河南省洛陽市藝術(shù)中學2022-2023學年高三數(shù)學文聯(lián)考試題含解析

河南省洛陽市藝術(shù)中學2022-2023學年高三數(shù)學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，且右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的離心率等于 A． B． C．2 D．2參考答案：B2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，則每兩客車營運多少年，其運營的年平均利潤最大()A．3

B．4C．5

D．6參考答案：C略4.已知雙曲線C：的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上一點，Q為雙曲線C漸近線上一點，P，Q均位于第一象限，且，，則雙曲線C的離心率為（

）A.8

B.2

C.

D.參考答案：B由題意得，雙曲線在第一、三象限的漸近線為，設(shè)點Q坐標為，則，∵·=0，∴，∴．設(shè)，由得，∴，∴，∵點在雙曲線上，∴，∴，∴，解得或，∴雙曲線的離心率為2．選B．

5.已知，滿足約束條件，若的最小值為，則（

）A． B． C． D．參考答案：B6.已知，，且，(

)A. B. C. D.參考答案：C7.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中，M、N分別為OA、OB的中點，在M、N兩點處各有一個通信基站，其信號的覆蓋范圍分別為以O(shè)A、OB為直徑的圓，在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點無信號的概率是(

) A．1﹣ B．﹣ C．+ D．參考答案：A考點：幾何概型．專題：應用題；概率與統(tǒng)計．分析：OA的中點是M，則∠CMO=90°，這樣就可以求出弧OC與弦OC圍成的弓形的面積，從而可求出兩個圓的弧OC圍成的陰影部分的面積，用扇形OAB的面積減去三角形的面積，減去加上兩個弧OC圍成的面積就是無信號部分的面積，最后根據(jù)幾何概型的概率公式解之即可．解答： 解：OA的中點是M，則∠CMO=90°，半徑為OA=rS扇形OAB=πr2，S半圓OAC=π（）2=πr2，S△OmC=××=r2，S弧OC=S半圓OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2，兩個圓的弧OC圍成的陰影部分的面積為πr2﹣r2，圖中無信號部分的面積為πr2﹣r2﹣（πr2﹣r2）=πr2﹣r2，∴無信號部分的概率是：．故選：A．點評：本題主要考查了幾何概型，解題的關(guān)鍵是求無信號部分的面積，不規(guī)則圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個不規(guī)則的圖形的面積的和或差的計算，屬于中檔題．8.2017年江蘇南京第二師范學院建設(shè)65周年院慶前夕，學院從8女4男中選出6人排練民族舞《小河淌水》以備院慶演出.如果按性別分層抽取，則不同的抽取方法種數(shù)為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C據(jù)分層抽樣，需從男生中抽取4人，女生中抽取2人，故不同的抽樣方法共有種，故選C.

9.

；參考答案：10.有下列說法：（1）“”為真是“”為真的充分不必要條件；（2）“”為假是“”為真的充分不必要條件；（3）“”為

真是“”為假的必要不充分條件；（4）“”為真是“”為假的

必要不充分條件。其中正確的個數(shù)為A.

1

B.

2

C.

3

D.

4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.積分的值是

參考答案：12.在△ABC中，，，，點D為BC上一點，若則AD=

．參考答案：

13.如圖，為測量某山峰的高度（即OP的長），選擇與O在同一水平面上的A，B為觀測點.在A處測得山頂P的仰角為45°，在B處測得山頂P的仰角為60°.若米，，則山峰的高為_________米.參考答案：【分析】設(shè)出OP，分別在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，進而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度．【詳解】設(shè)OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=．在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝h在△AOB中，由余弦定理得，得h＝（米）．則山峰的高為m．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解三角形的實際應用．考查了學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力．

14.已知||=，||=2，若（+）⊥，則與的夾角是．參考答案：150°考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應用．分析：根據(jù)已知條件即可得到，所以根據(jù)進行數(shù)量積的運算即可得到3，所以求出cos＜＞=，從而便求出與的夾角．解答：解：∵；∴=；∴；∴與的夾角為150°．故答案為：150°．點評：考查兩非零向量垂直的充要條件，以及數(shù)量積的計算公式，向量夾角的范圍．15.設(shè)當x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ=．參考答案：﹣【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的定義域和值域．【分析】f（x）解析式提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x=θ時，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ時，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，聯(lián)立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案為：﹣16.直線是曲線的一條切線，則實數(shù)＝

參考答案：略17.已知函數(shù)，且，則對于任意的，函數(shù)總有兩個不同的零點的概率是

▲

.參考答案：恒成立。即由幾何概率可得P=三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝

(an－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式．參考答案：解：(1)由a1＝S1＝(a1－1)得a1＝－.又a1＋a2＝S2＝(a2－1)，………3分解得a2＝.同理a3＝－

……5分(2)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，………………7分得＝－.

…………………10分∴數(shù)列{an}是首項為－，公比為－的等比數(shù)列．即an＝(－)n……………12分19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R（1）證明f（x）為奇函數(shù)，并在R上為增函數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值．參考答案：考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：（1）驗證f（﹣x）=﹣f（x），再用導數(shù)驗證單調(diào)性；（2）由f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3得ex﹣e﹣x﹣2x≤mex﹣2x+2m﹣3，故m（ex+2）≥ex﹣e﹣x+3，變形得令t=ex﹣1得，用基本不等式求最值；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，求導整理得g′（x）═2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x﹣2b+2）．由于ex+e﹣x﹣2≥0，只對因式）（ex+e﹣x﹣2b+2）分情況討論即可．解答：解：（1）x∈R，f（﹣x）=e﹣x﹣ex+2x=﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)∵，而，∴f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上增，（2）由f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3得ex﹣e﹣x﹣2x≤mex﹣2x+2m﹣3，∴m（ex+2）≥ex﹣e﹣x+3，變形得，∴m只要大于或等于右邊式子的最大值即可令t=ex﹣1得，∵∴；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]==2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x﹣2b+2）．∵ex+e﹣x﹣2≥0，（i）當b≤2時，﹣2b+2≥﹣2，∴ex+e﹣x﹣2b+2≥0，∴g′（x）≥0，等號僅當x=0時成立，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0．（ii）當b＞2時，∴2b﹣2＞2，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2，即0＜x＜ln（b﹣1+）時，g′（x）＜0．而g（0）=0，因此當0＜x＜ln（b﹣1+）時，g（x）＜0，不滿足要求．綜上b≤2，故b的最大值為2．點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系，突出分類討論的數(shù)學思想，分類的技巧是解題的關(guān)鍵．20.（本小題12分）已知函數(shù)，直線與的圖象交點之間的最短距離為．（1）求的解析式及其圖象的對稱中心；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，若，，求的面積.參考答案：（1）由題可知，

,對稱中心（2）又或當時：由余弦定理，

同理，當時：故，或21.（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）討論在其定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，求取得最大值和最小值時的的值.參考答案：解：（Ⅰ）的定義域為，令，得所以當或時，；當時，．故在和內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．（Ⅱ）∵，∴．（?。┊敃r，，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，∴在和處分別取得最小值和最大值．（ⅱ）當時，，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得最大值．又，∴當時，在處取得最小值；當時，在和處同時取得最小值；當時，在處取得最小值．22.（本小題滿分14分）已知是拋物線上一點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于兩點（不同于點），直線分別交直線于點.（Ⅰ）求拋物線方程及其焦點坐標；（Ⅱ）已知為原點，求證：為定值.參考答案：解：（Ⅰ）將代入，得所以拋物線方程為，焦點坐標為……3分（Ⅱ）設(shè)，，，法一：因為直線不經(jīng)過點，所以直線一定有斜率設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立得到，消去，得：則由韋達定理得：

…………6分直線的方程為：，即，令，得

……9分同理可得：

…10分又，所以

…13分所以，即為定值

…………14分法二：設(shè)直線方程為與拋物線方程聯(lián)立得到，消去，得：則由韋達定理得：