多1/5第二天

65+13=78（輛）模型：第一天成交量+增量=第二天成交量A+(B-A)=B33例子沙麗存款額是蒂拉的3倍，軍威存款額比沙麗少20元，如果3人共存645元，軍威存款額是多少？34沙麗蒂拉645元軍威20沙麗蒂拉665元軍威357個(gè)單位645+20=6651個(gè)單位665/7=953個(gè)單位95*3=285所以軍威存款額：285-20=26536設(shè)蒂拉存款額為X元。X+3X+3X-20=645（方程思想）X=95模型：A+B+C=總和372、用畫圖表示搭配問題2種主食：米飯、饅頭：3種副食：白菜、豆腐、芹菜一菜一飯可有多少種不同的搭配？

米飯、饅頭

白菜、豆腐、芹菜模型：元素有序組合（A1A2A3B1B2B3）3、數(shù)概念的圖形表示。個(gè)十百千394、數(shù)運(yùn)算的圖示表示。1/2×1/3=1/6分?jǐn)?shù)乘法模型：A/B×C/D=AC/BD405、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的圖形表示：星期天小芳早晨從家出發(fā)，到商場購物，之后返回家里。用圖示描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

離家的距離

時(shí)間

分段函數(shù)模型：Y=KX二、列表列表可以清晰明確地表示出題目信息，便于分析和推理。1、列表分析數(shù)量關(guān)系42例：米麗和瑪珂是馬戲團(tuán)的小象。它們總在馬戲表演中擔(dān)任主角。

米麗4歲瑪珂13歲什么時(shí)候瑪珂的年齡是米麗的2倍？43像這樣的問題，如果用找數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象計(jì)算，難度會很大，但列表解決問題會很容易。模型：對應(yīng)關(guān)系：（4+N）×2=13+N米麗456789瑪珂131415161718442、列表推理例：學(xué)校組織了足球、航模、和電腦興趣小組，淘氣、笑笑和小明各參加了一個(gè)小組。笑笑不喜歡踢足球，小明不是電腦小組的，淘氣喜歡航模。判斷他們各在哪個(gè)小組。45列表解決問題。足球航模電腦淘氣√笑笑×小明×46足球航模電腦淘氣×√×笑笑×小明×47足球航模電腦淘氣×√×笑笑×小明√×48足球航模電腦淘氣×√×笑笑×√小明√××49足球航模電腦淘氣×√×笑笑××√小明√××50隱含：每行每列只有一個(gè)√三、嘗試與猜測

根據(jù)題目給出的信息，先猜測結(jié)果，再進(jìn)行調(diào)整。52馬戲團(tuán)表演，許多只大象正列隊(duì)進(jìn)場，大象的腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于十。請問馬戲團(tuán)可能有幾只大象？53大象/個(gè)腳/只鼻子/只尾巴/條2822（腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于4）54大象/個(gè)腳/只鼻子/只尾巴/條282241644（腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于8）55大象/個(gè)腳/只鼻子/只尾巴/條28224164452055（腳比起其鼻子和尾巴的總和還多于10）56方程：4X-2X=10簡化------從特例入手1、有關(guān)對稱問題的簡化例：兩人輪流往一圓桌上平放一枚同樣大小的硬幣，誰放下最后一枚且使對方?jīng)]有位置再放，誰就獲勝。問題：怎么樣才能穩(wěn)操勝券？是先放者勝還是后放者勝？58思路：如果圓桌小到只能放下一枚硬幣，那么先放者勝。這是問題的特殊情況。這個(gè)特殊情況有什么指導(dǎo)意義？59對于一般的圓桌，我先放中心位置，根據(jù)圓桌的對稱性，就可以獲勝。6061626364其實(shí)，不管是圓桌還是方桌，也不管桌子和硬幣的大小。只要先放對稱的中心位置，就能獲勝。幾何對稱模型。652、有關(guān)運(yùn)動(dòng)問題的簡化例：有兩個(gè)邊長為1分米的正方形，空白正方形的一角頂點(diǎn)位于另一個(gè)正方形中心，并在1/3邊線處相交，計(jì)算重合部分的面積。66旋轉(zhuǎn)：特殊情況：1/4。67利用對稱原理，其他情況重疊部分也是1/4。68幾何對稱模型。4、有關(guān)圖形分割問題。1條直線把長方形分成2部分；5條直線把長方形最多分成幾部分？70

部分直線21條2+2=42條2+2+3=73條2+2+3+4=114條712+2+3+4+5=165條72N條

2+2+3+4+……+N=1+1+2+3+4+……+N=1+（1+2+3+4+……+N）模型73綜合運(yùn)用解決問題策略有許多問題需要用多種策略解決，這需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識。74例：意大利數(shù)學(xué)一位數(shù)學(xué)家提出過一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)問題：如果一對小兔每月能生1對新兔，每一對新兔在出生后的第3個(gè)月開始又生1對新兔，假定不發(fā)生死亡的情況下，1對兔子在1年內(nèi)能繁殖成多少對？

75分析：假定今年1月份生的一對新兔，今年2月應(yīng)該還只有1對，到3月份這對兔子生了1對，總共2對；到4月份又可生出一對新兔，共3對；到5月份，有2對兔子生出2對新兔，加上原來的3對一共5對……76用圖形來表示：○代表一對新兔◎代表一對未成年兔●代表一對成年兔

1月2月3月4月5月6月○◎●○●○●○●○◎◎●○◎●○◎●○找一找上面兔子的數(shù)量的模型。77列表：月份1

2

3

4

5

6

數(shù)量1

1

2

3

5

8月份7

8

9

101112數(shù)量13

21

3455

89

144綜合運(yùn)用畫圖、列表和尋找規(guī)律解決問題。

78AN=A（N-1）+A（N-2）79R．J．斯騰伯格（1940-）美國著名心理學(xué)家。提出了“解決問題的循環(huán)系統(tǒng)”：80

81確定問題定義問題形成策略組織信息分配資源效果監(jiān)控方案評估例：由5個(gè)等圓組成的圖形，請畫一條直線把5個(gè)圓分成面積相等的兩部分。82四、其他方法策略1、質(zhì)化策略找出問題中最基本的條件，把問題歸結(jié)為單純的相互獨(dú)立的元素，從而顯示解決問題的思路，以達(dá)到解決問題的目的。84例：國慶小學(xué)學(xué)生去參觀科技展.346人排成兩行，相鄰的前后兩排相距0.5米,隊(duì)伍每分鐘行走65米，途經(jīng)一座長889米的大橋，從排頭上橋到排尾離橋，共需要幾分鐘？85我們可以應(yīng)用質(zhì)化策略，在解題過程中略去那些具體的過橋過程，而把排尾質(zhì)化為一個(gè)點(diǎn)，只考慮初始狀態(tài)這點(diǎn)與橋末端的距離（隊(duì)長+橋長）利用路程公式就可以解決問題.346人，2行，65米/分，間距0.5米[(346/2-1)X0.5+889]/65=15（分）86889米2、分化策略把綜合性的數(shù)學(xué)問題看作是若干個(gè)子問題構(gòu)成的整體或者把一個(gè)復(fù)雜問題分解為若干個(gè)較易解決的子問題，對其各個(gè)擊破，整體問題就會迎刃而解。87例如：兩步或三步應(yīng)用題可以分解為幾個(gè)一步應(yīng)用題；王阿姨買3瓶牛奶用了12元，買8瓶這樣的牛奶需要多少錢？（12÷3）×88812÷3=44×8=3289組合圖形面積計(jì)算可以分成幾個(gè)單一圖形來計(jì)算。

4m6m3m7m9091923.概化策略描述：當(dāng)我們研究的是某些具體元素（往往是維數(shù)或抽象水平低）的關(guān)系時(shí)，可以把問題歸結(jié)為元素所在整體（往往是維數(shù)或抽象水平高的）的關(guān)系或性質(zhì)的問題，通過對整體的性質(zhì)的考察來使問題得互解決。93概化過程拋棄了一些非本質(zhì)的因素，而突出本質(zhì)因素。其表現(xiàn)為：對具體事物進(jìn)行抽象，再在抽象水平上進(jìn)行形式推理，然后用于解決具體問題。用方程解決問題就是典型的應(yīng)用概化策略。抽象數(shù)學(xué)問題抽象數(shù)學(xué)問題解決具體問題具體問題解決94例：商店原來有一些水果糖，又運(yùn)來25千克，賣出34千克后，還剩41千克，這個(gè)商店原來有水果糖多少千克？設(shè)：原來有水果糖X千克（用符號表示所求問題）

X+25-34=41（抽象的數(shù)學(xué)問題）

X=50