浙江省北斗星盟高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、學(xué)號(hào)和姓名；考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求集合A、由冪函數(shù)的性質(zhì)得集合B，再求并集即可.【詳解】由題意可得，易知在定義域單調(diào)遞增，故，故.故選：B2.若，則（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及求模公式計(jì)算即可.【詳解】由，故選：A3.已知單位向量滿足，其中，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求值即可.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄繚M足，所以，由投影向量計(jì)算公式可知在上的投影向量是，即故，而，故.故選：D4.《九章算術(shù)?商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑，”陽(yáng)馬，是底面為長(zhǎng)方形或正方形，有一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐.在底面，且底面為正方形的陽(yáng)馬中，若，則（）A.直線與直線所成角為B.異面直線與直線的距離為C.四棱錐的體積為1D.直線與底面所成角的余弦值為【答案】B【解析】【分析】把陽(yáng)馬補(bǔ)形成正方體，求出異面直線夾角判斷A；求出線面距離判斷B；求出四棱錐體積判斷C；求出線面角的余弦判斷D作答.【詳解】由底面，底面為正方形，而，則陽(yáng)馬可補(bǔ)形成正方體，如圖，對(duì)于A，由底面，底面，則，因此直線與所成角為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，平面，平面，則有平面，從而異面直線與直線的距離等于直線與平面的距離，取的中點(diǎn)，連接，則，而平面，平面，于是，又平面，因此平面，所以直線與平面距離為，B正確；對(duì)于C，四棱錐的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，則是直線與底面所成的角，而，因此，D錯(cuò)誤.故選：B5.臨近高考，同學(xué)們寫祝?？ㄆS美好愿望.某寢室的5位同學(xué)每人寫一張祝福卡片放在一起，打亂后每人從中隨機(jī)抽取一張卡片，已知有同學(xué)拿到自己寫的祝福卡，則至少有3位同學(xué)摸到自己寫的祝福卡片的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率作答.【詳解】恰有1位同學(xué)拿到自己寫的祝?？ㄓ蟹N，恰有2位同學(xué)拿到自己寫的祝福卡有種，恰有3位同學(xué)拿到自己寫的祝福卡有種，恰有4位（5位）同學(xué)拿到自己寫的祝?？ㄓ?種，因此有同學(xué)拿到自己寫的祝福卡的事件含有的基本事件數(shù)為個(gè)，至少有3位同學(xué)摸到自己寫的祝?？ǖ氖录袀€(gè)基本事件，所以至少有3位同學(xué)摸到自己寫祝?？ㄆ母怕?故選：C.6.定義設(shè)函數(shù)，可以使在上單調(diào)遞減的的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段寫出函數(shù)解析式，并確定單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.【詳解】依題意，，函數(shù)的遞減區(qū)間是，，，于是或，，即，，解得，由，得，無解；或，，解得，由，得，則或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)C滿足，ABD不滿足.故選：C7.已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是的左、右焦點(diǎn)，若的角平分線與直線交于點(diǎn)，且，則的離心率為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義證明點(diǎn)是的內(nèi)心，再借助三角形面積公式求解作答.【詳解】作的平分線交的平分線于，過作軸，垂足分別為，如圖，則點(diǎn)為的內(nèi)心，有，設(shè)，，則，于是直線與直線重合，而的角平分線與直線交于點(diǎn)，即與重合，則點(diǎn)為的內(nèi)心，因此令，由，得，因此，即有，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B8.已知，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】變形給定的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，借助單調(diào)性比較大小作答.【詳解】由，得，由，得，由，得，令函數(shù)，顯然，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，于是，即有，而，所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為B.若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則C.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且是偶函數(shù)，則D.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)的值越接近于1【答案】AC【解析】【分析】求出上四分位數(shù)判斷A；求出兩點(diǎn)分布的方差判斷B；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出u判斷C；利用相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性強(qiáng)弱的關(guān)系判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，樣本數(shù)據(jù)，由，得上四分位數(shù)為，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由是偶函數(shù)，得，又，因此，C正確；對(duì)于D，兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，D錯(cuò)誤.故選：AC10.直三棱桂中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A.B.三棱錐的體積為定值C.四面體的外接球表面積為D.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】【分析】由題意補(bǔ)直三棱柱為正方體，結(jié)合正方體的特征可判定A，利用等體積法轉(zhuǎn)化可判斷B，利用正方體的外接球及球的表面積公式可判斷C，利用三角形中位線判斷D即可.【詳解】由題意可知：直三棱柱為正方體ABCD-A1B1C1D1的一半，如圖所示.對(duì)于A，連接AB1，A1B，結(jié)合正方體的特征，易知BE⊥AB1，AB1⊥A1B，故AB1⊥面A1BE，面A1BE，則，即A正確；對(duì)于B，由題意可知F到上下底面的距離均為，故是定值，即B正確；對(duì)于C，四面體的外接球即正方體的外接球，故其直徑為，所以其表面積為,即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接A1C，取其中點(diǎn)O，連接OF，易知OF為的中位線，故E從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中F的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為BC一半，即D正確.綜上ABD三項(xiàng)正確.故選：ABD11.拋物線的準(zhǔn)線方程為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則（）A.的方程為B.的最小值為C.過點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有2條D.過點(diǎn)分別作的切線，交于點(diǎn)，則直線的斜率滿足【答案】BD【解析】【分析】求出拋物線方程判斷A；設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及均值不等式計(jì)算判斷B；設(shè)出過點(diǎn)M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷C；求導(dǎo)并結(jié)合選項(xiàng)B的信息求解判斷D作答.【詳解】對(duì)于A；依題意，，解得，的方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，設(shè)直線的方程為，由消去y得，設(shè)，則有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，過點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不垂直于y軸，設(shè)此直線方程為，由消去y得：，當(dāng)時(shí)，，直線與拋物線僅只一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，即過點(diǎn)且與拋物線相切的直線有2條，所以過點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由求導(dǎo)得，由選項(xiàng)B知，，，，由兩式相減得：，即，則，于是，，即點(diǎn)，所以，D正確.故選：BD12.已知，則（）A.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線B.對(duì)于給定的實(shí)數(shù)，存在，使得成立C.在上的最小值為0，則的最大值為D.存在，使得對(duì)于任意恒成立【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，對(duì)兩函數(shù)求導(dǎo)，再求出導(dǎo)函數(shù)的值域，由兩值域的關(guān)系分析判斷，對(duì)于B，由可得，從而可判斷，對(duì)于C，令，再由可得，由題意設(shè)為的極小值點(diǎn)，然后列方程表示出，從而可用表示，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證得結(jié)論，對(duì)于D，根據(jù)函數(shù)值的變化情況分析判斷.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使與有交集，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線，所以A正確，對(duì)于B，由于給定的實(shí)數(shù)，當(dāng)給定時(shí)，則為定值，由，得，，所以存在使上式成立，所以B正確，對(duì)于C，令，而，由題意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，即，若在上遞增，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以，得，所以，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，若在上不單調(diào)，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以設(shè)為的極小值點(diǎn)，則，解得，所以令，則由，得，或，解得，或（舍去），或（舍去），或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，綜上，所以C正確，對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)于選項(xiàng)C解題的關(guān)鍵是由題意設(shè)為的極小值點(diǎn)，則，求出，則可表示出再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為120，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,解得.故答案為：.14.已知圓和圓，則過點(diǎn)且與都相切的直線方程為__________.（寫出一條即可）【答案】或（寫出一條即可）【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系通過幾何法計(jì)算即可.【詳解】若過M的切線斜率不存在，即為，此時(shí)顯然與兩圓都相切；若過M的切線斜率存在，不妨設(shè)為，則到的距離分別為，即.綜上過M與兩圓都相切的直線為：或故答案為：或（寫出一個(gè)即可）15.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和記為，滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則公差的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定恒成立，再分析判斷，結(jié)合已知等式求解作答.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，而等差數(shù)列的公差，若，由知，數(shù)列單調(diào)遞減，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，與數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列矛盾，因此，由，得，即，解得，則，所以公差的取值范圍為.故答案為：16.若函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】把兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三次方程有三個(gè)根的問題，設(shè)出三個(gè)根，利用恒等式建立關(guān)系并求解作答.【詳解】依題意，方程，即有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖象的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程的三個(gè)根為，于是，整理得，因此，則，即有，解得或，所以的取值范圍是..故答案：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)問題，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根問題，再結(jié)合方程思想求解即可.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出，即可求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可得解；（2）由（1）可得，利用分組求和法求出，令，利用作差法判斷的單調(diào)性，即可求出，從而得到關(guān)于的對(duì)數(shù)不等式，解得即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列，，即，解得或（舍去），所以.數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.【小問2詳解】由（1）可得，.令，，單調(diào)遞增，.，，.18.在現(xiàn)實(shí)生活中，每個(gè)人都有一定的心理壓力，壓力隨著現(xiàn)代生活節(jié)奏的加快、社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈等逐漸增大.某市研究組為了解該市市民壓力的情況，隨機(jī)邀請(qǐng)本市200名市民進(jìn)行心理壓力測(cè)試評(píng)估，得到一個(gè)壓力分值，繪制如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.（1）求的值，并估計(jì)該市市民壓力分值位于區(qū)間的概率；（2）估計(jì)該市市民壓力分值的平均值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（3）若市民的壓力分值不低于70，則稱為“高壓市民”.研究組對(duì)“高壓市民”按年齡段進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)年齡在30歲到50歲的“高壓市民”有35人，年齡在30歲到50歲的“非高壓市民”有25人，剩余“高壓市民”的年齡分散在其它年齡段.為研究方便，記年齡在30歲到50歲為年齡段，其余為年齡段.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市“高壓市民”與其年齡在30歲到50歲有關(guān).壓力高壓市民非高壓市民年齡段A年齡段B附：，其中.【答案】（1），；（2）58；（3）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為該市“高壓市民”與其年齡在30歲到50歲有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1求出a，再由頻率估計(jì)概率作答.（2）利用頻率分布直方圖估計(jì)壓力分值的平均值作答.（3）由（1）及已知完善列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，與臨界值比對(duì)作答.【小問1詳解】依題意，，解得，記“該市市民的壓力分值在區(qū)間”為事件，則.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及（1）知，壓力分值在各分組區(qū)間內(nèi)的頻率依次為：，所以.【小問3詳解】由（1）知，高壓市民有人，年齡段的人數(shù)有35人，年齡段的人數(shù)為35人，所以列聯(lián)表為：壓力高壓市民非高壓市民合計(jì)年齡段A352560年齡段B3510514070130200零假設(shè)：該市高壓市民與其年齡在在30歲到50歲無關(guān)，，所以有的把握認(rèn)為該市“高壓市民”與其年齡在30歲到50歲有關(guān).19.已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若，求平面與平面所夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定推理作答.（2）根據(jù)給定條件，作出平面與平面所成二面角的平面角，再結(jié)合對(duì)應(yīng)三角形計(jì)算作答.【小問1詳解】在四棱錐中，為的中點(diǎn)，又，則，而，因此平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作交直線于，連接，如圖，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，則平面，而平面，則有，又，平面，于是平面，平面，則，有，得，平面，平面，則平面，平面與平面的交線為，因此，有，從而為平面與平面所成二面角的平面角，顯然，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.記銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦公式的得到，進(jìn)而求解；（2）利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，故，故，，故，因是銳角三角形，故，.故，故，所以.【小問2詳解】由正弦定理可知，故，..由是銳角三角形，可知，故，故.21.已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與相交，所得弦長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1