新教材人教A版5.1.1任意角課件（34張）

第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【情境探究】問題1.當鐘表慢了(或快了)一點時,我們會將分針按某個方向轉(zhuǎn)動,把時間調(diào)整準確,在調(diào)整的過程中,分針轉(zhuǎn)動的方向是否相同?提示:不同,當鐘表慢了,要順時針轉(zhuǎn)動分針,當鐘表快了,要逆時針轉(zhuǎn)動分針.必備知識生成問題2.在跳水比賽中,運動員會做出“轉(zhuǎn)體兩周”“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”等動作,做上述動作時,運動員轉(zhuǎn)體多少度?轉(zhuǎn)過的度數(shù)還能用0°到360°的角表示嗎?提示:因為運動員轉(zhuǎn)體方向有順時針、逆時針的不同,因此運動員“轉(zhuǎn)體兩周”的度數(shù)可以是順時針旋轉(zhuǎn)720°或逆時針旋轉(zhuǎn)720°,“向前翻轉(zhuǎn)兩周半”可以是順時針旋轉(zhuǎn)900°或逆時針旋轉(zhuǎn)900°.顯然這些角都不在0°～360°,不能用0°到360°的角表示.【知識生成】(1)角的形成:角可以看成是_________繞著它的_____旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類:①正角:按照_______________而成的角;②負角:按照_______________而成的角;③零角:當射線沒有做_________時,我們也把它看成一個角,叫做零角.一條射線端點逆時針方向旋轉(zhuǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)任何旋轉(zhuǎn)(1)射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB位置所成的角,記作∠AOB,其中___叫做∠AOB的始邊,___叫做∠AOB的_____.(2)引入正角、負角的概念以后,角的減法運算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運算,即α-β可以轉(zhuǎn)化為_________.這就是說,各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.OAOB終邊α+(-β)設(shè)α表示任意角,所有與角α終邊相同的角,連同α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合,這個集合可記為{β|β=____________,k∈Z}.即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.α+k·360°關(guān)鍵能力探究探究點一任意角的概念【典例1】(1)已知集合A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},則下面關(guān)系正確的是 ()?CC.A∩C=B D.B∪C?C(2)經(jīng)過5小時25分鐘,時鐘的分針和時針各轉(zhuǎn)多少度?【思維導(dǎo)引】(1)正確理解第一象限角、銳角、小于90°的角的概念.(2)明確時鐘的分針和時針的旋轉(zhuǎn)方向及運行特點是解題的關(guān)鍵.【解析】(1)選D.第一象限角可表示為k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z;銳角可表示為0°<β<90°;小于90°的角可表示為γ<90°;由三者之間的關(guān)系可知D選項正確.(2)時針走一周用12小時,即12小時轉(zhuǎn)-360°,那么時針每小時應(yīng)轉(zhuǎn)-30°,而5小時25分鐘為小時,而分針每小時轉(zhuǎn)-360°,所以時針轉(zhuǎn)過的角度為-×30°=-162.5°,分針轉(zhuǎn)過的角度為-×360°=-1950°.【類題通法】(1)關(guān)鍵:正確理解有關(guān)角的概念.(2)技巧:通過特值或反例進行判斷.(1)定方向:明確該角是由順時針方向還是逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的,由逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角,否則為負角.(2)定大小:根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的絕對值確定角的大小.【定向訓(xùn)練】把一條射線繞著端點按順時針旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是 ()A.120°B.-120°C.240°D.-240°【解析】選D.一條射線繞著端點按順時針旋轉(zhuǎn)240°所形成的角是-240°.【補償訓(xùn)練】寫出圖(1)、(2)中的角α,β,γ的度數(shù).【解析】題干圖(1)中,α=360°-30°=330°;題干圖(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°;γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.探究點二終邊相同的角【典例2】如圖,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是 ()

【思維導(dǎo)引】-180°～180°范圍:始邊-45°,終邊90°+30°=120°,加上k·360°得到集合.【解析】選C.在-180°～180°間陰影部分區(qū)域中邊界兩條終邊表示的角分別為-45°,120°.所以陰影部分的區(qū)域在-180°～180°間的范圍是-45°≤α≤120°.所以終邊在陰影部分區(qū)域的角的集合為:

【類題通法】關(guān)于終邊相同的角的認識一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.注意:(1)α為任意角.(2)k·360°與α之間是“+”號,k·360°-α可理解為k·360°+(-α).(3)相等的角終邊一定相同;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360°的整數(shù)倍.(4)k∈Z這一條件不能少.【定向訓(xùn)練】與2020°終邊相同的角是 ()A.40° B.140° C.-40° D.-140°【解析】選D.因為2020°=6×360°-140°,所以與2020°終邊相同的是-140°.【補償訓(xùn)練】在平面直角坐標系中,畫出下列集合所表示的角的終邊所在區(qū)域(用陰影表示).(1){α|k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z};(2){α|k·180°≤α≤135°+k·180°,k∈Z}.【解析】探究點三象限角的判定【典例3】(1)若α是第四象限角,則180°-α是 ()(2)已知α為第二象限角,則2α,分別是第幾象限角?【思維導(dǎo)引】(1)可通過寫出α的取值范圍,逐步求得180°-α的范圍來求解.(2)可由α的范圍寫出2α,的范圍后,直接求得2α的范圍,然后分k為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況確定的位置.【解析】(1)選C.因為α是第四象限角,則角α應(yīng)滿足:k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z,所以-k·360°<-α<-k·360°+90°,則-k·360°+180°<180°-α<-k·360°+90°+180°,k∈Z,當k=0時,180°<180°-α<270°,故180°-α為第三象限角.(2)因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角,或是終邊落在y軸的非正半軸上的角.同理45°+·360°<<90°+·360°.當k為偶數(shù)時不妨令k=2n,n∈Z,則45°+n·360°<<90°+n·360°,此時為第一象限角;當k為奇數(shù)時,令k=2n+1,n∈Z,則225°+n·360°<<270°+n·360°,此時,為第三象限角,所以為第一或第三象限角.【類題通法】象限角的判定有兩種方法:一是根據(jù)圖象,二是利用終邊相同的角將角轉(zhuǎn)化成0°～360°范圍內(nèi),利用圖象實際操作時,依據(jù)的還是終邊相同的角的思想.【知識延拓】第一象限角:S={α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z};第二象限角:S={α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z};第三象限角:S={α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z};第四象限角:S={α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}.角α的終邊所在的坐標軸集合表示x軸的非負半軸{α|α=k·360°,k∈Z}x軸的非正半軸{α|α=180°+k·360°,k∈Z}y軸的非負半軸{α|α=90°+k·360°,k∈Z}y軸的非正半軸{α|α=270°+k·360°,k∈Z}x軸{α|α=k·180°,k∈Z}y軸{α|α=90°+k·180°,k∈Z}坐標軸{α|α=k·90°,k∈Z}【定向訓(xùn)練】已知角的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,作出下列各角,并指出它們是哪個象限的角.(1)420°;(2)-75°;(3)855°;(4)-510°.【解析】作出各角的終邊如圖所示:

由圖可知(1)420°是第一象限角.(2)-75°是第四象限角.(3)855°是第二象限角.(4)-510°是第三象限角.任意角核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)角的概念、表示及分類象限角終邊相同的角象限角的兩種判斷方法：（1）化成終邊相同角的表示形式；（2）在坐標系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置求在給定范圍內(nèi)終邊相同角的方法：寫出終邊相同的角的表示，根據(jù)給定范圍建立關(guān)于k的不等式，解出k,根據(jù)k確定角終邊相同的角中必須保證k是整數(shù)數(shù)學(xué)抽象：通過具體實例抽象出象限角、終邊相同角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)課堂素養(yǎng)達標1.小明出國旅游,當?shù)貢r間比中國時間晚一個小時,他需要將表的時針旋轉(zhuǎn),則轉(zhuǎn)過的角是 ()A.60° B.30° C.-60° D.-30°【解析】選B.由題意小明需要把表調(diào)慢一個小時,所以時針逆時針旋轉(zhuǎn)30°.2.四個角-398°,38°,142°,1042°中,終邊相同的角是 ()A.-398°,38° B.-398°,142°C.-398°,1042° D.142°,1042°【解析】選C.-398°=-1×360°-38°,1042°=3×360°-38°,所以-398°與1042°終邊相同.3.與-496°終邊相同的